《高等数学》课程授课教案（讲义）第一章 函数与极限

高等数学讲义一、课程概况课程编号：课程学时：184（B）【192（A）】（其中，讲课184（B）「192（A）1，其他0）课程学分：11.5（B）【12（A）】课程分类：必修开设学期：秋季、春季开课单位：理学院应用数学系二、内容简介高等数学一直是我国工科院校必修的重要基础理论课程，近年来，也逐步成为管理等其它学科的必修课。高等数学不仅仅是为后继课程提供必要的基础知识，更重要的是培养学生的归纳和抽象的思维能力，从具体到一般的联想能力，正确演绎推理能力及动手运算能力。通过掌握数学的思想方法，激发学生的创造力，为培养适应现代化高速发展的高科技需要的高级工程技术人才服务。高等数学（B）以微积分学为核心，由函数与极限、函数的微分学、函数的积分学、级数和微分方程五部分组成。函数与极限部分的主要内容：一元、多元函数概念；数列的极限；一元、多元函数的极限；重点是数列及一元函数的极限。微分学部分的主要内容是一元、多元函数的微分法：导数、偏导数的应用。积分学的主要内容是不定积分；定积分；重积分；曲线、曲面积分。级数部分的主要内容有数项级数、幂级数和傅里叶级数。微分方程的主要内容包括可分离变量的微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程及全微分方程；高阶线性微分方程；常系数线性微分方程。高等数学（A）是在高等数学（B）的基础上添加失量分析与场论的基本概念、基本理论和运算技能。三、其它1.本学期学时与教学内容2.教学主要环节：课堂讲授与习题课相接合3.作业要求：4.成绩：期末考试、平时成绩1

高等数学讲义 一、课程概况 课程编号: 课程学时: 184（B）[ 192（A）] （其中，讲课184（B）[ 192（A）]，其他 0 ） 课程学分：11.5（B）[ 12（A）] 课程分类: 必修 开设学期: 秋季、春季 开课单位: 理学院应用数学系 二、内容简介 高等数学一直是我国工科院校必修的重要基础理论课程，近年来，也逐步成 为管理等其它学科的必修课。高等数学不仅仅是为后继课程提供必要的基础知 识，更重要的是培养学生的归纳和抽象的思维能力，从具体到一般的联想能力， 正确演绎推理能力及动手运算能力。通过掌握数学的思想方法，激发学生的创造 力，为培养适应现代化高速发展的高科技需要的高级工程技术人才服务。 高等数学（B）以微积分学为核心，由函数与极限、函数的微分学、函 数的积分学、级数和微分方程五部分组成。函数与极限部分的主要内容: 一 元、多元函数概念；数列的极限；一元、多元函数的极限；重点是数列及一 元函数的极限。微分学部分的主要内容是一元、多元函数的微分法；导数、 偏导数的应用。积分学的主要内容是不定积分；定积分；重积分；曲线、曲 面积分。级数部分的主要内容有数项级数、幂级数和傅里叶级数。微分方程 的主要内容包括可分离变量的微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程及全 微分方程；高阶线性微分方程；常系数线性微分方程。 高等数学（A）是在高等数学（B）的基础上添加矢量分析与场论的基本概念、 基本理论和运算技能。 三、其它 1. 本学期学时与教学内容 2. 教学主要环节：课堂讲授与习题课相接合 3. 作业要求： 4. 成绩：期末考试、平时成绩 1

第一章函数与极限$1.1函数教学目的：理解函数的概念，掌握函数的各种性态，为研究微积分做好准备教学重点：函数的概念，函数的各种性态教学难点：反函数、复合函数、分段函数的理解教学内容：一、函数的概念1.函数的定义：设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于给定的每个数xED，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作y-(x)，数集D叫做这个函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量。y的取值范围叫函数的值域。2.定义域的求法原则（1）分母不为零(2)Vx,x≥0(3)lnxx>0(4)arcsinxarccosx-1≤x≤1（5）同时含有上述四项时，要求使各部分都成立的交集例1求y=/4-x2+In(x2-1)的定义域解：4-x2≥0且x2-1≥0-2≤x≤2且x1：定义域为[-2,-1)(-1,2]3.分段函数用两个以上表达式表达的函数关系叫分段函数[x+1, x≥1如(x)=[x-1, x<1x=1称为分段点4.复合函数若y=f(u）u=p(x)，当p(x)的值域落在f(u)的定义域内时称y=f[o(x)是由中间变量u复合成的复合函数。2

