《高等数学》课程授课教案（讲义）第四章 不定积分

第四章不定积分84.1不定积分的概念与性质教学目的：使学生了解原函数与不定积分的概念，了解不定积分的性质。教学重点：原函数与不定积分的概念。教学难点：原函数的求法。教学内容：一、原函数与不定积分定义1如果对任一xEI，都有F'(x)=f(x) 或 dF(x)=f(x)dx则称F(x)为f(x)在区间I上的原函数。例如：（sinx)=cosx，即sinx是cosx的原函数。1[In(x+ /1+x°) =-+，即I(++/1+)是的原函数。27V1+x2原函数存在定理：如果函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上一定有原函数，即存在区间I上的可导函数F(x)，使得对任一xeI，有F(x)=f(x)。注1：如果f(x)有一个原函数，则f(x)就有无穷多个原函数。设F(x)是f(x)的原函数，则[F(x)+C'=f(x)，即F(a)+C也为f(x)的原函数，其中C为任意常数。注2：如果F(x)与G(x)都为f(x)在区间I上的原函数，则F(x)与G(x)之差为常数，即F(x)-G(x)=C(C为常数)注3：如果F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数，则F(x)+C（C为任意常数）可表达f(x)的任意一个原函数。定义2在区间1上，f(x)的带有任意常数项的原函数，成为f(x)在区间I上的不定积分，记为f(x)dx。123

123 第四章 不定积分 §4.1 不定积分的概念与性质 教学目的：使学生了解原函数与不定积分的概念，了解不定积分的性质。 教学重点：原函数与不定积分的概念。 教学难点：原函数的求法。 教学内容： 一、原函数与不定积分 定义 1 如果对任一 x ∈ I ，都有 F′(x) = f (x) 或 dF(x) = f (x)dx 则称 F(x)为 f (x) 在区间 I 上的原函数。 例如：(sin x)′ = cos x，即sin x 是cos x的原函数。 2 2 1 1 [ln( 1 ) x x x + + + ′ = ，即ln( 1 ) 2 x + + x 是 2 1 1 + x 的原函数。 原函数存在定理：如果函数 f (x) 在区间 I 上连续，则 f (x) 在区间 I 上一定 有原函数，即存在区间 I 上的可导函数 F(x)，使得对任一 x ∈ I ，有 F′(x) = f (x)。 注 1：如果 f (x) 有一个原函数，则 f (x) 就有无穷多个原函数。 设 F(x)是 f (x) 的原函数，则[F(x) + C]′ = f (x) ，即 F(x) + C 也为 f (x) 的原 函数，其中C 为任意常数。 注 2：如果 F(x)与G(x)都为 f (x) 在区间 I 上的原函数，则 F(x)与G(x)之差为常 数，即 F( x) − G(x) = C （C 为常数） 注 3：如果 F(x)为 f (x) 在区间 I 上的一个原函数，则 F(x) + C（C 为任意常数） 可表达 f (x) 的任意一个原函数。 定义 2 在区间 I 上， f (x) 的带有任意常数项的原函数，成为 f (x) 在区间 I 上的不定积分，记为∫ f (x)dx

如果F(x)为f(x)的一个原函数，则[f(x)dx=F(x)+C，（C为任意常数）例1．求xdx。X)=x，得「xds=解：因为+C（3例2．求[=dx。x解：因为，x>0时，(nx)=！x<0时,[n(-x)]'=(-x) =，得xx(In|xD'= 1因此有xC= In |x|+Cx例3．设曲线过点(1,2)，且其上任一点的斜率为该点横坐标的两倍，求曲线的方程。解：设曲线方程为y=(x)，其上任一点(,J)处切线的斜率为崇=22dx从而[2xdx=x2 +CV=由y(1)=2，得C=1，因此所求曲线方程为y= x?+1由原函数与不定积分的概念可得：[ - 1)2) d[f(x)dx= f(x)dx3) [F(x)dx=F(x)+C4) [dF(x)= F(x)+C5) [dx=x+C二、积分公式1) [ kdx = kx+C(k为常数)124

