《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 3-2 初等矩阵

线性代数教程 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 2346 第二节初等矩阵 一、初等矩阵的概念 二、初等矩阵的应用 三、小结 第1项

线性代数教程 线性代数小组 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 23:46 第1页 第二节 初等矩阵 一、初等矩阵的概念 三、小结 二、初等矩阵的应用

线性代数敖程 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 23:46 一、初等矩阵的概念 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛 定义由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵 三种初等变换对应着三种初等方阵 1.对调两行或两列； 2.以数k≠0乘某行或某列； 3.以数k乘某行（列）加到另一行（列）上去. 第2项

线性代数教程 线性代数小组 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 23:46 第2页 定义 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. E 三种初等变换对应着三种初等方阵. 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 一、初等矩阵的概念       以数 乘某行（列）加到另一行（列）上去． 以数 乘某行或某列； 对调两行或两列； k k 3. 2. 0 1

线性代数赦程第三章矩阵的初等变换与线性方程组 2346 1、对调两行或两列 对调E中第i,两行，即（→），得初等方阵 -第i行 E(i,)= ←-第j行 第3页

线性代数教程 线性代数小组 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 23:46 第3页 对调 E 中第 i, j 两行，即(ri  rj )，得初等方阵 1、对调两行或两列                                   = 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 ( , )        E i j  第 i 行  第 j 行

线性代数教程 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 2346 用n阶初等矩阵En(i,)左乘A-(a,)xn,得 411 412 Ain n n -第i行 E(i,j)A= 2 n -第j行 Amn 相当于对矩阵A施行第一种初等行变换： 把A的第i行与第j行对调()) 第4项

线性代数教程 线性代数小组 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 23:46 第4页 用m 阶初等矩阵Em (i, j) 左乘 A = (aij)mn，得                       = m m mn i i in j j jn n m a a a a a a a a a a a a E i j A              1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 ( , )  第 i 行  第 j 行 ( ). i j A i j r r A 把 的第 行与第 行对调  相当于对矩阵 施行第一种初等行变换：

线性代教教程 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 2346 类似地， 以n阶初等矩阵E,i,)右乘矩阵A, 02 42 azi . AE.(,)= A2n ami mi Amn 相当于对矩阵A施行第一种初等列变换： 把A的第i列与第列对调(c:)C) 第5页

线性代数教程 线性代数小组 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 23:46 第5页 以 阶初等矩阵 右乘矩阵 ， 类似地， n En (i, j) A               = m mj mi mn j i n j i n n a a a a a a a a a a a a AE i j              1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 ( , ) ( ). i j A i j c c A 把 的第 列与第 列对调  相当于对矩阵 施行第一种初等列变换：

线性代数教程 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 2346 2、以数k≠0乘某行或某列 以数k≠0乘单位矩阵的第行（心×k),得初等 矩阵E(i(k). E(i(k))= -第i行 第6顾

线性代数教程 线性代数小组 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 23:46 第6页 2、以数k  0 乘某行或某列 ( ( )). 0 ( ) E i k k i ri k 矩阵 以数  乘单位矩阵的第 行  ，得初等                       = 1 1 1 1 ( ( ))   E i k k  第 i 行

线性代教教程 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 2346 以E((k)左乘矩阵A, 凸11 12 。. n E (i(k))A=kei kai2 kdin 第i行 Aml Am2 相当于以数k乘A的第i行(U×k): 类似地以E,(i(k)右乘矩阵A,其结果 相当于以数k乘A的第i列(c:×k). 第7页

线性代数教程 线性代数小组 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 23:46 第7页 相当于以数 k 乘 A的第 i 行 (ri  k)；                 = m m mn i i in n m a a a ka ka ka a a a E i k A          1 2 1 2 1 1 1 2 1 ( ( ))  第 i 行 类似地， 以 Em (i(k))左乘矩阵A， ( ). ( ( )) k A i c k E i k A i n 相当于以数 乘 的第 列  以 右乘 矩阵 ，其结果

线性代数故程 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 2346 3、以数k≠0乘某行列加到另一行列)上去 以k乘E的第j行加到第i行上(+kr) 或以k乘E的第i列加到第j列上(c,+c) 1.k 第行 E(ij(k))= 第行 第8项

线性代数教程 线性代数小组 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 23:46 第8页 3、以数k  0乘某行(列)加到另一行(列)上 去 或以 乘 的第 列加到第 列上 ， 以 乘 的第 行加到第 行上 [ ( ) ( ) j i i j k E i j c kc k E j i r kr + +                       = 1 1 1 1 ( ( ))     k E ij k  第i行  第j行

线性代数赦程第三章矩阵的初等变换与线性方程组 2346 以E(jk)左乘矩阵A, 11 L12 Ain 1+k1a2+kaj2. ain+ain E(j(kA= aji aj Ami am2 把A的第j行乘k加到第i行上(+) 第9页

线性代数教程 线性代数小组 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 23:46 第9页 以 Em (ij(k))左乘矩阵A，                       + + + = m m m n j j jn i j i j in jn n m a a a a a a a ka a ka a a a a a E ij k A              1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 ( ( )) ( ). i j 把 A的第 j 行乘 k 加到第 i 行上 r + kr

线性代数教程 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 23:46 类似地，以E,(k)右乘矩阵A,其结果相当于 把A的第列乘k加到第j列上C,+kc,) AE,(ij(k)) a11 au+kavj .ain az .a2:+ka2. Azj A2n ami +kamj amj .amn 第10页

线性代数教程 线性代数小组 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 23:46 第10页 ( ). ( ( )) j i n A i k j c kc E ij k A 把 的第 列乘 加到第 列上 + 类似地，以 右乘矩阵 ，其结果相当于               + + + = m mi mj mj mn i j j n i j j n n a a ka a a a a ka a a a a ka a a AE ij k              1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( ( ))