《高等数学》课程授课教案（讲义）第十章 曲线积分与曲面积分

第十章曲线积分与曲面积分$10.1对弧长的曲线积分教学目的：了解对弧长曲线积分的概念和性质，理解和掌握对弧长曲线积分的计算法和应用教学重点：弧长曲线积分的计算教学难点：弧长曲线积分的计算教学内容：一、对弧长曲线积分的概念与性质1：曲线形构件质量设一构件占xoy面内一段曲线弧L，端点为A,B，线密度p(x,Jy)连续求构件质量M。解：(1)将L分割△s, (i=1,2,....,n)1y(2) V(xi,y,)e As;, AM, = p(xi,y,)-AsiA(3) M~Ep(x,y,)As,oi=l(4) M=limZp(x,y,)As;1→0 =lA= max(Asi,As2,""",As,)2.定义L为xoy面内的一条光滑曲线弧，f(xJ)在L上有界，用M将L分成n小段AS,，任取一点.),=-,,）作和(.AS，令i=l=max(AssAs,），当→0时，limf(n,)S,存在，称此极限值1→0=为f（x，y）在L上对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）记为J(x, y)ds =limZ(5,n,)AS,>0=

第十章 曲线积分与曲面积分 §10.1 对弧长的曲线积分 教学目的：了解对弧长曲线积分的概念和性质，理解和掌握对弧长曲线积分的计算法和应用 教学重点：弧长曲线积分的计算 教学难点：弧长曲线积分的计算 教学内容： 一、对弧长曲线积分的概念与性质 1． 曲线形构件质量 设一构件占 xoy 面内一段曲线弧 L ，端点为 A, B ，线密度 ρ(x, y) 连续 求构件质量 M 。 解：（1）将 L 分割 i Δs (i = 1,2,"", n) （2） ( , ) i i ∀ x y ∈ i Δs ， ΔMi ≈ i i i ρ(x , y )⋅ Δs （3） ( ) i n i i i M ≈ ∑ x y Δs =1 ρ , （4） ∑ → = = Δ n i i i i M x y s 0 1 ( , ) lim ρ λ max{ , , , } 1 2 n λ = Δs Δs " Δs 2．定义 L 为 xoy 面内的一条光滑曲线弧，f (x, y) 在 L 上有界，用 Mi 将 L 分成n 小段 ΔSi ， 任取一点 i i ∈ ΔSi (ξ ,η ) (i = 1,2,"",n) 作和 i n i ∑ f i i ΔS =1 (ξ ,η ) ，令 max{ , , , } 1 2 n λ = Δs Δs " Δs ，当λ → 0时， i n i ∑ f i i ΔS →0 =1 ( , ) lim ξ η λ 存在，称此极限值 为 f (x, y) 在 L 上对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）记为 = ∫ f x y ds L ( , ) i n i ∑ f i i ΔS →0 =1 ( , ) lim ξ η λ A o x y B

注意：（1）若曲线封闭，积分号6f(x,y)ds(2）若f(x,y)连续，则[f(x,y)ds存在，其结果为一常数(3）几何意义f(x,J)=1，则[f(x,J)ds=L（L为弧长)(4)物理意义 M=[p(x,y)ds(5）此定义可推广到空间曲线[(,,)ds=lim(5,n,5)-→0=l（6）将平面薄片重心、转动惯量推广到曲线弧上J oxdsJpzds[pyds重心：xMMM转动惯量：,=「yp(x,j)ds，1I, = [x'p(x,y)ds ,I。= [(x? +y°)p(x,y)ds（7)若规定L的方向是由A指向B，由B指向A为负方向，但[F(x,J)ds与L的方向无关3．对弧长曲线积分的性质a: 设L= L, + L,, 则[f(x,y)ds=f(x,y)ds+[f(x,y)dsb: fLf(x,y)±g(x,y))ds=J f(x,y)ds ± g(x, y)dsc: [kf(x,y)ds=k [f(x,y)ds 。二对弧长曲线积分的计算[x=p(t)定理：设f(x,Jy)在弧L上有定义且连续，L方程(α≤t≤β), p(t),y(t)(y=y(t)在[α,β)上具有一阶连续导数，且p"2()+"2()0，则曲线积分「f(x,y)ds存在，且[ (x, y)ds=[ F[p(t), p()/"(t)+ p'2()dt 。说明：从定理可以看出计算时将参数式代入f(x,y)，ds="2()+"2()dt，在[α,]上计算定积(1)分。(2)注意：下限α一定要小于上限β，α0）(3) L: y=p(x), a≤x≤b时, [f(x, y)ds=f' f[x,p(x)/1+[p'(x)Pdx