124 如果 F(x)为 f (x) 的一个原函数，则 f x dx = F x + C ∫ ( ) ( ) ，（C 为任意常数） 例1． 求 2 x dx ∫ 。 解：因为 2 3 ) 3 ( x x ′ = ， 得 3 2 3 x x ds C = + ∫ 例2． 求 1 dx x ∫ 。 解：因为， x > 0时， x x 1 (ln )′ = ； x < 0时， x x x x 1 ( ) 1 [ln( )] − ′ = − − ′ = ，得 x x 1 (ln | |)′ = ，因此有 1 dx x C ln | | x = + ∫ 例3． 设曲线过点(1, 2) ，且其上任一点的斜率为该点横坐标的两倍，求曲 线的方程。 解：设曲线方程为 y = f (x)，其上任一点(x, y) 处切线的斜率为 x dx dy = 2 从而 ∫ y = xdx = x + C 2 2 由 y(1) = 2 ，得C = 1，因此所求曲线方程为 1 2 y = x + 由原函数与不定积分的概念可得： 1) ∫ f (x)dx = f (x) dx d 2) d f x dx f x dx ∫ ( ) = ( ) 3) ∫ F′( x)dx = F(x) + C 4) dF x = F x + C ∫ ( ) ( ) 5) ∫ dx = x + C 二、积分公式 1) ∫ kdx = kx + C ( k 为常数)

r+C(μ±-1)Adxμ+1ax= In| x| +C3)Xdx4)arctanx+C1+x2dxarcsinx+C5)-x6)[cosxdx= sinx+C7][sin xdx=-cosx+C[d,=Jse° xdx= tanx+C8)cosx9) [,-[esc xdt=-cotx+CJ sin?x10) [secx tan xdx = sec x+C11) [cscxcot xdx=-cscx+C12) Je*dx =e* +C13) Ja'd=%g+CIna14) [sinh xdx = cosh x +C15) [cosh xdx = sinh x +C例4. [rd=x=号x+c7三、不定积分的性质性质 1. J[f(x)+g(x)]dx=[ f(x)dx+Jg(x)dx性质2.[kf(x)dx=kjf(x)dx，（k为常数，k0)例5. 求「Vx(x2-5)dx解：125

125 2) ∫ + + = + C x x dx 1 1 μ μ μ ( 1 μ ≠ − ) 3) ∫ = x +C x dx ln | | 4) ∫ + + x C x dx arctan 1 2 5) ∫ + − x C x dx arcsin 1 2 6) ∫ cos xdx = sin x + C 7) ∫sin xdx = −cos x + C 8) ∫ ∫ = xdx = x + C x dx sec tan cos 2 2 9) ∫ ∫ = xdx = − x + C x dx csc cot sin 2 2 10) ∫sec x tan xdx = sec x + C 11) ∫ csc x cot xdx = −csc x + C 12) ∫ e dx = e + C x x 13) ∫ = + C a a a dx x x ln 14) ∫sinh xdx = cosh x + C 15) ∫ cosh xdx = sinh x + C 例 4． x x dx = x dx = x + C ∫ ∫ 2 7 2 5 2 7 2 三、不定积分的性质 性质 1．∫ ∫ ∫ [ f (x) + g(x)]dx = f (x)dx + g(x)dx 性质 2．∫ ∫ kf (x)dx = k f (x)dx ， （k 为常数，k ≠ 0 ） 例5． 求 x (x 5)dx 2 − ∫ 解：