第一章 函数与极限 §1.1 函数 教学目的：理解函数的概念，掌握函数的各种性态，为研究微积分做好准备 教学重点：函数的概念，函数的各种性态 教学难点：反函数、复合函数、分段函数的理解 教学内容： 一、函数的概念 1. 函数的定义：设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的数集，如果对于给定的 每个数 x∈D，变量 y 按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的 函数，记作 y=f(x)，数集 D 叫做这个函数的定义域，x 叫做自变量，y 叫做因 变量。y 的取值范围叫函数的值域。 2. 定义域的求法原则 （1）分母不为零 （2） ，xx ≥ 0 （3） xx > 0ln （4）arcsin arccos − ≤ xxx ≤ 11 （5）同时含有上述四项时，要求使各部分都成立的交集 例 1 求 ( 1ln4 2 2 xxy −+−= )的定义域 解： 且04 2 x ≥− 01 2 x ≥− ≤− x ≤ 22 且 或 x − 1 ∴定义域为[ ， )∪−− (− ，2112 ] 3. 分段函数 用两个以上表达式表达的函数关系叫分段函数 如 ( ) ⎩ ⎨ ⎧ <− ≥+ = 11 11 xx xx xf ， ， x = 1称为分段点 4. 复合函数 若 = () () = ϕ xuufy ，当ϕ(x)的值域落在 (uf )的定义域内时 称 = [ϕ( ) xfy ]是由中间变量 u 复合成的复合函数。 2

例2y=Vuu=2+sinx可复合成y=2+sinx注意：y=vuu=sinx-2就不能复合。例3y=arctan2可以看作是y=arctanu，u=2"，v=x复合成的复合函数。5.反函数设函数的定义域为D,，值域为V,。对于任意的yeV,，在D,上至少可以确定一个x与y对应，且满足y=f(x)。如果把y看作自变量，x看作因变量，就可以得到一个新的函数：x=f-()。我们称这个新的函数x=-()为函数y=f(x)的反函数，而把函数y=f(x)称为直接函数。应当说明的是，虽然直接函数y=f(x)是单值函数，但是其反函数x=f-()却不一定是单值的。例如，=f(x)=x2的定义域为D,=R，值域V,=[0,+)。任取非零的yeV,，则适合y=x?的x的数值有两个：x,=，x2=-。所以，直接函数y=x2的反函数x=-()是多值函数：x=±。如果把x限制在区间[0,+)上，则直接函数y=x，x[0,+)的反函数x=/是单值的。并称x=/为直接函数y=x2，xeR的反函数的一个单值分支。显然，反函数的另一个单值分支为x=-/。一个函数若有反函数，则有恒等式f-[f(x)=x，xED,。相应地有lr-(o)=y,yeV,。例如，直接函数J=J(s)-=x+3,xeR的反函数为x+3)-3|=× ,x=f-()=(y-3), yeR，并且有"[r(x)=4(v-3) +3= y。-())=13由于习惯上x表示自变量，y表示因变量，于是我们约定y=f-(x)也是直接函数y=f(x)的反函数。3