注意：（1）若曲线封闭，积分号 ∫ f (x, y)ds （2）若 f (x, y) 连续，则 f x y ds L ∫ ( , ) 存在，其结果为一常数. （3）几何意义 f (x, y) =1，则 f x y ds L ∫ ( , ) =L（L 为弧长） （4）物理意义 M= x y ds L ∫ ρ( , ) （5）此定义可推广到空间曲线 f x z y ds ∫ Γ ( , , ) = i n i ∑ f i i i ΔS →0 =1 ( , , ) lim ξ η ζ λ （6）将平面薄片重心、转动惯量推广到曲线弧上 重心： M xds x L ∫ = ρ ， M yds y L ∫ = ρ ， M zds z L ∫ = ρ 。 转动惯量： ∫ = L x I y (x, y)ds 2 ρ ， ∫ = L y I x (x, y)ds 2 ρ ， ∫ = + L o I (x y ) (x, y)ds 2 2 ρ （7）若规定 L 的方向是由 A 指向 B，由 B 指向 A 为负方向，但 f x y ds L ∫ ( , ) 与 L 的方向 无关 3．对弧长曲线积分的性质 a：设 L = L1 + L2 ，则 f x y ds L ∫ ( , ) = f x y ds L ∫ 1 ( , ) + f x y ds L ∫ 2 ( , ) b： f x y g x y ds L ∫[ ( , ) ± ( , ]) = f x y ds L ∫ ( , ) ± (, ) L g x y ds ∫ c： kf x y ds L ∫ ( , ) = k f x y ds L ∫ ( , ) 。 二 对弧长曲线积分的计算 定理：设 f (x, y) 在弧 L 上有定义且连续，L 方程 ⎩ ⎨ ⎧ = = ( ) ( ) y t x t ψ ϕ （α ≤ t ≤ β ），ϕ(t),ψ (t) 在[α,β ]上具有一阶连续导数，且 ( ) ( ) 0 2 2 ϕ′ t +ψ ′ t ≠ ，则曲线积分 f x y ds L ∫ ( , ) 存在，且 f x y ds L ∫ ( , ) = ∫ ′ + ′ L f [ (t), (t)] (t) (t)dt 2 2 φ ϕ φ ϕ 。 说明：从定理可以看出 （1） 计算时将参数式代入 f (x, y) ，ds (t) (t)dt 2 2 = φ′ +ϕ′ ，在[α,β ]上计算定积 分。 （2） 注意：下限α 一定要小于上限 β ，α 0） （3） L ： y = ϕ(x), a ≤ x ≤ b 时， f x y ds L ∫ ( , ) = f x x x dx b a 2 [ ,ϕ( )] 1+ [ϕ′( )] ∫

同理 L: x=(y),c≤y≤d 时,[f(x,y)ds=[[o(y),y/1+[g(y)Pdy(4)空间曲线P：x=(t)，y=(t)，z=可(t)f(x, y)ds=[" f[p(t),y(t), a(t)p2(t) + yr"2(t)+a"2(t)dt例1.计算曲线积分[ylds，其中L是第一象限内从点A(0,1)到点B(1,0)的单位圆弧解（I)L:y=/i-x20≤x≤12dxAds=-dx4V1-x2dx/1-1dx =vdV1-(I)若L是 IIV象限从 4(0.1)到 B(,-)）的单位圆弧2(1) [vlds=[1vylds+ [lyldsLABBBdxdxVi-r2CVi- xV1-x21Iidxdx2V3Lx= /1- y2(2)若yI2dyVds:1一1lyds元≤1≤"(3)L:x=cost,y=sint23