[ Vx(x2 -5)dx= [(x3 - 5x3)dx[xdx-xd23-10x2+C-372xVx-102-x/x+C37(x-1)3求例6.dx2解：(x-1)3x2-3x2+3x-1dxdxx23/(x-3+dr110.号2==x2x2+C37x-3x+31n|x|+-+C12x例7.求「(e-3cosx+2*e')dx解：J(e*-3cos x+2*e*)dx= e*dx-3Jcos xdx+ [(2e)’dx(2e)*=e*-3sinx++CIn(2e)(2e)*=er-3sinx++C1+ ln2l+x+x?例8.求-dxx(1 + x)解：1+x+x?r(1+)+xdxdx:x(1 + x2)x(1 + x2)dx+[1dJ 1+ x2= In | x |+arctanx +C126

126 x x x x C x x C x dx x dx x x dx x x dx = − + = − + = − − = − ∫ ∫ ∫ ∫ 3 10 7 2 3 10 7 2 5 ( 5) ( 5 ) 3 2 3 2 7 2 1 2 5 2 1 2 5 2 例6． 求 dx x x ∫ − 2 3 ( 1) 解： C x x x x x x C dx x x x dx x x x x dx x x = − + + + = − + = − + − − + − = − ∫ ∫ ∫ 1 3 3ln | | 2 3 10 7 2 ) 3 1 ( 3 ( 1) 3 3 1 2 2 3 2 7 2 2 3 2 2 3 例7． 求 ∫ e − x + e dx x x x ( 3cos 2 ) 解： C e e x C e e e x e dx xdx e dx e x e dx x x x x x x x x x + + = − + = − + + = − + − + ∫∫ ∫ ∫ 1 ln 2 (2 ) 3sin ln(2 ) (2 ) 3sin 3 cos (2 ) ( 3cos 2 ) 例 8．求 dx x x x x ∫ + + + (1 ) 1 2 2 解： x x C dx x dx x dx x x x x dx x x x x = + + + = + + + + = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ln | | arctan 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 2 2 2 2 2

例9.求「tan?xdx解：[tan°xdx = [(sec° x- 1)dx= J sec'xdx-[ dx= tanx-x+CJsin?三dx例10.求2解：1-cosXdxJ sin?dx =22cosxdx-dx-2-(x-sinx)+C223例11、)dxIP解：1+=3arctanx-2arcsinx+C例12、求-dx1+cos2x解：-dx =-dx-tanx+Cdx1+2cos2x-121+cos2x2/cosx小结：本节学习了原函数的概念，不定积分的概念，不定积分的性质，学习了几个简单的积分公式，并通过几个例子熟悉积分公式的使用作业：127

127 例9． 求 ∫ xdx 2 tan 解： x x C xdx dx xdx x dx = − + = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ tan sec tan (sec 1) 2 2 2 例10．求 dx x 2 sin2 ∫ 解： x x C dx xdx dx x dx x = − + = − − = ∫ ∫ ∫ ∫ ( sin ) 2 1 cos 2 1 2 1 2 1 cos 2 sin2 例 11、求 2 2 3 2 ( )d 1 1 x x x − + − ∫ 解： 2 2 3 2 ( )d 1 1 x x x − + − ∫ 2 1 3 d 1 x x = − + ∫ 2 1 2 d 1 x − x ∫ = 3arctan x −2arcsin x +C 例 12、求 1 d 1 cos 2 x + x ∫ 。 解： 1 d 1 cos 2 x + x ∫ 2 1 d 1 2cos 1 x x = + − ∫ 2 1 1 d 2 cos x x = ∫ 1 tan 2 = x +C 小结：本节学习了原函数的概念，不定积分的概念，不定积分的性质，学习了几 个简单的积分公式，并通过几个例子熟悉积分公式的使用 作业：