例 2 +== sin2 xuuy 可复合成 y += sin2 x 注意： xuuy −== 2sin 就不能复合。 x y = 2arctan xvuuy v 例 3 可以看作是 = arctan 2 ， == 复合成的复合函数。 5. 反函数 设函数的定义域为 ，值域为 。对于任意的 Df Vf ∈Vy f ，在 上至少可以确 定一个 Df x 与 y 对应，且满足 = (xfy )。如果把 y 看作自变量， x 看作因变量，就 可以得到一个新的函数： (yfx ) −1 = 。我们称这个新的函数 为函数 的反函数，而把函数 ( ) yfx −1 = = ( ) xfy = (xfy )称为直接函数。 = (xfy ) ( ) yfx −1 应当说明的是，虽然直接函数 是单值函数，但是其反函数 = 却不一定是单值的。例如， ( ) 2 == xxfy 的定义域为 f = RD ，值域 。 任取非零的 ，则适合 的 [0， ∞+= ) Vf −== yxyx1 ， 2 x 2 = xy ∈Vy f 的数值有两个： 。所以， 直接函数 的反函数 (yfx ) −1 = ±= yx x 2 = xy 是多值函数： 。如果把 限制在区间 [0， ∞+ ) 上，则直接函数 ， x ∈[0，+ ∞) = yx 2 = xy 的反函数 是单值的。并称 = yx 为直接函数 ， 的反函数的一个单值分支。显然，反函数的另 一个单值分支为 ∈ Rx 2 = xy −= yx 。 [ ( )] ∈≡ Dxxxff f 一个函数若有反函数，则有恒等式 −1 ， 。 [ ( )] ∈≡ Vyyyff f 相应地有 −1 ， 。 ( ) 3， ∈+== Rxxxfy 4 3 例如，直接函数 的反函数为 [ ] ( ) xff x ≡ x ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += − 33 4 3 3 1 4 ( ) ( ) ∈−== Ryyyfx − 3 ， 3 1 4 ，并且有 ， [ ] ( ) ( ) yyff ≡+ y ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −= − 33 3 4 4 1 3 。 由于习惯上 x表示自变量，y 表示因变量，于是我们约定 也是直接 函数 的反函数。 ( ) xfy −1 = = ( ) xfy 3

反函数x=-"()与y=f-(x)，这两种形式都要用到.应当说明的是函数=f(x)与它的反函数x=-(y)具有相同的图形。而直接函数y=f(x)与反函数y=f-(x)的图形是关于直线y=x对称的。二、函数的特性（1）有界性若有正数M存在，使函数f(x)在区间I上恒有f(x)≤M，则称f(x)在区间I上是有界函数；否则，f(x)在区间I上是无界函数。如果存在常数M（不一定局限于正数），使函数f(x)在区间I上恒有f(x)≤M,则称f(x)在区间I上有上界，并且任意一个N≥M的数N都是(x)在区间I上的一个上界；如畏存在常数m，使f(x)在区间1上恒有f(x)≥m，则称f(x)在区间I上有下界，并且任意一个/≤m的数1都是f(x)在区间1上的一个下界。显然，函数f(x）在区间I上有界的充分必要条件是f(x）在区间I上既有上界又有下界。（2）单调性设函数f(x)在区间1上的任意两点xif(xz))，则称y=f(x)在区间I上为严格单调增加（或严格单调减少）的函数。如果函数f(x)在区间1上的任意两点x<，都有(x)≤f(z）（或f(x)≥f(xz))，则称y=f(x)在区间I上为广义单调增加（或广义单调减少）的函数。广义单调增加的函数，通常简称为单调增加的函数或非减函数；广义单调减少的函数则简称为单调减少的函数或非增函数。例如，函数y=x2在区间(-80,0)内是严格单调减少的；在区间(0,+)内是严格单调增加的。而函数y=x、y=x在区间(-80,+)内都是严格单调增加的。（3）奇偶性若函数(x)在关于原点对称的区间上满足f(-x)=f(x）（或f(-x)=-f(x)）则称f(x)为偶函数（或奇函数)。4

