《线性代数》课程教学资源（教案讲义）第二章 矩阵及其运算

第二章矩阵及其运算 教学目的通过本章的讲授，使学生知道矩阵的概念，理解矩阵与线性变换得关 系，掌握可逆矩阵的定义及性质；熟练掌握矩阵的运算以及逆矩阵的 求法，掌握分块矩阵的概念以及分块矩阵的运算 教学重点：矩阵的运算，逆矩阵的定义、性质以及求法 教学难点：逆矩阵的性质以及求法 教学内容： §1矩阵的概念 一、线性变换与矩阵 线性方程组 ax+a53+.+awx=6 aa++a=b 的解取决于系数a,和系数b,将系数按照原来的位置可以排成数表 这种数表就叫做矩阵。 定义1由mxn个数a,(i=L2,m:j=12,n)排成m行n列的数表 主对角线 主对角线 (2) 称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵。这m×n个数称为矩阵A的元素，a,表示矩阵A的第i 行第列元素。元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。本书中的矩 阵除特别说明外，都是指实矩阵。(2)式也可荷记为 A=(a)或A=(a,)或A 二、几种特殊的矩阵 (1)当 n时，A称为n阶方阵 (2)只有一行的矩阵 A=a,a.an] 称为行矩阵：只有一列的矩阵

第二章 矩阵及其运算 教学目的 通过本章的讲授，使学生知道矩阵的概念，理解矩阵与线性变换得关 系，掌握可逆矩阵的定义及性质；熟练掌握矩阵的运算以及逆矩阵的 求法，掌握分块矩阵的概念以及分块矩阵的运算 教学重点：矩阵的运算，逆矩阵的定义、性质以及求法 教学难点：逆矩阵的性质以及求法 教学内容： §1 矩阵的概念 一、线性变换与矩阵 线性方程组 的解取决于系数 aij 和系数 i b ,将系数按照原来的位置可以排成数表， 这种数表就叫做矩阵。 定义 1 由 m n 个数 aij （ i = 1,2,  ,m ； j =1,2,  ,n ）排成 m 行 n 列的数表             = m m mn n n a a a a a a a a a A        1 2 21 22 2 11 12 1 （2） 称为 m 行 n 列矩阵，简称 m n 矩阵。这 m n 个数称为矩阵 A 的元素， aij 表示矩阵 A 的第 i 行第 j 列元素。元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。本书中的矩 阵除特别说明外，都是指实矩阵。（2）式也可简记为 A = aij mn ( ) 或 ( ) A = aij 或 Amn 二、几种特殊的矩阵 （1）当 m = n 时， A 称为 n 阶方阵。 （2）只有一行的矩阵   A = a1 a2  an 称为行矩阵；只有一列的矩阵 主对角线 主对角线        + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1

6. 称为列矩阵。 (3)当两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵。 (4)若A=(a,)与B=(他，)是同型矩阵，且它们的对应元素都相等，即 ay=by (1=1,2,.,m:i=12.n） 则称矩阵A与B相等，记作A=E 《6)元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作0，注意不同型的零矩阵是不同的。 (6)上三角矩阵：当1>j时，a,=0 4= 0an.a 00.a (7)对角矩阵：主对角线以外的元素都是零。 「0.01 A= 0.0 . 00.元n 见徐 A=diag() (8)单位矩阵：主对角线上的元素都是1的数量矩阵。 10 .01 01.0 00.1 n个变量，x2,x与m个变量，2y之间的关系式 y=a11+a2x2+.+anxn 2=a21+ax3+.+a2nx yn=am+a22+.+amX (1)