84.2换元积分法教学目的：使学生掌握不定积分的第一类换元法和第二类换元法教学重点：不定积分的第一类换元法教学难点：不定积分的第二类换元法教学内容：一、第一类换元积分法设F(u)为f(u)的原函数，即F(u)=f(u)或【f(u)du=F(u)+C如果u=(x)，且(x)可微，则一F(0()= F()0(x)= (0)0()= 10()0(x)dx即F[p(x)]为f[p(x)]p(x)的原函数，或J [o()()d= F[(x)+C=[F()+C((= ()dul)因此有定理1设F(u)为f(u)的原函数，u=p(x)可微，则[[o(x)10(x)dx=f f(u)di)e()(2-1) 公式(2-1)称为第一类换元积分公式。例1．求「2cos2xdx解：[2cos2xdx=Jcos2x(2x)'dx=Jcos2xd2x=sin2x+C例2．求『-dx3+2x[+(3+2x)dx=d(3+2x)=dx=In|3+2x|+C解：2J3+2x2J3+233+2x例3.求[(2xer"+xV1-x +tanx)dx解：原式=[2xe"dx+Jx/1-x’dx+Jsinxd2cos.x=Jer dx2-[(1-x3)d(1-x)-J--dcosxCos.x=er -I(1-x2)3-In|cosx|+C128

128 §4.2 换元积分法 教学目的：使学生掌握不定积分的第一类换元法和第二类换元法 教学重点：不定积分的第一类换元法 教学难点：不定积分的第二类换元法 教学内容： 一、第一类换元积分法 设 F(u)为 f (u) 的原函数，即 F′(u) = f (u) 或 ∫ f ( u)du = F(u) + C 如果 ) u = ϕ(x ，且ϕ(x) 可微，则 F[ (x)] F (u) (x) f (u) (x) f [ (x)] (x) dx d ϕ = ′ ϕ′ = ϕ′ = ϕ ϕ′ 即 F[ϕ(x)]为 f [ϕ(x)]ϕ′(x) 的原函数，或 ( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] [ ( ) ] [ ( ) ] u x f x x dx F x C F u C u x f u du ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = ∫ = ∫ ′ = + = + = 因此有 定理 1 设 F(u)为 f (u) 的原函数，u = ϕ(x) 可微，则 ( ) [ ( )] ( ) [ ( ) ] u x f x x dx f u du ϕ ϕ ϕ ∫ ∫ = ′ = (2-1) 公式(2-1)称为第一类换元积分公式。 例1． 求 ∫ 2 cos 2xdx 解：∫ ∫ ∫ 2 cos 2xdx = cos 2x(2x)′dx = cos 2xd2x =sin 2x + C 例2． 求 ∫ + dx 3 2x 1 解：∫ ∫ ∫ + = + + + + ′ = + = + d x x C x x dx x dx x ln | 3 2 | 2 1 (3 2 ) 3 2 1 2 1 (3 2 ) 3 2 1 2 1 3 2 1 例3． 求 ∫ xe + x − x + x dx x (2 1 tan ) 2 2 解：原式= dx x x xe dx x x dx x ∫ ∫ ∫ + − + cos sin 2 1 2 2 e x x C d x x e dx x d x x x = − − − + = − − − − ∫ ∫ ∫ (1 ) ln | cos | 3 1 cos cos 1 (1 ) (1 ) 2 1 2 3 2 2 2 1 2 2 2 2

例4.求dr1xd(=)解：dxdbx=arctan-+C+x2a4y?aaq+1+(1+(aa例5.求dx-解：)dx-dx=2axtax-ad(x-a)--d(x+a))00L-[n|x-a]-In|x+a|I+C2a1x-aIn/I+C2ax+a11e3wejdx例6.求x(1+2ln x)Vx111e3wjdx3/x解：dx +dx(1+2lnx)x(1+2nx)VxVx/1+21nxd(+21n )+Te3d32e3/x+C-In|1+2|nx|+32例7.求「cos xdx解：[cos* xdx=j1+cos2xdx=-dx+[cos2xdx2xx1[cos2xd2x==sin2x+C--424例8.求[sec xdx解：secxdxdxcos.xd(x+sin(x+")22T元)I+C = In | sec x + tan x|+C=ln|cos(x+)-cot(x +22129