反函数 = −1 ( ) yfx 与 (xfy ) −1 = ，这两种形式都要用到．应当说明的是函数 与它的反函数 具有相同的图形。而直接函数 与反函数 的图形是关于直线 = ( ) xfy ( ) yfx = ( ) xfy −1 = ( ) xfy −1 = y = x 对称的。 二、函数的特性 （1）有界性 若有正数M 存在，使函数 (xf )在区间 I 上恒有 ( ) ≤ Mxf ，则称 ( ) xf 在区间 I 上是有界函数；否则， 在区间 ( ) xf I 上是无界函数。 如果存在常数M（不一定局限于正数），使函数 (xf )在区间 I 上恒有 f(x) M， 则称 在区间 ≤ ( ) xf I 上有上界，并且任意一个 ≥ MN 的数 都是 N ( ) xf 在区间 I 上 的一个上界；如畏存在常数m ，使 (xf )在区间 I 上恒有 ( ) ≥ mxf ，则称 在 区间 ( ) xf I 上有下界，并且任意一个 ≤ ml 的数l都是 (xf )在区间 I 上的一个下界。 显然，函数 (xf )在区间 I 上有界的充分必要条件是 (xf )在区间 I 上既有上界 又有下界。 （2）单调性 设函数 ( ) xf 在区间 ( ) ( 1 2 xfxf 2 ），则称 = ( ) xfy 在区间 I 上为严格单调增加（或严格单调减少）的 函数。 (xf ) ( ) ( 1 2 ≤ xfxf ) 21 如果函数 在区间 I 上的任意两点 < xx ，都有 （或 () ( ) 1 ≥ xfxf 2 ），则称 = ( ) xfy 在区间 I 上为广义单调增加（或广义单调减少）的 函数。广义单调增加的函数，通常简称为单调增加的函数或非减函数；广义单调 减少的函数则简称为单调减少的函数或非增函数。 例如，函数 在区间( ) 2 = xy − ∞，0 内是严格单调减少的；在区间 内是严 格单调增加的。 (0， ∞+ ) 而函数 在区间(− ∞，+ ∞) 3 、 == xyxy 内都是严格单调增加的。 （3）奇偶性 若函数 ( ) xf 在关于原点对称的区间 I 上满足 (− ) ( = xfxf ) （ 或 () ( −=− xfxf )）则称 为偶函数（或奇函数）。 ( ) xf 4

偶函数的图形是关于轴对称的；奇函数的图形是关于原点对称的。例如，f(x)=x2、g(x)=xsinx在定义区间上都是偶函数。而F(x)=x、G(x)=xcosx在定义区间上都是奇函数。（4）周期性对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，对一切的x均有f(x+T)=f(αx)，则称函数f(x)为周期函数。并把T称为f(x)的周期。应当指出的是，通常讲的周期函数的周期是指最小的正周期。对三角函数而言，y=sinx、y=cosx都是以2元为周期的周期函数，而y=tanx、y=cotx则是以元为周期的周期函数。关于函数的性质，除了有界性与无界性之外，单调性、奇偶性、周期性都是函数的特殊性质，而不是每一个函数都一定具备的。三、初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数这6类函数叫做基本初等函数。这些函数在中学的数学课程里已经学过。(1）幂函数y=x"(aeR)它的定义域和值域依α的取值不同而不同，但是无论a取何值，幂函数在xE(0,+)内总有1定义。当aeN或a=22n-'neN时，定义域为R。常见的幂函数的图形如图1-1所示。(2）指数函数y=a(a>0，a±1)图 1-1它的定义域为(-0+)，值域为(0,+)。指数函数的图形如图1-2所示.(3）对数函数y=log。x(a>0，a+1)定义域为(0,+)，值域为(-co,+)。对数函数y=log。x是指数函数y=α的反函数。其图形见图1-3。在工程中，常以无理数e=2.718281828作为指数函数和对数函数的底，并且记e=expx,log。x=lnx，而后者称为自然对数函数。5