同理 L ：x = φ( y)，c ≤ y ≤ d 时， f x y ds L ∫ ( , ) = f y y y dy d c 2 [φ( ), ] 1+ [φ′( )] ∫ (4) 空间曲线 P ： x = ϕ(t) ， y =ψ (t) ， z =ϖ (t) ， f x y ds P ∫ ( , ) = f [ (t), (t), (t)] (t) (t) (t)dt 2 2 2 ϕ ψ ϖ ϕ ψ ϖ β α ′ + ′ + ′ ∫ 例 1．计算曲线积分 yds L ∫ ，其中 L 是第一象限内从点 A(0,1) 到点 B(1,0) 的单位圆弧 解 (Ⅰ) L ： 2 y = 1− x 0 ≤ x ≤ 1 2 2 2 1 1 1 x dx dx x x ds − = − = + ∴ yds L ∫ = 1 1 1 1 2 0 1 0 2 = = − − ⋅ ∫ ∫ dx x dx x (Ⅱ) 若 L 是ⅠⅣ象限从 A(0,1) 到 ) 2 3 , 2 1 B'( − 的单位圆弧 （1） yds L ∫ = yds AB ∫ ∩ + yds BB ∫ ∩ ′ = 2 1 0 2 1 1 x dx x − − ⋅ ∫ + 2 1 2 1 2 1 1 x dx x − − ⋅ ∫ = ∫ 1 0 dx + ∫ 1 2 1 dx = 2 3 (2) 若 L ： 2 x = 1− y ( 1 2 3 − ≤ y ≤ ) 2 2 2 1 1 1 y dy dy y y ds − = − = + yds L ∫ = dy y y ∫− − 1 2 3 2 1 = dy y y ∫− − − 0 2 3 2 1 + dy y y ∫ − 1 0 2 1 2 3 = (3) L ： x = cost ， y = sin t 3 2 π π − ≤ t ≤ o A y x B x o y A B B

ds=(-sint)?+cos?tdt=dt[ sin d - sindt =-[bvlds=, sin ldt-V+dsL：r=a=0 ==所围成的边界例2.计算4解L=OA+AB+BO在OA上ds = dxJ=00≤x≤aYxe"dx=e"-lA0≤0AB在上ds = adxr=a4Tae+, ds=[e'ade =4在OB上y=x，ds=/2dxx2+y2=/2x/2[er- ds=[eva 2xdx =e"-1.. JeP+ ds=2(e"-1)+e*4例3.计算x2+ydsL: x+y?=ax[x=rcos0L:r=acoso (-2解：y=rsine222 +y-=acoso,ds = (acos0) +(-asino)de=adsacos@.ado=a’ sino-2a?22aacOsa22*+y=%/1+coso或0≤0≤2元V2sine.27sing) +(sing)de-deds=22

ds = − t + tdt = dt 2 2 ( sin ) cos yds L ∫ = ∫− 2 3 sin π π t dt = − ∫ 2 0 sin π tdt ∫− 0 3 π sin tdt 2 3 = 例 2．计算 ∫ + L x y e ds 2 2 L ： r = a θ = 0 4 π θ = 所围成的边界 解 L = OA + AB+ BO ∩ 在 OA 上 y = 0 0 ≤ x ≤ a ds = dx ∴ ∫ + OA x y e ds 2 2 = 1 0 = − ∫ a a x e dx e 在 ∩ AB 上 r = a 4 0 π ≤ θ ≤ ds = adx ∴ ∫ ∩ + AB x y e ds 2 2 = = ∫ 4 0 π e adθ a a e a 4 π 在OB 上 y = x ， ds = 2dx x y 2x 2 2 + = ∫ + OB x y e ds 2 2 = 2 1 2 2 0 2 = − ∫ a a x e xdx e ∴ ∫ + L x y e ds 2 2 = 2( −1) a e + a e a 4 π 例 3．计算 ∫ + L x y ds 2 2 L ： x + y = ax 2 2 解 ⎩ ⎨ ⎧ = = θ θ sin cos y r x r ∵ L ：r = a cosθ ) 2 2 ( π θ π − ≤ ≤ cosθ 2 2 x + y = r = a ， ds = ( )( ) a θ + − a θ dθ = ads 2 2 cos sin ∴ ∫ + L x y ds 2 2 = ∫− ⋅ 2 2 cos π π a θ adθ = 2 2 2 sin π θ π − a = 2 2a 或 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = + sin . 2 cos , 2 2 θ θ a y a a x 0 ≤ θ ≤ 2π + = 2 2 x y 1 cosθ 2 + a θ θ dθ a a ds 2 2 sin ) 2 sin ) ( 2 = (− + = dθ a 2 o x y B A o y x a