129 例4． 求 ∫ + dx a x 2 2 1 ， 解：∫ ∫ ∫ = + + = + = + C a x a a x d a a x dx a a x dx a x arctan 1 ( ) 1 ( ) 1 1 1 ( ) 1 1 1 2 2 2 2 2 例5． 求 ∫ − dx x a 2 2 1 解：∫ ∫ + − − = − dx a x a x a dx x a ) 1 1 ( 2 1 1 2 2 C x a x a a x a x a C a d x a x a d x a a x a + + − = = − − + + + + − − − = ∫ ∫ ln | | 2 1 [ln | | ln | |] 2 1 ( )] 1 ( ) 1 [ 2 1 例6． 求 e dx x x x x ] 1 (1 2ln ) 1 [ 3 ∫ + + 解： ∫ ∫ ∫ + + + = + e dx x dx x x e dx x x x 3 x 1 3 x (1 2ln ) 1 ] 1 (1 2ln ) 1 [ x e C d x e d x x x x = + + + + + + = ∫ ∫ 3 3 3 2 ln |1 2ln | 2 1 3 3 2 (1 2ln ) 1 2ln 1 2 1 例7． 求 ∫ xdx 2 cos 解： ∫ ∫ ∫∫ = + + = [ cos 2 ] 2 1 2 1 cos 2 cos 2 dx dx xdx x xdx ∫ = + = + x + C x xd x x sin 2 4 1 2 cos 2 2 4 1 2 例8． 求 ∫sec xdx 解： ∫ ∫ = dx x xdx cos 1 sec x x C x x C d x x = + − + + = + + + + = ∫ ) | ln | sec tan | 2 ) cot( 2 ln | cos( ) 2 ( ) 2 sin( 1 π π π π

例9、求V1-3xdx。解：[V1-3xdx = -- [ /1-3xd (1-3x)3.--12(1-3x) +C-33注：对第一换元积分法熟练后，可以不再写出中间变量。二、第二类换元积分法定理2设x=y(t)是单调的可导函数，且y(t)±0，又设f[y(t)Jy(t)具有原函数，则J F(x)dx=[ [(0)(0)di ()(2-2)其中t=(x)为x=(t)的反函数。公式(2-2)称为第二类换元积分公式。例10、求「Va2-xdx，(a>0)解：令x=asint，-号≤1≤号，则22Na?-x?=acost，dx=acostdt，因此有[Va?-x?dx-Jacostacostdt= a"[cos' tdt=a j +cos 21 dt2a2++a?1.-sin2t+C2X1+Q?a?-sintcost+C2"2a?xVa?-x?a-arcsin三++C22 aaa-arcsin三！xa-x?+c2a2dx例11、求，(a>0)2+rV130

130 例 9、求 1 3d − x x ∫ 。 解： ( ) ( ) 3 2 1 1 3d 1 3 1 3 3 1 2 1 3 3 3 x x xd x x C − =− − − =− ⋅ − + ∫ ∫ 注：对第一换元积分法熟练后，可以不再写出中间变量。 二、第二类换元积分法 定理 2 设 x =ψ(t)是单调的可导函数，且ψ′(t) ≠ 0，又设 ) f [ψ(t)]ψ′(t 具 有原函数，则 [ ] ( ) ( ) [ ( )] ( )dt t x f x dx f t t ∫ ∫ ψ ψ =ψ = ′ (2-2) 其中t =ψ (x)为 x =ψ(t)的反函数。 公式(2-2)称为第二类换元积分公式。 例 10、求 a x dx ∫ −2 2 ， ) (a > 0 解：令 x = a sin t ， 2 2 π π − ≤ t ≤ ，则 a x a cost 2 2 − = ，dx = a costdt ，因此有 x a x C a x C a a x a a x a x t t C a t t C a t dt t tdt a x dx a t a tdt = + − + + − = + = + + = + + + = = − = ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 arcsin 2 a 2 arcsin 2 a sin cos 2 2 a sin 2 2 4 a 2 1 cos 2 a a cos cos cos 例 11、求 ∫ +2 2 a x dx ，(a > 0)