偶函数的图形是关于 y 轴对称的；奇函数的图形是关于原点对称的。 例如， 在定义区间上都是偶函数。而 、 在定义区间上都是奇函数。 () () sin xxxgxxf ( ) = xxF 2 = 、 = ( ) = cos xxxG （4）周期性 对于函数 = ( ) xfy ，如果存在一个非零常数 T , 对一切的 x 均 有 ( )( =+ xfTxf )，则称函数 为周期函数。并把 ( ) xf T 称为 (xf )的周期。应当指出 的是，通常讲的周期函数的周期是指最小的正周期。 对三角函数而言， = sin 、 = cos xyxy 都是以 2π 为周期的周期函数，而 y = tan x、 y = cot x 则是以π 为周期的周期函数。 关于函数的性质，除了有界性与无界性之外，单调性、奇偶性、周期性都是 函数的特殊性质，而不是每一个函数都一定具备的。 三、初等函数 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数这 6 类函数叫 做基本初等函数。这些函数在中学的数学课程里已经学过。 （1）幂函数 ( ) Raxy a ∈= 它的定义域和值域依 的取值不同而不同， 但是无论a取何值，幂函数在 a x ∈( ,0 +∞)内总有 定义。当 或 a ∈ N Nn n a ∈ − = ， 12 1 时，定义域 为 R 。常见的幂函数的图形如图 1-1 所示。 （2）指数函数 ( ) aaay ≠>= 10 x ， 图 1-1 它的定义域为( ， ∞+∞− )，值域为(0，+ ∞)。 指数函数的图形如图 1-2 所示． = log ( > aaxy ≠ 10 ) （3）对数函数 a ， 定义域为(0，+ ∞)，值域为(− ∞，+ ∞)。对数函数 xy a = log 是指数函数 的 反函数。其图形见图 1-3。 x = ay 在工程中，常以无理数 e＝2.718 281 828.作为指数函数和对数函数的底， 并且记e x = ， e = lnlogexp xxx ，而后者称为自然对数函数。 5

（4）三角函数数三角函数有正弦函数y=sinx、余弦函a>1y4y=log.a<120图 1-2 图 1-3y=cosx、正切函数y=tanx、余切函数y=cotx、正割函数y=secx和余割函数y=cscx。其中正弦、余弦、正切和余切函数的图形见图1-4。（5）反三角函数1JTL21反三角函数主要包括反正弦函数y=arcsinx、3反余弦函数y=arccosx、02元反正切函数y=arctanx和反余切函数y=arccotx等它们的图形如图1-57所示。?（6）常量函数为常数图1-4y=c（c为常数）定义域为（-0，+8)，函数的图形是一条水平的直线，如图1-6所示。通常把由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个解析式表达的函数，称为初等函数。6

（4）三角函数 三角函数有正弦函数 = sin xy 、余弦函 数 图 1-2 图 1-3 y = cos x 、正切函数 y = tan x、余切函数 y = cot x 、正割函数 y = sec x 和余割函 数 y = csc x。其中正弦、余弦、正切和余切函数的图形见图 1-4。 （5）反三角函数 反三角函数主要包括 反正弦函数 、 反余弦函数 = arcsin xy y = arccos x、 反正切函数 y = arctan x 和 反余切函数 y = arc cot x 等．它们的图形如图 1-5 所示。 （6）常量函数为常数 （ 图 1-4 y = c c为常数） 定义域为 ，函数的图形是一条水平的直线，如图 ( ， ∞+∞− ) 1-6 所示。 通常把由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成 的并用一个解析式表达的函数，称为初等函数。 6

例如，y=ln(sinx+4)y=e2xsin(3x+1)，y=/sinx，…都是初等函数。初等函数虽然是常见的重要函数，但是在工程技术中，非初等函数也会经常遇到。例如符号函数，取整函数y=[x等分段函数就是非初等函数。011x-1在微积分运算中，常把一个初-110等函数分解为基本初等函数来研究，学会分析初等函数的结构是十分重要的。y=arctanzC4o图 1-6图1-5例1.由方程x2-2x-3=0的根组成的集合，可用列举法表示为（-13)，也可用描述法表示为(xx2-2x-3=0)元元,Y =(-00,+80),Y, =[-1,1].对应关系:对定义例 2. 设X, =(-00,+ 0), X, =2'2域内的任一x，f(x)=sinx,i=1,2,3,4f:X→Y,既非满射,又非单射；f:X,→Y,满射，非单射；J:X，→Y,单射，非满射；f:X,→Y,满射单射，即为一一映射7