0x?+yds=*%/1+coso.%do=dA20CoS0122 Jo2例4.计算Φ（x+y)ds.其中L是圆周x+y°=R解：对称性,得Vx?+y?=R?$(x+y)ds=Φ, xds+Φ'ds =0对Φ,xds,因积分曲线L关于y轴对称，T被积函数x是L上关于x的奇函数=→Φxds=0对Φyds,因积分曲线L关于x轴对称，被积函数是上关于y的奇函数=ds=0L：y=xy=x2围成区域的整个边界列5dsy=x解L=OA+OA交点(0,0)(1,1)y=x3$ xds=Joxds +J6,xds=f'x2dx+f'x1+4xdx六(5/5-1)(V1+4x21222例6求I=「,yds,其中L为y2=2x上自原点到(2,2)的一段y解："=2x=x=兰?=2x(0≤y≤2)2I = [1+ ydy=(5/5 -1)P例7求=[,xyzds,其中:x=acos，=asin,z=k的—段(02元)解：I=acosesinokoa+kdo元ka?a?+k?

∴ ∫ + L x y ds 2 2 = θ θ π d a a 2 1 cos 2 2 0 + ⋅ ∫ = ∫ π θ 2 θ 0 2 2 cos 2 d a = 2 2a 例 4.计算 3 ( )d . L x + y s v∫ 其中 L 是圆周 22 2 x + = y R . 解：对称性,得 3 3 ( )d d d L LL x += + y s xs y s v vv ∫ ∫∫ ＝0 d , L x s 对v∫ 因积分曲线 L 关于 y 轴对称, 被积函数 x 是 L 上关于 x 的奇函数⇒ d 0 L x s = v∫ 3 d , L y s 对v∫ 因积分曲线 L 关于 x 轴对称， 被积函数 3 y 是 L 上关于 y 的奇函数⇒ 3 d 0 L y s = v∫ 例 5． ∫L xds L ： y = x 2 y = x 围成区域的整个边界 解 L = ∩ OA + OA 交点 ⎩ ⎨ ⎧ = = 2 y x y x (0,0) (1,1) ∫L xds = ∫OA xds + ∫ ∩ OA xds = ∫ 1 0 x 2dx + ∫ + 1 0 2 x 1 4x dx = 1 0 2 2 2 x + 1 0 2 3 ( 1 4 ) 3 2 8 1 ⋅ + x = 2 2 + (5 5 1) 12 1 − 例 6 2 d , 2 (2, 2) . L I ys L y x = = 求 其中 为 上自原点到 的一段 ∫ 解： 2 2 2 (0 2) 2 y y xx y = ⇒= ≤≤ 2 2 0 1 1 d (5 5 1) 3 I y yy = += − ∫ 例 7 I xyz s x a y a z k d , : cos , sin , . (0 2 ) θ θ θ θπ Γ = Γ = = = ≤≤ 求 其中 的一段 ∫ 解： 2 2 22 0 I a kak cos sin d π = ⋅+ θ θθ θ ∫ 1 22 2 2 =− + πka a k o x y A 22 2 x + = y R x y O 2 y x = 2 x y O

例8求/=J,rds，其中r为圆周/r+y+2=α,[x+y+z=0解：由于T的方程中的x,y,z的地位完全对称J, x’ds= J,y'ds=J, -'ds一2)d-3.2元3ds=3(2元a=ds，球面大圆周长）例9 设1为精圆兰+兰=1,其周长为a, 求§,(2y+3r°+4y)ds=43解：9,(2xy+3x2+4y2)ds=9,2xyds +9,(3x* +4y)ds-0++91-(*+4 us-1 4 - -21小结1.对弧长曲线积分的概念和性质，2.对弧长曲线积分的计算法和应用作业