            = mb b b B  2 1 称为列矩阵。 （3）当两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵。 （4）若 ( ) A = aij 与 ( ) B = bij 是同型矩阵，且它们的对应元素都相等，即 aij = bij （ i = 1,2,  ,m ； j =1,2,  ,n ） 则称矩阵 A 与 B 相等，记作 A = B. （5）元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作 O . 注意不同型的零矩阵是不同的。 （6）上三角矩阵：当 i  j 时， aij = 0 .             = mn n n a a a a a a A        0 0 0 22 2 11 12 1 （7）对角矩阵：主对角线以外的元素都是零。             = n A           0 0 0 0 0 0 2 1 记作 ( , , ) A = diag 1 2 n （8）单位矩阵：主对角线上的元素都是 1 的数量矩阵。             = 0 0 1 0 1 0 1 0 0        En n 个变量 n x , x , , x 1 2  与 m 个变量 n y , y , , y 1 2  之间的关系式        = + + + = + + + = + + + m m m mn n n n n n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x     1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 1 11 1 12 2 1 （1）

表示一个从变量x,x2,xn到片，2，y,的线性变换。给定了线性变换(1)， 它的系数所构成的矩阵（叫做系数矩阵）也就确定了。反之，如果给出一个矩阵作为某 个线性变换的系数矩阵，则该线性变换也就确定了。在这个意义上，线性变换与矩阵之 间存在着一一对应的关系，因此可以利用矩阵来研究线性变换。 例1线性变换 ly.=x 叫做恒等变换。它所对应的矩阵是n阶单位矩阵 10.01 E,= 01.0 00.1J E=(⑥，) 例2线性变换 八= 少=西 y.=Ax 所对应的m阶方阵是n阶对角阵。 [20.01 0 0 A= 名. 0

表示一个从变量 n x , x , , x 1 2  到 n y , y , , y 1 2  的线性变换。给定了线性变换（1）， 它的系数所构成的矩阵（叫做系数矩阵）也就确定了。反之，如果给出一个矩阵作为某 个线性变换的系数矩阵，则该线性变换也就确定了。在这个意义上，线性变换与矩阵之 间存在着一一对应的关系，因此可以利用矩阵来研究线性变换。 例 1 线性变换 叫做恒等变换。它所对应的矩阵是 n 阶单位矩阵 即 ( ) E =  ij 例 2 线性变换        = = = n n n y x y x y x     2 2 2 1 1 1 所对应的 n 阶方阵是 n 阶对角阵。             = n A           0 0 0 0 0 0 2 1             = 0 0 1 0 1 0 1 0 0        En        = = = n n y x y x y x  2 2 1 1

第二节矩阵的运算 一、矩阵的加法 定义2设A=(a,)和B=(亿，)都是mxn矩阵，称mxn矩阵 a1+,a2+h2.am+hn】 au+baz+62.an+b。 anu+bnla2+b2.an+bn 为矩阵A与B的和，记为A+B, 矩阵A与B的差规定为A+(-B),记为A-B, 矩阵加法满足下列运算律（设A、B、C是同型矩阵）： (1)A+B=B+A: (2)(A+B)+C=A+(B+C). 二、数与矩阵相乘 定义3设入是数，A=(a,)是m×n矩阵，称矩阵 a1a.an a1 .ian iala2.a 为数与矩阵A的乘积，简称数乘，记为元A或A. 数与矩阵乘积满足下列运算律（设A、B是m×n矩阵，元、4是数）： (1)(24)A-A(4A): (2)(+)A=元A+HA: (3)(A+B)=元A+元B. 矩阵的加减法和数乘称为矩阵的线性运算 三、矩阵与矩阵相乘（矩阵乘法） 设有两个线性变换

第二节 矩阵的运算 一、矩阵的加法 定义 2 设 ( ) ij A = a 和 ( ) ij B = b 都是 m n 矩阵，称 m n 矩阵 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 1 1 2 2 n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b a b a b a b   + + +   + + +       + + +   为矩阵 A 与 B 的和，记为 A B+ ． 矩阵 A 与 B 的差规定为 A B + −( )，记为 A B− ． 矩阵加法满足下列运算律（设 A 、 B 、C 是同型矩阵）： （1） A B B A + = + ； （2） ( ) ( ) A B C A B C + + = + + ． 二、数与矩阵相乘 定义 3 设  是数， ( ) ij A = a 是 m n 矩阵，称矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a                      为数  与矩阵 A 的乘积，简称数乘，记为 A 或 A ． 数与矩阵乘积满足下列运算律（设 A 、 B 是 m n 矩阵，  、  是数）： （1） ( ) ( )    A A = ； （2） ( )     + = + A A A ； （3）    ( ) A B A B + = + ． 矩阵的加减法和数乘称为矩阵的线性运算． 三、矩阵与矩阵相乘（矩阵乘法） 设有两个线性变换