≤1≤，则解：令x=atant，2Va?+x?=asect，dx=asec?tdt，因此有dx1-asectdtasectVa2+x?[sectdt= In | sect+ tantI+C=h/a++=|+C= In|x+/x? +a° I+C,a0其中C=C-lna。用类似方法可得dx=In|x+x?-a?|+Cx2-adx例12、求.2+2x+3dx解：+2x+1+2dx2+2x+31d(x+1)(x+1)* +(V2)2x+1arctan+CV2V2小结：本节主要学习了不定积分的第一类换元积分法和第二类换元积分法。第一类换元法也称为“凑微分”的方法。第二类换元法主要介绍了三种三角代换，即x=asint或x=acost，x=atant与x=asect，分别适用于三类函数f(Va2-x），(x2+a)与f(x-a）。“倒代换”x=-也属于第二类换元法作业：131

131 解：令 x = a tan t ， 2 2 π π − ≤ t ≤ ，则 a x a sect 2 2 + = ，dx a tdt 2 = sec ，因此有 1 2 2 2 2 2 2 2 ln | | ln | | ln | sec tan | sec sec sec 1 C x x a C a x a a x t t C tdt a tdt a t a x dx + + = + + + + = = + + = = + ∫ ∫ ∫ 其中C C ln a 1 = − 。用类似方法可得 x x a C x a dx = + − + − ∫ ln | | 2 2 2 2 例 12、求 ∫ + 2 + 3 2 x x dx 解： ∫ ∫ + + + = + + dx x x x x dx 2 1 2 1 2 3 2 2 C x d x x + + = + + + = ∫ 2 1 arctan 2 1 ( 1) ( 1) ( 2) 1 2 2 小结：本节主要学习了不定积分的第一类换元积分法和第二类换元积分法。第一 类换元法也称为“凑微分”的方法。第二类换元法主要介绍了三种三角代 换，即 x = a sin t 或 x = a cost ，x = a tan t 与 x = asect ，分别适用于三类函 数 ( ) 2 2 f a − x ， ( ) 2 2 f x + a 与 ( ) 2 2 f x − a 。“倒代换” t x 1 = 也属于第 二类换元法 作业：

84.3分部积分法教学目的：使学生掌握不定积分的分部积分法教学重点：不定积分的分部积分法教学难点：分部积分法中u与dv的选取教学内容：设 u=u(x)，v=v(x)，则有(uv)'=u'v+uy'或d(uv)=vdu+udy两端求不定积分，得J(uv)'dx = f vu'dx+ J u'dx或Jd(uv)= Jvdu+[udy即Judy= uv-Jvdu(3-1)或Juv'dx= uv-fvu'dx(3-2)公式（3-1）或（3-2）称为不定积分的分部积分公式。例1．求「xcosxdxJ xcos xdx=J xd sin x解：= xsin x - [ sin xdx=xsinx+cosx+C求Jxe'dx例2.J x’e*dx =[x’de'解：132

132 §4.3 分部积分法 教学目的：使学生掌握不定积分的分部积分法 教学重点：不定积分的分部积分法 教学难点：分部积分法中u 与dv的选取 教学内容： 设 ) u = u(x ，v = v(x) ，则有 (u v)′ = u′v + u v′ 或 d(u v) = v du + u dv 两端求不定积分，得 ∫ ∫ ∫ ( u v)′dx = vu′dx + u v′dx 或 ∫ ∫ ∫ d( u v) = v du + u dv 即 ∫ ∫ u dv = u v − v du (3-1) 或 ∫ ∫ u v′dx = u v − vu′dx (3-2) 公式 (3-1) 或 (3-2) 称为不定积分的分部积分公式。 例1． 求 ∫ x cos xdx 解： ∫ ∫ x cos xdx = xd sin x x x x C x x xdx = + + = − ∫ sin cos sin sin 例2． 求 ∫ x e dx 2 x 解： x x x e dx x de ∫ ∫ = 2 2