例 8 2 22 2 2 , d , 0. x yza I xs xyz Γ ⎧ ++= = Γ ⎨ ⎩ ++= 求 其中 为圆周 ∫ 解：由于Γ 的方程中的 x, y, z 的地位完全对称, 222 x ddd s ys zs ΓΓΓ = = ∫∫∫ 1 2 22 ( )d 3 I xyzs Γ = ++ ∫ 2 3 2 d 3 3 a a s π Γ = = ∫ (2 d , ) π a s Γ = ∫ 球面大圆周长 例 9 2 2 2 2 1, , (2 3 4 )d 4 3 L x y L a xy x y s += + + = 设 为椭圆 其周长为 求v∫ 解： 2 2 (2 3 4 )d L xyx ys + + v∫ 2 d L = xy s v∫ ＋ ( ) 2 2 3 4d L x + y s v∫ ＝0＋ 1 2 2 12 (3 4 )d L 12 +⋅ + x y s v∫ 2 2 12 ( )d 12 1d 12 L L 4 3 x y = += = s sa v v ∫ ∫ 小结 1.对弧长曲线积分的概念和性质，2.对弧长曲线积分的计算法和应用 作业

$10.2对坐标的曲线积分教学目的：了解对坐标曲线积分的概念和性质，理解和掌握对坐标曲线积分的计算法和应用教学重点：对坐标曲线积分的计算教学难点：对坐标曲线积分的计算教学内容：一、对坐标的曲线积分定义和性质1.引例：变力沿曲线所作的功。设一质点在xoy面内从点A沿光滑曲线弧L移到点B，受力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j，其中P，Q在L上连续。求上述过程所作的功解：（1）分割先将L分成n个小弧段M-M，(i=1,2,,n)（2）代替用MM,=Ax,i+Ayj近似代替M-M，Ax,=x,-xi-1Ay, = y,- yi-V(s,n,)e M,M,F(x,J)=P(x,y)i+Q(x,)j近似代替M-M,内各点的力，则F(x,J)沿M-M所做的功Aw,~F(5n).M-M(3) 求和 w~[P(5,n,)Ax, +Q(5,n,)Ay,]i=l（4）取极限令a=maxM-M,的长度i=1,2,,nW = lim Z[P(5,n,)Ax, +Q(5,n,)Ay,]A20i=12.定义：设L为xoy面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧，函数P(x,y),Q(x,y)在L上有界.在L上沿L的方向任意插入一点列M-(x-I,yi-）i=12...,n把L分成n个有向小弧段CMi-- M,(i=1,2,..",n,M。=A,M, =B)设Ax,=x,-xi-1,Ay,=y,-yi-1点(s,n,)为Mi-M,上任意取定的点.如果当个

§10.2 对坐标的曲线积分 教学目的：了解对坐标曲线积分的概念和性质，理解和掌握对坐标曲线积分的计算法和应用 教学重点：对坐标曲线积分的计算 教学难点：对坐标曲线积分的计算 教学内容： 一、对坐标的曲线积分定义和性质 1．引例：变力沿曲线所作的功。 设一质点在 xoy 面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移到点 B ，受力 F(x, y) = P(x, y) i + Q(x, y) j ，其中 P ，Q 在 L 上连续。求上述过程所作的功 解：（1）分割 先将 L 分成n 个小弧段 ∩ Mi−1Mi (i = 1,2,"",n) （ 2 ）代替 用 M M x i y j i−1 i = Δ i + Δ i 近似代替 ∩ Mi−1Mi Δ i = i − i−1 x x x ， Δ i = i − i−1 y y y ∀(ξ i ,ηi) ∈ ∩ Mi−1Mi F(x, y) = P(x, y) i + Q(x, y) j 近似代替 ∩ Mi−1Mi 内各点的力，则 F(x, y) 沿 ∩ Mi−1Mi 所 做的功Δ ≈ ( , )⋅ wi F ξ i ηi Mi−1Mi （3） 求和 ∑= ≈ Δ + Δ n i i i i i i i w P x Q y 1 [ (ξ ,η ) (ξ ,η ) ] （4）取极限 令λ = max{ ∩ Mi−1Mi 的长度 i = 1,2,", n} ∑= → = Δ + Δ n i i i i i i i w P x Q y 1 0 lim [ (ξ ,η ) (ξ ,η ) ] λ 2． 定义： 设 L 为 xoy 面内从点 A 到点 B 的一条有向光滑曲线弧，函数 P(x, y),Q(x, y)在 L 上有界.在 L 上沿 L 的方向任意插入一点列 ( , ) i−1 i−1 i−1 M x y (i = 1,2,⋅⋅⋅⋅⋅⋅,n) 把 L 分 成 n 个有向小弧段 Mi Mi ∩ −1 ( 1,2, , ; , ) i = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ n M 0 = A M n = B 设 1 1 , Δ i = i − i− Δ i = i − i− x x x y y y ，点( , ) ξ i ηi 为 Mi Mi ∩ −1 上任意取定的点.如果当个