x=b+b2l (I) 2=b4+bh2 x=b4+b22 变量x,x2,到变量片，乃2的线性变换为 (Ⅱ) y=a+a22+a3 Jy2=a21+a22X2+a423X3 那么，变量4，山到变量乃，乃的线性变换应为 (m) 「月=a(64+b2)+a2(b4+b2)+a(b+b2) y2=az(+b2)+az(+b)+az(b+b) 乃=(a14+a,b,+a4i)片+(ab2+abn+abz, y=(a b+ab+ab+(a b+ab,+abM A=ai4&aa） (b b2 B=b b2, bst bs2 aabu+axba+abs axbz+axba+ab 矩阵C是由矩阵A与B按照某种运算得到的，这就是我们下面要给出的矩阵的乘法， 定义4设A=(a,)是一个m×s矩阵，B=(b,)是一个5×n矩阵，则规定矩阵A与B 的乘积是一个m×n矩阵C=(c,),其中 6=a6,+a6,++ay=2abyi=l,2mj=l2.,川. 并把此乘积记为 C=AB. 两个矩阵相乘要求左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数.乘积矩阵的行数为左边矩阵的 行数，乘积矩阵的列数为右边矩阵的列数。乘积矩阵的，)元为左边矩阵的第1行元素与 右边矩阵的第j列元素对应相乘再相加

（Ⅰ） 1 11 1 12 2 2 21 1 22 2 3 31 1 32 2 x b t b t x b t b t x b t b t  = +   = +   = + ， 变量 1 2 3 x x x , , 到变量 1 2 y y, 的线性变换为 （Ⅱ） 1 11 1 12 2 13 3 2 21 1 22 2 23 3 y a x a x a x y a x a x a x  = + +   = + + ， 那么，变量 1 2 t t, 到变量 1 2 y y, 的线性变换应为 （Ⅲ） 1 11 11 1 12 2 12 21 1 22 2 13 31 1 32 2 2 21 11 1 12 2 22 21 1 22 2 23 31 1 32 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y a b t b t a b t b t a b t b t y a b t b t a b t b t a b t b t  = + + + + +   = + + + + + ， 即 1 11 11 12 21 13 31 1 11 12 12 22 13 32 2 2 21 11 22 21 23 31 1 21 12 22 22 23 32 2 ( ) ( ) ( ) ( ) y a b a b a b t a b a b a b t y a b a b a b t a b a b a b t  = + + + + +   = + + + + + ， 令 11 12 13 21 22 23 a a a a a a   =     A ， 11 12 21 22 31 32 b b b b b b     =       B ， 11 11 12 21 13 31 11 12 12 22 13 32 21 11 22 21 23 31 21 12 22 22 23 32 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b   + + + + =     + + + + C ， 矩阵 C 是由矩阵 A 与 B 按照某种运算得到的，这就是我们下面要给出的矩阵的乘法． 定义 4 设 ( ) ij A = a 是一个 m s  矩阵 ， ( ) ij B = b 是一个 s n 矩阵，则规定矩阵 A 与 B 的乘积是一个 m n 矩阵 ( ) ij C = c ，其中 1 1 2 2 1 ( 1,2, , ; 1,2, , ) s i j i j i j i s s j i k k j k c a b a b a b a b i m j n = = + + + = = =  ， 并把此乘积记为 C AB = ． 两个矩阵相乘要求左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数．乘积矩阵的行数为左边矩阵的 行数，乘积矩阵的列数为右边矩阵的列数．乘积矩阵的 ( , ) i j 元为左边矩阵的第 i 行元素与 右边矩阵的第 j 列元素对应相乘再相加．