例如， ( ) ( ) 2 3 4sinln 13sin yxeyxy x ， =+= + ， 是在工程技术中，非初等函数也会 经常遇到。例如符号函数，取整函 数 = [ ] xy 等分段函数就是非初等函 数。 在微积分运算中，常把一 = sin x ，.都是初等函数。初 等函数虽然是常见的重要函数，但 个初 等函数分解为基本初等函数来研 1. 由方程 0 图 1-5 究，学会分析初等函数的结构是十 分重要的。 图 1-6 2 例 x x − 2 3 − = 的根组 成的集合，可用 列举法表示为{−1,3 , } 也可用 2 描述法表示为{ 2 30 xx x − −= }. 例 2. 设 1 2 ( , ), , , 2 2 X X ⎡ ⎤ π π = −∞ + ∞ = −⎢ ⎥ ⎣ ⎦ . 1 2 Y Y = ( , ), [ 1,1] −∞ + ∞ = − 对应关系:对定义 域内的任一 x , ( ) sin , 1, 2,3, 4 i f x xi = = 11 1 f : , X Y → 21 2 既非满射,又非单射; f : , X Y → 满射, 非单射; 32 1 f : , X Y → 单射, 非满射; 42 2 f : , X Y → 满射,单射,即为一一映射. 7

例3.(1)如图设X=[0,1],Y=((x,y)y=x,xeX).令由X到Y的对应关系为f:xeX→(x,x)eY,则2y=xf是一个从X到Y的映射.满射,单射,即为一一映射，(2) 设X =(1,2,,n,, Y ={2,4,.,2n,].令f:n→2n(n=1,2..),则了是一个从X到Y的映射。满射,单射,即为一一映射 Ox1例 4. 设有映射 g:R→[-1,1],u=g(x)=sinx, 和映射 f :[-1,1]-→[0,1],y=f(u)=u2,则映射g和f构成的复合映射f og :R→[0,1],对 Vxe R,有(f og)(x)= J[g(x)= f(sinx)=(sin x)例5.设()+(-)=2x,其中x0,x#1,求F(x),11答案f(x)=x+x1-x例6.设(x)+(-)=2x，其中x#0,x#1,求(x),解：利用函数表示与变量字母无关的特性令 1=X二1,即x=1，代入原方程得1-x2令1u-1即代入上式得+ f(t)=1-11-xu)+ f("-l)= 2(u-1)uL三式联立=f(x)=x+x1-x例7.求下列函数的定义域：(1) y = log(x-)(16 - x2)(2) y= aresin 2x-1+ V2x-x?7ln(2x-1)[16-x2 >0解：(I)x-1>0定义域是(1,2)U(2,4)x-1+18

例 3. (1) 如图设 X = [0,1], Y xy y xx X = =∈ {( , ) , }.令由 X 到 Y 的对应关系为 f : (,) x X xx Y ∈→ ∈ , 则 f 是一个从 X 到 Y 的映射.满射,单射,即为一一映射. (2) 设 X n = {1, 2, , , }, " " Y n = {2, 4, , 2 , }. " " 令 f n nn : 2 ( 1, 2, → = "),则 ], f 是一个从 X 到 Y 的映射. 满射,单射,即为一一映射 O x y y = x x 1 例 4. 设有映射 g R: [ 1,1 → − u gx x = ( ) sin , = 和映射 f :[ 1,1] [0,1], − → 2 y = = fu u () , 则映射 g 和 f 构成的复合映射 2 f gR D : [0,1 → ], 对∀ ∈x R, 有( )( ) [ ( )] (sin ) (sin ) . f D g x fgx f x x == = 1 () ( ) 2, x f xf x x − 例 5.设 + = 其中 x x ≠ 0, 1, ≠ 求 f ( ). x 1 1 ( ) 1 1 fx x x x =++ − − 答案 1 () ( ) 2, x f xf x x − 例 6.设 + = 其中 x x ≠ 0, 1, ≠ 求 f ( ). x 解：利用函数表示与变量字母无关的特性. 1 , x t x − = 1 , 1 x t = − 令 即 代入原方程得 1 2 ( ) () 1 1 f ft t t + = − − , 1 1, 1 u x u − = − 1 , 1 x u = − 令 即 代入上式得 1 1 2( ( )( ) 1 u u f f uu u − − + = − 1) 1 1 ( ) 1 1 fx x x x 三式联立⇒ = ++ − − 例 7. 求下列函数的定义域: 2 ( 1) (1) log (16 ) x y x = − − 2 21 2 (2) arcsin 7 ln(2 1) x x x y x − − = + − 2 16 0 解：(1) 1 0 定义域是 1 1 x x x ⎧ − > ⎪ ⎨ − > ⎪ − ≠ ⎩ (1, 2) (2, 4). ∪ 8