小弧段长度的最大值→0时，P(5,n,)Ax,的极限总存在，则称此极限为函数i=lP(x,y)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分，记作,P(x,y)dx.类似地，如果乙Q(5,n,)Ay,的极限值总存在，则称此极限为函数Q(x,y)在有向曲线弧L上对坐标=ly曲线积分，记作[,o(x,y)dy.即[, P(x, y)dx = limZ P(5),n,)Ax, ,0i=lJ 0(xy)dy= limZo(x, y)Ay,说明：(1）当P(x,y)Q(x,y)在L上连续时，则,P(x,y)dx，[,Q(x,y)dy存在（2）可推广到空间有向曲线「上※（3）L为有向曲线弧，L为L与方向相反的曲线，则J, P(x, y)dx=- J, P(x, y)dx,[,o(x, y)dy=-[,0(x, y)dy(4)设L=L,+L,，则[ Pdx+Qdy=J,Pdx+Qdy+J,Pdx+Qdy此性质可推广到L=L,+L,…+L,组成的曲线上。二、计算[x=p(t),定理：设P(x,J)，Q(x,J)在L上有定义，且连续,L的参数方程为ly=y(t),当t单调地从α变到β时，点M(x,y)从L的起点A沿L变到终点B，且Φ(t),p(t)在以α，β为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且p()+y"()0，则且存在[, P(x, y)dx +Q(x, y)dy[, P(x, )dx +Q(x, y)dy=[(P[g(1),y(0)'({) + Q[o(1),y(0)]y(0)dt注意1）α：L起点对应参数，β：L终点对应参数α不一定小于β

小弧段长度的最大值 λ → 0 时， i i n i i ∑P Δx = ( , ) 1 ξ η 的极限总存在，则称此极限为函数 P(x, y) 在有向曲线弧 L 上对坐标 x 的曲线积分，记作 ∫L P(x, y)dx .类似地，如果 ∑= Δ n i i i i Q y 1 (ξ ,η ) 的极限值总存在，则称此极限为函数Q(x, y) 在有向曲线弧 L 上对坐标 y 曲线积分，记作 ∫L Q(x, y)dy .即 ∫ ∑= → = Δ n i i i i L P x y dx P x 1 0 ( , ) lim (ξ ,η ) λ ， ∫ ∑= → = Δ n i i L Q x y dy Q x y y 1 0 ( . ) lim ( , ) λ 说明：（1）当 P(x, y) Q(x, y) 在 L 上连续时，则 ∫L P(x, y)dx ， ∫L Q(x, y)dy 存在 （2）可推广到空间有向曲线Γ 上 ※ （3） L 为有向曲线弧， − L 为 L 与方向相反的曲线，则 ∫L P(x, y)dx = ∫ − − L P(x, y)dx ， ∫L Q(x, y)dy = ∫ − − L Q(x, y)dy （4）设 L = L1 + L2 ，则 ∫ + L Pdx Qdy = ∫ + 1 L Pdx Qdy + ∫ + 2 L Pdx Qdy 此性质可推广到 L = L1 + L2 ""+ Ln 组成的曲线上。 二、计算 定理：设 P(x, y) ，Q(x, y) 在 L 上有定义，且连续, L ⎩ ⎨ ⎧ = = ( ), ( ), y t x t ψ ϕ 的参数方程为 当t 单调地从α 变到 β 时，点 M (x, y) 从 L 的起点 A 沿 L 变到终点 B ，且φ(t),ϕ(t) 在以 α ， β 为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且 ( ) ( ) 0 2 2 ϕ′ t +ψ′ t ≠ ， 则 ∫ + L P(x, y)dx Q(x, y)dy 存在，且 ∫ + L P(x, y)dx Q(x, y)dy = {P[ϕ(t),ψ (t)]ϕ (t) Q[ϕ(t),ψ (t)]ψ (t)}dt β α ′ + ′ ∫ 注意 1）α ： L 起点对应参数， β ： L 终点对应参数 α 不一定小于 β