410 B=13 求AB 201 134 410 AB=g03-1-1i3 2102201 (134 -240w042112i9002g3120i0 .2×0+1×3+0×1+2×4 - 矩阵乘法满足下列运算律（假设运算都是可行的）： (1)(AB)C=A(BC): (2)(AB)=(A)B=A(1B): (3)A(B+C)=AB+AC:(B+C)A=BA+CA 例2设矩阵 5 A=(a,a,.a),B= 求AB和BA b. 解AB=(a,4,a, =(a,b1+ab2t.+anbn) aba.ban BA= baba.ban \be b,a b.a.ban 应该注意，若有矩阵Am,B,则AB是m阶方阵，而BA是n阶方阵

例 1 设 1 0 3 1 2 1 0 2   − =     A ， 4 1 0 1 1 3 2 0 1 1 3 4     −   =       B ，求 AB ． 解 4 1 0 1 0 3 1 1 1 3 2 1 0 2 2 0 1 1 3 4       − −  =         AB 1 4 0 ( 1) 3 2 ( 1) 1 1 1 0 1 3 0 ( 1) 3 1 0 0 3 3 1 ( 1) 4 2 4 1 ( 1) 0 2 2 1 2 1 1 1 0 0 2 3 2 0 1 3 0 1 2 4    +  − +  + −   +  +  + −   +  +  + −  =      +  − +  +   +  +  +   +  +  +  921 9 9 11   − − =     ． 矩阵乘法满足下列运算律（假设运算都是可行的）： （1） ( ) ( ) AB C A BC = ； （2）    ( ) ( ) ( ) AB A B A B = = ； （3） A B C AB AC ( ) + = + ； ( ) B C A BA CA + = + ． 例 2 设矩阵 1 2 ( , , , ) n A = a a a ， 1 2 B       =       n b b b ， 求 AB 和 BA． 解 1 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) ( ) n n n n b b a a a a b a b a b b       = = + + +       AB ， 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 ( , , , ) n n n n n n n n b b a b a b a b b a b a b a a a a b b a b a b a             = =             BA ． 应该注意，若有矩阵 A m n ， B n m ，则 AB 是 m 阶方阵，而 BA 是 n 阶方阵．

例3设矩阵 4日9c- 求AB和AC 8-3-Θ4c-32-0 4-(日2-88 a4-(02g2-0 由例3看出矩阵乘法不适合消去律，由例4看出矩阵乘法不适合交换律，两个非零矩阵 的乘积可以为零矩阵，如果A、B都是n阶方阵，则AB与BA都有意义且都是n阶方阵， 但不一定相等。 利用矩阵乘法，可以定义方阵的幂，设A是阶方阵，定义 A=E,A=A,A=AA,.,A=AA,其中k为正整数 利用矩阵乘法的结合律，易证方阵的幂满足： A=A,(AyA型，其中k、I为正整数 由于矩阵乘法不适合交换律，所以(AB)=AB不一定成立。一般来说 (A+B)=4+AB+BA+B, 只有当AB=BA时，才有(A+B)=A+2AB+B成立 例：设矩库40)求 第-00-0引-4-00-0》 a-00-0》

例 3 设矩阵 1 2 1 2 A   − =     − ， 4 2 B   =     ， 4 2 C   − =     − ， 求 AB 和 AC ． 解 1 2 4 0 1 2 2 0 AB      − = =           − ， 1 2 4 0 1 2 2 0 AC      − − = =           − − ． 例 4 设 2 1 4 2   =     − − A ， 3 1 6 2   − =     − B ，求 AB ， BA ． 解 2 1 3 1 0 0 4 2 6 2 0 0      − = =           − − − AB ， 3 1 2 1 10 5 6 2 4 2 20 10      − = =           − − − − − BA ． 由例 3 看出矩阵乘法不适合消去律，由例 4 看出矩阵乘法不适合交换律，两个非零矩阵 的乘积可以为零矩阵．如果 A 、B 都是 n 阶方阵，则 AB 与 BA 都有意义且都是 n 阶方阵， 但不一定相等． 利用矩阵乘法，可以定义方阵的幂．设 A 是 n 阶方阵，定义 0 A E= ， 1 A A= ， 2 1 1 A A A = ， ， 1 1 A A A + = k k ， 其中 k 为正整数． 利用矩阵乘法的结合律，易证方阵的幂满足： A A A + = k l k l ， ( ) A A k l kl ，其中 k 、l 为正整数． 由于矩阵乘法不适合交换律，所以 ( )k k k AB A B = 不一定成立．一般来说 2 2 2 ( ) A B A AB BA B + = + + + ， 只有当 AB BA = 时，才有 2 2 2 ( ) 2 A B A AB B + = + + 成立． 例 5 设矩阵 1 1 0 1 A   =     ，求 A n ． 解 2 1 1 1 1 1 2 0 1 0 1 0 1 A      = =           ， 3 2 1 2 1 1 1 3 0 1 0 1 0 1 A A A      = = =           ， 4 3 1 3 1 1 1 4 0 1 0 1 0 1 A A A      = = =          

