《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第一章 函数与极限 1-习题课

第一章函数与极限习题课>教学要求>典型例题

1 第一章 函数与极限 ➢ 典型例题 ➢ 教学要求 习 题 课

教学要求一、1理解函数的概念。2.了解函数奇性、单调性、周期性和有界性3.理解复合函数的概念，了解反函数的概念4.掌握基本初等函数的性质及其图形5.会建立简单实际问题中的函数关系式6.理解极限的概念7.掌握极限四则运算法则

2 一、教学要求 1. 理解函数的概念. . 3. 理解复合函数的概念， 4. 掌握基本初等函数的性质及其图形. 5. 会建立简单实际问题中的函数关系式. 6. 理解极限的概念. 7. 掌握极限四则运算法则. 了解反函数的概念

8．了解两个极限存在准则会用两个重要极限求极限9.了解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念.会用等价无穷小求极限10.理解函数在一点连续的概念11.了解间断点的概念，并会判定间断点的类型12.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质

3 8. 了解两个极限存在准则, 9. 了解无穷小、无穷大, 10. 理解函数在一点连续的概念. 11. 了解间断点的概念,并会判定间断点的 12. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续 概念. 会用等价无穷小求极限. 类型. 函数的性质. 以及无穷小的阶的 会用两个重要极 限求极限

二、典型例题+ tan x例求limx-→01+ sin x11+ tan x解原式=lim[1+10x-01 +sinx-tan x - sinx= lim[1 +1 + sin xx-→0tanx-sinx1+sinxtan x-sin x1 + sin xtanx-sinx1+sinxL

4 例 ) . 1 sin 1 tan lim( 3 1 0 x x x x + + → 求 解 二、典型例题 原 式 = 3 1 0 ] 1 sin tan sin lim[1 x x x x x + − = + → 3 1 0 lim[ ] x x→ 1) 1 sin 1 tan ( − + + x x 1 + (1 )  ] 1 sin tan sin lim [1 0 x x x x + − = + → x x x tan sin 1 sin − +   3 1 1 sin tan sin x x x x  + −

1tan x - sinxlimtx-→01 + sin x1sin x(1- cos x)= limtocos x(1+ sin x)x-→01sinx1-cosx= limlimlimx→0 cos x(1+ sin x)x→0xx→011-221原式=e?5

5 3 0 1 1 sin tan sin lim x x x x x  + − →  3 0 1 cos (1 sin ) sin (1 cos ) lim x x x x x x  + − = → x x x sin lim →0  2 1 = 11 . 2 1 原式 = e cos (1 sin ) 1 lim x 0 x + x = → 2 0 1 cos lim x x x −  → 2 1 =

例 已知 limax+b)=3,求常数a、b.x+1x-8+(b-a)x+1+b(1-a)解原极限=lim3x+1x-→001-a=0a=b-a=3b= 4

6 例 ) 3, 1 1 lim ( 2 − + = + + → a x b x x x 已 知 求 常 数a、b. 解 原极限= 1 (1 ) ( ) 1 lim 2 + − + − + + → x a x b a x b x = 3    1− a = 0 b−a = 3     a = 1 b = 4

2n-1+ ax + bX例 设f(x) = lim为连续函数x2n +1n8求a、b.ax+bIxk1解1[x[>1x：f(x)连续f(x) =Y(1+a+b)x=121x=-1(-1-a+b):. x =-1时,f(-1-0)= f(-1+0) = f(-1) 即-1= -a + b =-1-a+b)7

7 例 , 1 ( ) lim 2 2 1 设 为连续函数 + + + = − → n n n x x a x b f x 求a、b. 解 f (x) =  | x | 1 | x | 1 x = 1 x = −1 ax + b x1 (1 ) 21 + a + b ( 1 ) 21 − − a + b  f ( x )连续, f ( − 1 − 0 ) = f ( − 1 + 0 ) = f ( − 1 ) 即 − 1 = − a + b ( 1 ) 21 = − − a + b  x = − 1 时

1xk1ax+b-1=-a + b :-1-a+ b[x>1：f(x)连续f(x)=x=1(1+a+b)(-1-a+b)x=-12即:. x =1时, f(1-0) = f(1+ 0) = f(1)a + b=1 = =(1+ a+ b)得 b=0,a=18

8 f ( x ) =  | x |  1 | x |  1 x = 1 x = − 1 ax + b x1 (1 ) 21 + a + b ( 1 ) 21 − − a + b  f ( x )连续 , f ( 1 − 0 ) = f ( 1 + 0 ) = f ( 1 ) 即 a + b = 1 ( 1 ) 21 = + a + b  x = 1 时 , − 1 = − a + b ( 1 ) 21 = − − a + b 得 b = 0 , a = 1

元≤1xcos一x例 讨论f(x)=的连续性。2Ix-1Ix>1解将f(x)改写成元-1≤x≤1cosx2f(x)=1x<-11-x显然f(x)在(-00,-1), (-1,1), (1,+) 内连续

9 例 . | 1 | 11 2 cos 讨 论 ( ) 的连续性  −  = x x x x f x  解 将f ( x )改写成 f ( x ) = 显然f (x)在(− ,− 1), 内连续.  x −1 x  1 2 cos  x − 1 x  1 1 − x x  − 1 ( − 1 , 1), ( 1 ,+ )

元-1≤x≤1cosX2x>1f(x)=x-11-xx<-1当x =-1时,lim f(x)= lim (1- x) = 2x-1x-1元Xlim f(x) = lim.0cOoS2x-1+?x-→-1t: lim f(x) ± lim f(x)x-→-1+x--1故f(x)在x=-1间断,且为第一类跳跃间断点。10

10 当x = −1时, = − →− lim ( ) 1 f x x − = − →− lim (1 ) 1 x x 2 = + →− lim ( ) 1 f x x = + →− 2 lim cos 1 x x  0 lim ( ) 1 f x x − →−  故f (x)在x = −1间断, f (x) =      x −1 x  1 2 cos  x −1 x 1 1− x x  −1 且为第一类跳跃 间断点. lim ( ) 1 f x x + →− 