2）若L由y=(x)给出L起点为α，终点为β[, Pdx + Qdy = ["(P[x, y(x)]+ Q[x, (x)] y(x))dx3）此公式可推广到空间曲线『：x=()，=p()，z=(t)[, Pdx + Qdy + Rdz = J(P[p(1),y(0),a(1)]0(t) + Q[p(),(t),o(0)ly'(0)+ R[p(t),y(t), o(t)]o'(t))dtα：「起点对应参数，β：「终点对应参数例1.计算：(2a-y)dx-(a-y)dyL：摆线x=a(t-sint)，y=a(1-cost)从点O(0,0)到点B(2元a,0)。解:原式=f,"[2a-a(1-cost)a(1-cost)-[a-a(1-cost)asini]dtf [-a(1 + cost)a(1 - cost) - a’ cos t sin t]dt([2la(-cos)-α cosisinda)22元1I sin2t- sin 0a=元2422mJ,(2a-y)dx -(α - y)dy =-ma2例2.[,xy~dx+(x+y)dyL：1)曲线y=x22)折线L,+L，起点为(0,0)，终点为(1,1)解1) 原式-I[x-x*+(x+x)=小y2）原式=, +,=ydy+Jxdx=1故一般来说，曲线积分当起点、终点固定时，与路径有关例3．计算[,xydx,其中L为抛物线y2=x上，从A4(1,-1)到B(1,1)的一段弧yt解：（1）化为对x的定积分y=±VxB(L,1)J, xydx=Joydx+Jo dx- J°x(-V)dx+ J x/xdxOA(1,-1)

2）若 L 由 y = y(x) 给出 L起点为α，终点为β Pdx Qdy {P[x, y(x)] Q[x, y(x)] y (x)}dx. ∫L ∫ + = + ′ β α 3 ）此公式可推广到空间曲线 Γ ： x = φ(t) ， y = ϕ(t) ， z =ϖ (t) R t t t t dt Pdx Qdy Rdz P t t t t Q t t t t [ ( ), ( ), ( )] ( )} { [ ( ), ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( ), ( )] ( ) ϕ ψ ω ω ϕ ψ ω ϕ ϕ ψ ω ψ β α + ′ + + = ′ + ′ ∫Γ ∫ α ：Γ 起点对应参数， β ：Γ 终点对应参数 例1． 计算：∫ − − − L (2a y)dx (a y)dy L ：摆线 x = a(t − sin t) ， y = a(1− cost)从点 O(0,0)到点 B(2πa,0) 。 解：原式= [2a a(1 cost)]a(1 cost) [a a(1 cost)a sin t]dt 2 0 − − − − − − ∫ π = [ a(1 cost)a(1 cost) a costsin t]dt 2 2 0 − + − − ∫ π = (1 cos ) cos sin ] ) 2 1 cos 2 ( [ 2 2 0 2 a t a t t dt t a a − − − − ∫ π = 2 2 0 2 2 sin ) 2 1 sin 2 4 1 2 1 a ( t t t πa π − − = 2 (2a y)dx (a y)dy a L − − − = −π ∫ − 例 2．∫ + + L xy dx (x y)dy 2 L ：1）曲线 2 y = x 2）折线 L1 + L2 起点为(0,0) ，终点为(1,1). 解 1）原式= x x x x dx ∫ ⋅ + + 1 0 4 2 [ ( )] = 3 4 2） 原式= ∫ ∫ + L1 L2 = ∫ ∫ + 1 0 1 0 ydy xdx =1 故一般来说，曲线积分当起点、终点固定时，与路径有关 例 3． 2 d , (1, 1) (1,1) . L xy x L y x A B = − 计算 其中 为抛物线 上，从 到 的一段弧 ∫ 解：（1）化为对 的定积分 x y x = ± ∫∫ ∫ L AO OB xy x xy x xy x d dd = q ＋ q 0 1 1 0 =− + x( )d d x x x xx ∫ ∫ o L1 y x L2 •A(1, 1) − •B(1,1) 2 y x = O x y

