《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第一章 函数与极限 1-02 第二节 数列的极限

第二节数列的极限数列极限的定义■收敛数列的性质小结思考题

第二节 数列的极限 ◼ 数列极限的定义 ◼ 收敛数列的性质 ◼ 小结 思考题

数列极限的定义一极限概念是从常量到变量，从有限到无限即从初等数学过渡到高等数学的关键极限的思想源远流长庄子（约公元前355~275年）在《天下篇》中写道：“一尺之捶，日取其半，万世不竭?意思是：一尺长的棍子,第一天取其一半,第二天取其剩下的一半,以后每天都取其剩下的一半，这样永远也取不完

一、数列极限的定义 极限概念是从常量到变量,从有限到无限, 即从初等数学过渡到高等数学的关键. 极限的思想源远流长. 庄子(约公元前355~275年)在《天下篇》 “一尺之棰,日取其半,万世不竭”. 意思是:一尺长的棍子,第一天取其一半,第二 天取其剩下的一半,以后每天都取其剩下的一 中写道: 半,这样永远也取不完

“割圆术”中说：刘徽(三世纪)的割之弥细，所失弥少.割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣意思是：设给定半径为1尺的圆形开始每次把边数加倍,屡次用勾股定理.求出正12边形、正24边形.等等正多边形的边长边数越多，圆内接正多边形越与圆接近,最后与圆周重合，则正多边形周长与圆周长就没有误差了

刘徽(三世纪)的“割圆术”中说: 意思是: 设给定半径为1尺的圆, 形开始,每次把边数加倍,屡次用勾股定理.求出 正12边形、正24边形.等等正多边形的边长, 边数越多,圆内接正多边形越与圆接近,最后与 圆周重合, 则正多边形周长与圆周长就没有误 差了. “割之弥细,所失弥少.割之又割,以至不 可割,则与圆周合体,而无所失矣

正六边形的面积 AR正十二边形的面积 A,正6×2n-1 形的面积A,..SA,A,AA

正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2   正 6 2 n−1 形的面积 An A1 , A2 , A3 ,  , An ,  S R

数列的概念定义按照自然数的顺序排列的一列数Xi,X2,...Xn,:简记为{x,},其中x,称为数列x,的通项或者一般项.如[2"]2,4,8,...,2"..n2'4'82

如 2,4,8,  ,2 , ; n , ; 2 1 , , 8 1 , 4 1 , 2 1  n  {2 } n } 2 1 { n 定义 按照自然数的顺序排列的一列数 x1 , x2 , xn ,  简记为 其中xn 称为数列{xn }的 通项 一般项. { }, xn 数列的概念 或者

1,-1,1,..,(-1)"+1,.((-1)"-1}n+(-1)"-1-n+(-1)2'3nn数列的（两种)几何表示法：(1)数列对应着数轴上一个点列可看作一动点在数轴上依次取Xi,X2，,Xn.3 X2 X4XiXn数列可看作自变量为正整数n的函数：xn = f(n)整标函数或下标函数

可看作一动点在数轴上依次取 , , , , . x1 x2  xn  1 x 2 x 3 x 4 x n x 1, 1,1, ,( 1) , ; −  − n+1  {( 1) } −1 − n , ; ( 1) , , 3 4 , 2 1 2, 1   n n n− + − } ( 1) { 1 n n n− + − 数列的(两种)几何表示法: 数列可看作自变量为正整数 n的函数: x f (n) n = 整标函数或下标函数 (1)数列对应着数轴上一个点列

(2)在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴则数列的几何意义是平面上一串分离的点xntnD1234注不可将这串点连成曲线

(2) 在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴, 注 不可将这串点连成曲线. o n xn · · · · 1 2 3 4 则数列的几何意义是平面上一串分离的点

数列极限的概念福问题当n无限增大时，x，是否无限接近于某一确定的数值？如果是，如何确定？(-1)"-1研究数列(11当n→8时的变化趋势n2436即3当n无限增大时，xn无限接近于1

数列极限的概念 } . ( 1) {1 1 研究数列 当 → 时的变化趋势 − + − n n n 即 , 5 1 , 1 4 1 , 1 3 1 , 1 2 1 1+1, 1− + − +  5 6 , 4 3 , 3 4 , 2 1 2, 问题 当 无限增大时, 是否无限接近于某 一确定的数值? n n x 如果是, 当n无限增大时, n x 无限接近于1. 如何确定?

(-1) "-1研究数列(11当n→8时的变化趋势+n当n无限增大时，x无限接近于1.“无限接近”意味着什么？如何用数学语言刻划它，x, -1 /=(1+(-1)"-1x，一1可以要多么小就多么小，只要n充分大则要看x，-1小到什么要求

如何用数学语言刻划它.  xn −1 ) 1 1 (1 ( 1) 1 = + − − − n n xn −1 可以要多么小就多么小, 则要看 xn −1 “无限接近”意味着什么? | | } . ( 1) {1 1 研究数列 当 → 时的变化趋势 − + − n n n n 1 = 只要n充分大, 小到什么要求. 当n无限增大时, xn 无限接近于1

Ixn-111给定由只要n>100时,有|x,一11000时,有x，-1100010001给定只要n>10000时，有x，-11000010000给定ε>0, 只要 n>N(=[)时,有x,-1 <成立8

, 100 1 给定 , 100 1 1  n 由 只要 n  100时, , 100 1 有 xn − 1  , 1000 1 给定 只要 n  1000时, , 10000 1 , 有 xn − 1  10000 1 给定 只要 n  10000时, , 1000 1 有 xn − 1  给定   0, ]) , 1 只要 ( [ 时  n  N = 有 − 1  成立. xn n xn 1 | −1|=