可用吸学法运，术-0 四、矩阵的转置 定义5设A=(a)是mxn矩阵，称矩阵 a1a1.am1 为矩阵A的转置矩阵，记为A' 由定义知，m×n矩阵A的转置矩阵A是一个n×m矩阵，A中（亿，）位置的元素是A 中(，)位置的元素. 转置矩阵满足下列运算律 (1)(A)T=A: (2)(A+B)=A+BT (3)(aA0=A: (4)(AB)T=BT AT. 证(4)设A=(a,)是一个m×s矩阵，B=(他，)是一个s×n矩阵，记 AB=C=(c),BAT=D=(du)m, 由于(AB)的第1行，第j列的元素为c,由矩阵乘法定义，有 c-204 而B的第i行为(，b),A「的第j列为(a.,a),所以 di-buda-ab =c(12.m.J1.2.m). 即D=CT,亦即

可用数学归纳法证明， 1 0 1 A   =     n n ． 四、矩阵的转置 定义 5 设 ( ) ij A = a 是 m n 矩阵，称矩阵 11 21 1 12 22 2 1 2 m m n n mn a a a a a a a a a             为矩阵 A 的转置矩阵，记为 T A ． 由定义知，m n 矩阵 A 的转置矩阵 T A 是一个 n m 矩阵， A 中 ( , ) i j 位置的元素是 T A 中 ( , ) j i 位置的元素． 转置矩阵满足下列运算律： （1） T T ( ) A A = ； （2） T T T ( ) A B A B + = + ； （3） T T ( )   A A = ； （4） T T T ( ) AB B A = ． 证 （4） 设 ( ) ij A = a 是一个 m s  矩阵 ， ( ) ij B = b 是一个 s n 矩阵,记 ( ) i j m n c AB C= =  ， T T ( ) ij n m d B A D= =  ， 由于 T ( ) AB 的第 i 行，第 j 列的元素为 ji c ，由矩阵乘法定义，有 1 s ji jk ki k c a b = =  ， 而 T B 的第 i 行为 1 ( , , ) i si b b ， T A 的第 j 列为 T 1 ( , , ) j js a a ，所以 1 1 s s i j ki jk jk ki ji k k d b a a b c = = ===   ，( 1,2, , ; 1,2, , ) i n j m = = ， 即 T D C= ，亦即

(AB)=BAT 若矩阵A满足A=A(即a=口)，则称A是对称阵.对称阵的元素以对角线为对 称轴对应相等。 若矩阵A满足A=-A(即a,=一an),则称A是反对称阵 例6设n×l矩阵x=(:,x2,x),且xx=1,E为n阶单位阵， H=E-2xT,证明：(1)H是对称阵：(2)H2=E. (1)HT=(E-2xx)T=ET-2(xx)=E-2xx=H 故H是对称阵 (2) H2=(E-2x)2=E-4r+4xxx =E-4xx+4x(xx)x=E-4xx+4xx =E. 五、方阵的行列式 定义6设A为n阶方阵，其元素构成的n阶行列式称为方阵A的行列式，记为A或 detA. 由方阵A确定A的这个运算满足下列运算律（设A、B为n阶方阵，入为数）： (1)A=A: (2)2A="4: (3)AB=A‖B 证(1)由行列式性质即得. (2)多次利用行列式性质3，有 a,2a2.an 2anan2.anm (3)设2n阶行列式