（2）化为对y的定积分x=y，dx=2ydy，y从-1到14-4J xyd x= J' y y.2ydy=2f例4.计算[,xdx+ydy+(x+y-1)dz,其中r是由点A(1,1,1)到点B(2,3,4)的直线段解：直线AB的方程为--1_=-1123化成参数式方程为x=1+ty=1+2t,z=1+3tA点对应t=0.B点对应t=1.于是[, xdx+ ydy+(x+ y-1)dz(1+t)dt+(1+2t)2dt+(1+3t)3dt= f (6 +141)dt =13例5.计算[.x2dx+(y-x)dy,其中(1)L是上半圆周=Va2-x，反时针方向；(2)L是x轴上由点A(a,O)到点B(-a,O)的线段解：（1)中L的参数方程为x=acost,y=asintA点对应1=0,B点对应t=元原式=a cos td(acost)+(asint-acost)d(asint)2g-元a3 20A(a,0)xB(-a, 0)(2)L的方程为y=0,x从a到-a"r'dx =-2a原式=0例6.位于原点(0,0,0)处的电荷q产生的静电场中，一单位正电荷沿光滑曲线「x=x(t),y=y(t),z=z(t),α≤t≤β，从点A移到点B,设A对应t=α,B对应t=β

3 1 2 0 4 2 d 5 = = x x ∫ （2） 化为对 的定积分 y 2 x = y , d 2d, x = y y y从 到−1 1 1 2 1 d 2d L xy x y y yy − = ⋅⋅ ∫ ∫ = 1 4 1 4 2 5 y − = ∫ 例 4． xd d ( 1)d x yy x y z Γ + + +− 计算∫ ,其中Γ是由点 A(1,1,1)到点 B(2,3,4)的直线段. 解：直线 AB 的方程为 111 123 x −−− y z = = 化成参数式方程为 x =+ =+ =+ 1 , 1 2, 1 3 ty tz t A 点对应t = 0, B 点对应t =1, 于是 xd d ( 1)d x yy x y z Γ + + +− ∫ ＝ 1 0 (1 ) (1 2 )2 (1 3 )3 + ++ ++ t dt t dt t dt ∫ 1 0 =+ = (6 14 )d 13 t t ∫ 例 5． 2 d ( )d , L x x yxy + − 计算∫ 其中 (1) L 是上半圆周 2 2 y = − a x , 反时针方向; (2) L 是 x 轴上由点 A( ,0) a 到点 B( ,0) −a 的线段. 解：(1)中 L 的参数方程为 x = = a ty a t cos , sin A 点对应 t = 0, B 点对应t = π. 原式= 2 2 0 a td a t a t a t d a t cos ( cos ) ( sin cos ) ( sin ) π + − ∫ 2 3 2 3 2 a a π =− − (2) L 的方程为 y xa a = − 0, . 从 到 原式= 2 d a a x x − ∫ 2 3 3 = − a 例 6．位于原点(0,0,0)处的电荷 q 产生的静电场中, 一单位正电荷沿光滑曲线Γ: x xt y yt z zt t = = = ≤≤ ( ), ( ), ( ), α β ，从点 A 移到点 B, 设 A 对应t =α,B 对应t = β, B a ( ,0) − A( ,0) a O x y