《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第一章 函数与极限 1-01 第一节 映射与函数

第一节映射与函数映射函数■小结思考题

第一节 映射与函数 ◼ 映射 ◼ 函数 ◼ 小结 思考题

一、映射定义域记Df,即D,=X.1.映射概念定义 设XY是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对VxEX,通过f,在Y中有唯一确定的元素与之对应,则称f为从X到 Y的映射(或算子),记作f:x-→y.并称y为x(在映射下)的像,并记作f(x),即y = f(x),x称为y的原像

1. 映射概念 定义 设 X、Y 是两个非空集合,如果存在 一个法则f ,使得对 通过f ,在Y中有唯一 确定的元素 y 与之对应,则称f 为从 X 到 Y 的映 (或算子),记作 f : 并称y为x(在映射f下)的像,并记作 f ( x), 即 y = f (x), X →Y, x称为y的原像. x  X, 射 定义域 Df , 即 D X. 记 f = 一、映射

注(1）构成一个映射必须具备以下三个要素：集合X，即定义域D，=X；集合Y，即值域的范围：R，CY;对应法则f,使对xE X,有唯一确定的y=f(x)与之对应(2)对 Vx E X,元素 x 的像y是唯一的;而对VyERr,元素y的原像不一定是唯一的;映射f 的值域R,是Y的一个子集,即R,CY,不一定R,=Y

对 x  X, 元素 x 的像y是唯一的; 而对 , Rf y  元素 y 的原像不一定是唯一的; 映射 f 的值域 Rf 是Y 的一个子集, R Y , 即 f  不一定 R Y . f = (2) 注 (1) 集合X, 即定义域 D X; f = 集合Y, 即值域的范围: R Y; f  对应法则f , 使对 x  X, 有唯一确定的 y = f (x) 与之对应. ① ② ③ 构成一个映射必须具备以下三个要素: 

2.几类重要映射设映射f：X→Y.值域若R,=Y,即Y中任一元素y都是X中某元素的像，则称f是满射若 Vxi,X E X,Xi ±X2, 必有f(x)± f(x2),则称f是单射若映射f 既是满射,又是单射,则称f是一一映射(或双射)

设映射 f : X →Y. R Y, 若 f = 值域 即Y 中任一元素y 都是X中某 元素的像,则称f 是满射. 若 , x1  x2 必有 ( ) ( ), 1 x2 f x  f 则称f 是单射. 若映射f 则称f 是 一 一 映射(或双射). 2. 几类重要映射 又是单射, , , x1 x2  X 既是满射

元元例设X, =(-0,+ 0), X,=[-]Y =(-00,+ 00), Y, =[-1,1].对应关系：对定义域内的任一x，f;(x) = sin x, i =1,2,3,4fi:Xi→Yi，既非满射,又非单射;f2:X→Y2,满射,非单射;fs:X2→Y，单射,非满射;f:X,→Y2，满射,单射,即为一一映射

例 设 ( , ), X1 = − +  , 2 , 2 2       = −   X ( , ), Y1 = − +  [ 1,1]. Y2 = − : , 1 X1 Y1 f → : , 2 X1 Y2 f → : , 3 X2 Y1 f → : , 4 X2 Y2 f → f (x) sin x, i = i = 1, 对应关系: 2,3,4 既非满射,又非单射; 满射, 非单射; 单射, 非满射; 满射, 单射, 即为一一映射. 对定义域内的任一x

逆映射与复合映射设有单射f:X→Y,则由定义,对VyeR,有唯一的x E X,适合f(x)= y.于是,可定义一个从R,到X的新映射g，即g: R, →X,对VyE Rr,规定g(y)= x,这x 满足f(x)= y这个映射g称为 f的逆映射,记作 g=f-l,其定义域Dr-1=Rf，值域Rr-1=X.若Vx,x, EX,xx,必有f(x)(x),则称f是单射

3. 逆映射与复合映射 设有单射 f : X → Y , 则由定义, , Rf 对y 有唯一的 x  X, 适合 f (x) = y. 于是, 可定义一 个从 g : R X, f → Rf到X 的新映射g, 即 , Rf 对y 规定 g( y) = x, 这 x 满足 f (x) = y. 这个映射g称为 f 的逆映射,记作 , −1 g = f 其定义域 , Rf 值域 −1 = f R , x1  x2 必有 ( ) ( ), 1 x2 f x  f 则称f 是单射. , , 若x1 x2  X −1 = f D X

3.逆映射与复合映射设有两个映射g:X→Y，f:Y,→z.其中Yi CY·由g和f可确定出从X到Z 的一个对应法则,它将 VxEX映成fg(x)e Z.显然这个对应法则是从X到Z的一个映射此映射称为由g和f构成的复合映射，记作fog,即g的值域Rfog:X-→z,RD一对VxeX, (f o g)(x)=fIg(x))的定义域

设有两个映射 g : f : 其中 3. 逆映射与复合映射 x X 显然 . Y1  Y2 由 g和f 它将 映成 这个对应法则是从 X到Z 的一个映射, 此映射称为由g和f 构成的 复合映射,记作 f  g, 即 f  g : X → Z, ( f  g)( x) = , X →Y1 , Y2 → Z 对应法则, f [g(x)]. Rg  Df g的值域Rg f的定义域 f [g(x)] Z. 可确定出从 X到Z 的一个 对x X

二、 函数1.常量与变量在某过程中数值保持不变的量称为常量；而在过程中数值变化的量称为变量注一个量是常量还是变量，不是绝对的而是相对“过程”而言的.常量与变量的表示方法：在高等数学中,通常用字母a.b.c等表示常量，用字母x，yt等表示变量

1.常量与变量 注 而是相对“过程”而言的. 常量; 变量. 在某过程中数值保持不变的量称为 而在过程中数值变化的量称为 一个量是常量还是变量,不是绝对的, 常量与变量的表示方法: 在高等数学中,通常用字母 a, b, c等表示常量, 用字母 x, y, t 等表示变量. 二、函数

2．函数概念定义 设数集 D R,则称映射f:D→R为定义在D上的函数,通常简记为Dxey=fx记D,=D定义域因变量自变量定义中，如果对VxED按对应法则f，总有唯一确定的值v与之对应，这个值称为函数f在x处的函数关系函数值,记作y=f(x).函数值f(x)全体组成的集合称为函数f的值域记作R,或f(D),即R, = f(D)=(yly= f(x),xeD)

定义 设数集 D  R, 则称映射 f : D → R 为定义在D上的函数,通常简记为 因变量 自变量 定义域 定义中, 按对应法则f , 总有唯一 确定的值y与之对应, 这个值称为函数f 在x处的 函数值,记作 函数关系 记Df = D Rf = f (D) = 函数值 f (x) 全体组成的集合称为 记作 Rf 或f (D), 即 { y y = f (x), x D}. 函数f 的值域, 2. 函数概念 y f x = ( ). x D  如果对 x D y f x = ( )

例1求下列函数的定义域(1) y= log(x-1) (16 - x°)V2x - x2(2) y :ln(2x - 1)[16-x2>0x-1>0定义域是(1,2)U(2,4)解 (1)x-1±12x-x2≥0定义域是(,1)U(1,2)2x-1>0(2)2x -1±1

例1 求下列函数的定义域: (1) log (16 ) 2 y = ( x−1) − x 2 2 (2) ln(2 1) x x y x − = − 解      (1) (1,2)(2,4). 2 0 2 x − x  ,1) (1,2]. 2 1 (  x − 1  0 x − 1  1 定义域是 定义域是 (2) 2x − 1  0      2 16 0 −  x 2 1 1 x − 