2x-x2≥0定义域是（.1U(2)(2)22x-1>02x-1+1例8.按国家规定，个人月收入x不超过880元不纳税超过880元而小于1380元的部分按5%纳税而超过1380元小于2000元的部分按10%纳税，则个人月收入x与交纳所得税y的函数关系为0,x≤8805(x-880):8800例9. f(x):1x2-1,x≤0yy=X2-例10.用分段函数表示函数y=3-x-1y[3+(x-1), x0,x>0，求证：若()单调减少，则xf(x +x,)<f(x)+f(x2)9

2 2 1 1 7 (2) 2 2 10 2 11 x x x x x ⎧ − ≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ − ≥ ⎪ − > ⎪ ⎪⎩ − ≠ 1 ( ,1) (1, 2]. 2 0 定义域是 ∪ 例 8. 按国家规定,个人月收入 x 不超过 880 元不纳税,超过 880 元而小于 1380 元 的部分按 5％纳税,而超过1380元小于2000元的部分按 10％纳税,则个人月收入 x 与交纳所得税 y 的函数关系为 0, 880 5 ( 880) , 880 1380 100 5 10 (1380 880) ( 1380) , 1380 2000 100 100 x y x x x x ⎧ ⎪ ≤ ⎪ ⎪ = − ⋅ = ⎨ ⎩ − ≤ 例 9. 2 y x = 2 1 − y x = − 1 x y O 例 10.用分段函数表示函数 y x =− − 3 1 解： 3 ( 1), 1 3 ( 1), 1 x x y x x ⎧ +− > 0, 0 ，求证：若 单调减少，则 12 1 2 f ( ) () ( x x fx fx +< + ) 9

证: 设为≥0. >≥0,且x1 0(x)=[x-1, 1≥0求 [0(x)]00(x)x<1解： (p(x)=X≥1"p(x),(1)当p(x)<1时10

2 1 12 21 2 1 () () () () fx fx x f x xf x x x 证：设 x x 1 2 > > 0, 0,且 x1 2 < x ,于是 <⇒ < 2 12 x < + x x , 12 2 12 2 f ( )( x x fx ) x x x + < + 又 2 12 1 2 2 2 ⇒ +< + x f x x xf x xf x ( ) () () 21 22 < x f x xf x () () + 12 1 2 ⇒ +< + f ( ) () ( x x fx fx ) 1, 0 1 ( ) 2, 1 2 x f x x ⎧ ≤ ≤ = ⎨ ⎩− < ≤ 例 12.设 求函数 f x( 3 + ) 的定义域 1, 0 3 1 ( 3) 2, 1 3 2 x f x x ⎧ ≤+≤ + = ⎨ ⎩− <+≤ 1, 3 2 2, 2 1 x x ⎧ − ≤ ≤− = ⎨ ⎩− − < ≤− 解： 故定义域为[ 3− , 1]. − 2 () , 1 x f x x = + ( ( ( ))) n f f fx "   例 13.设 求 解： 2f ( ) ( ( )) x f fx = 2 ( ) 1 ( ) 2 2 2 1 1 1 x 2 1 2 x x = + f x x f x = + x + = + + x 3 2 f ( ) ( ( )) x ffx = 2 2 2 ( ) 1 ( ) 2 2 2 2 1 2 1 3 1 1 2 x f x x x f x = + x x x + = = + + + 2 ( ) 1 n x f x nx = + 由以上两式可推测: 由数学归纳法可证明上式成立. 2 , 1 2, 0 () , () , , 1 1, 0 x e x x x f x x x x x x ϕ ⎧ < ⎧ + < = = ⎨ ⎨ ≥ ⎩ − ≥ ⎩ 例 14.设 求 f [ ( )]. ϕ x 解： ( ) , 1 ( ( )) , ( ), 1 x e x f x x x ϕ ϕ ϕ ⎧ < = ⎨ ⎩ ≥ （1） 当ϕ() 1 x < 时 10