《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第一章 函数与极限 1-04 第四节 无穷小与无穷大

第四节无穷小与无穷大1无穷小1无穷大1无穷小与无穷大的关系■小结思考题

第四节 无穷小与无穷大 ◼ 无穷小 ◼ 无穷大 ◼ 无穷小与无穷大的关系 ◼ 小结 思考题

无穷小1.定义极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小。如,当x→0时，函数sinx是无穷小;当x→1时,sinx是无穷小当x→时,函数皆非无穷小x当x→2时,函数x-2是无穷小(-1)"当n→时,数列[是无穷小n无穷小是指在某个过程中函数变化的趋势

一、无穷小 1. 定义 极限为零的变量称为无穷小量, 简称 如, 当x → 0时, 函数sin x是 当x → 时,函数 是 x sin x 当x → 2时,函数x − 2是 无穷小是指 函数变化的趋势. 当n→时, } . ( 1) 数列{ 是无穷小 n n − 当x →1时, 皆非无穷小. 无穷小; 无穷小; 无穷小; 无穷小. 在某个过程中

定义1>0(不论它多么小,>0(或X>0)使得当0X),恒有Lf(x)<ε则称f(x)当x→x(或x→)时的无穷小,记作lim f(x) = 0 (或 lim f(x)= 0)x→xor注1)无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆；无穷小量”并不是表达量的大小，而是表达它的变化状态的无限制变小的量2）零是可以作为无穷小的唯一的数

定义1   0(不论它多么小),   0 使得当0 | x − x0 |  恒有 | f (x)|  (或X  0), (或| x | X), ( ) , 则称f x 当x → x0 时的无穷小 lim ( ) 0 0 = → f x x x 记作 1) 无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆; 2) 零是可以作为无穷小的唯一的数. 注 “无穷小量”并不是表达量的大小,而是 表达它的变化状态的. “无限制变小的量” (或x → ) ( lim ( ) = 0). → f x x 或

2.无穷小与函数极限的关系定理1lim f(x)= A f(x)= A+α(x),x→xo其中α(x)是当x→x,时的无穷小证 设lim f(x)= A, 令α(x)=f(x)-A>0,>0,当0, 恒有If(x)-A<ε也即 lα(x)<ε则有 lim α(x) = 0, . f(x)= A+ α(x).x→xo

2. 无穷小与函数极限的关系 证 lim ( ) , 0 f x A x x = → 设 令(x) = f (x) − A lim ( ) 0, 0  = → x x x 则有  f (x) = A+ (x). 定理1 f x A x x = → lim ( ) 0 ( ) . 其中 x 是当x → x0 时的无穷小  f (x) = A+ (x),   0,  0, 0 | | , 当  x − x0   恒有 | f (x) − A|   也即 |(x)| 

定理1lim f(x)= A ← f(x) = A+α(x)x-→xo其中α(x)是当x→x,时的无穷小( 设 f(x)=A+α(x),α(x)是当x→x时的无穷小其中A是常数1 f(x)-A|=|α(x) I于是>0, >0,当0-x, 恒有Iα(x) <8即I f(x)-A<8. :: lim f(x)= A.x-→xo类似可证明x一→80 的情形

设 f (x) = A+ (x), 其中A是常数, ( ) ,  x 是当x → x0 时的无穷小 f x A x x = → lim ( ) 0 ( ) . 其中 x 是当x → x0 时的无穷小  f (x) = A+ (x), 于是 | f (x) − A|=| (x)|   0,   0, 0 | | , 当  x − x0   恒有 | (x)|  即 | f (x) − A| . lim ( ) . 0 f x A x x  = → 类似可证明 x →  的情形. 定理1 

例 x→2时,函数3x-1可表为3x-1=5+(3x-6)(其中3x-6是x→2时的无穷小即lim(3x - 6) = 0)X-2故得lim(3x -1) = 5.X-2

例 x →2时,函数3x −1可表为 3x −1= (其中3x −6是x →2时的无穷小,即 lim(3 1) 5. 2 − = → x x 故 得 5+(3x − 6) lim(3 6) 0) 2 − = → x x

3.无穷小的运算性质定理2在同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小，证设α及是当x→时的两个无穷小8V>0,N,>0,当|x|>N,时, 恒有[α0,当Ix|>N,时,恒有IβI N时,恒有88Iα±βα+lβ<8212:.α±β→0(x→0)

在同一过程中, 有限个无穷小的代数和 证 设及是    0, 定理2 仍是无穷小. 3. 无穷小的运算性质 | | , 当 x  N1时 | | , 当 x  N2时 max{ , }, N = N1 N2 当| x |  N时, |   | 2 2    + =  ,    → 0 (x → ) 0, N1  ; 2 | |    . 2 | |    | | + |  | 取 恒有 恒有 恒有 当 x → 时的两个无穷小, 0, 2 N 

注无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小1是无穷小,但n个二之和为1如, n →时,二nn不是无穷小

无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 如, n → 时, 1 1 但 个 之和为 n n 注 是无穷小， n 1 不是无穷小

定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小证 设函数u在U(xo,S)内有界,则M>0,S, >0,使得当00,S,>0,使得当0<-xS,时,8恒有/α<取 8 =min[S,,S,},则当M0xx时,恒有lu·α{={u}α8<m.=8,M当x→x时,uXα为无穷小

证 ( , ) , 设函数u在U x0  1 内有界  0, 0, 则M   1  , 又设是当x → x0时的无穷小   0, 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 0 | | , 使得当  x − x0   1时 恒有| u |  M. 0,  2  0 | | , 使得当  x − x0   2时 | | . M  恒有   min{ , }, 取 =  1  2 | u |=| u |  | | M M    =  , 则当 0 | | ,  x − x0   时 恒有 , . 当x → x0时 u×为无穷小

推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小；推论2常数与无穷小的乘积是无穷小；推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小1arctan如,当x→0时,xsin=xx都是无穷小

在同一过程中,有极限的变量与无穷小 常数与无穷小的乘积是无穷小; 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 如,当x → 0时, 都是无穷小. 推论1 的乘积是无穷小; 推论2 推论3 , 1 sin x x x x 1 arctan 2