T T T ( ) AB B A = ． 若矩阵 A 满足 T A A= （即 a a ij ji = ），则称 A 是对称阵．对称阵的元素以对角线为对 称轴对应相等． 若矩阵 A 满足 T A A = − （即 a a ij ji = − ），则称 A 是反对称阵． 例 6 设 n1 矩阵 T 1 2 ( , , , ) n x = x x x ，且 T x x =1， E 为 n 阶单位阵， T H E xx = − 2 ．证明：（1） H 是对称阵；（2） 2 H E= ． 证 （1） T T T T T T T H E xx E xx E xx H = − = − = − = ( 2 ) 2( ) 2 ， 故 H 是对称阵． （2） 2 T 2 T T T H E xx E xx xx xx = − = − + ( 2 ) 4 4 T T T T T = − + = − + E xx x x x x E xx xx 4 4 ( ) 4 4 = E ． 五、方阵的行列式 定义 6 设 A 为 n 阶方阵，其元素构成的 n 阶行列式称为方阵 A 的行列式，记为 A 或 det A． 由方阵 A 确定 A 的这个运算满足下列运算律（设 A 、 B 为 n 阶方阵，  为数）： （1） T A A = ； （2）   A A = n ； （3） AB A B = ． 证 （1） 由行列式性质即得． （2） 多次利用行列式性质 3，有 11 12 1 11 12 1 21 22 2 21 22 2 1 2 1 2 n n n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a = = =             A A ． （3） 设 2n 阶行列式

.a D= al.am |A0 -1 b1.bn -EB例 . -1b.b 由第一章例9得D=4B 将D中所有的（亿，）元都化为零，这里i,j=n+L,n+2,.,2n.分别将D中第1列的 ,倍，第2列的b,倍，第n列的b倍加到第n+1列上，使D中么，b,.,b所在 位置的元素都化为零.同样可使D中其它b,所在位置的元素也都化为零，最后得到 -1 . -1 这里，a,6,记C=6,显C=4B. 对D-2d年运斯U-120.有D=yfC Γ-Eo D=(-I)-EC=(-1)(-1)C=lC=AB 所以AB=AB. 例7设A=(a,)是n阶方阵，行列式4的元素a,(亿，j=l,2,川的代数余子式 A,(位j=12,.,n)构成的n阶方阵 A4.A 称为矩阵A的伴随矩阵，简称伴随阵，记为A

11 1 1 11 1 1 1 1 n n nn n n nn a a a a D b b b b = − − O = − A O E B ， 由第一章例 9 得 D = A B ． 将 D 中所有的 ( , ) i j 元都化为零，这里 i j n n n , 1, 2, ,2 = + + ．分别将 D 中第 1 列的 11 b 倍，第 2 列的 21 b 倍， ，第 n 列的 n1 b 倍加到第 n+1 列上，使 D 中 11 21 1 , , , n b b b 所在 位置的元素都化为零．同样可使 D 中其它 ij b 所在位置的元素也都化为零．最后得到 11 1 11 1 1 1 1 1 n n n nn n nn n n a a c c a a c c D  = − − O ， 这里 1 n i j i k k j k c a b = =  ，记 ( ) i j n n c C =  ，显然 C AB = ． 对 D = − A C E O 作行运算 ( 1,2, , ) j n j r r j n  = + ，有 ( 1)n D − = − E O A C ， ( 1) ( 1) ( 1) n n n D = − − = − − = = E C C C AB ． 所以 AB A B = ． 例 7 设 ( ) ij A = a 是 n 阶方阵，行列式 A 的元素 a i j n i j ( , 1,2, , = ) 的代数余子式 A i j n i j ( , 1,2, , = ) 构成的 n 阶方阵 11 21 1 12 22 2 1 2 n n n n nn A A A A A A A A A             称为矩阵 A 的伴随矩阵，简称伴随阵，记为  A ．