《高等数学》课程授课教案（讲义）第七章 空间解析几何与向量代数

第七章第一节：空间直角坐标系教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。教学重点：1.空间直角坐标系的概念2.空间两点间的距离教学难点：空间思想的建立教学内容：空间直角坐标系一.1、将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7一1，其符合右手规则。2各轴名称，坐标面的概念以及卦限的划分如图7一2所示。3.空间点M(x,y,=)的坐标表示方法，关于坐标轴、坐标面原点的对称点的表示法。通过坐标把空间的点与一个有序数组对应起来。图图7-17-2二，空间两点间的距离若M(x1,y1,=1)、M(x2,J2,z2)为空间两点，则距离（见图7一3）为d =[M,M,/= /(x, -x)2 +(y2 -y) +(=2 -z,)图7-3例：已知两点A(X,J1,2)和B(x2,J2,2）以及实数-1,在直线AB上求点M,使

第七 章 第一 节：空间直角坐标系 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意 义和目的。 教学重点：1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离 教学难点：空间思想的建立 教学内容： 一．空间直角坐标系 1. 将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三 维）如图 7－1，其符合右手规则。 2. 各轴名称，坐标面的概念以及卦限的划分如图 7－2 所示。 3. 空间点 M(x,y,z)的坐标表示方法，关于坐标轴、坐标面原点的对称点的表示法。 通过坐标把空间的点与一个有序数组对应起来。 图 7－1 图 7－2 二．空间两点间的距离 若 M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点， 则距离（见图 7－3）为 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 d = M M = (x − x ) + ( y − y ) + (z − z ) 图 7－3 例：已知两点 1 11 2 2 2 Ax y z Bx y z (, ,) (, , ) 和 以及实数 λ ≠ −1, 在直线 AB 上求点 M, 使

AM=入MB解：设M(x,y,=)为直线上的点，AM =(x-X,y-y,z-2), MB=(2 -x,J2 -y,22 -2)(x-x,y-y1,z-z)=(x2 -x,2 -y,22 -2)x+2x2x-x=a(x -x)=x=21+元3+元22+，=同理，得y=1+1+元

AM MB = λ 解：设 M (, ,) xyz 为直线上的点, 1 11 AM x xy yz z =− − − (, ,) JJJJG ， 222 MB x xy yz z = (, ,) −−− JJJG 1 11 2 2 2 ( , , )( , , ) x − − −= − − − x y y z z x xy yz z λ 1 2 1 2 () , 1 x x xx x x x λ λ λ + − = − ⇒= + 同理,得 1 2 12 , . 1 1 yy zz y z λ λ λ λ + + = = + +

第七章第二节：向量及其运算一，向量的概念●向量：既有大小，又有方向的量：●在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向；在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）：●向量的表示方法有a、i、F、OM等等。向量相等=b：如果两个向量大小相等，方向相同（即经过平移后能完全重合的向量）。●向量的模：向量的大小，记为al、oM。●模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。向量平行a/b：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。二，向量的运算●加减法：三角形法则及平行四边形法则、其满足的运算规律有交换率和结合率向量与数的乘法：a。其满足的运算规律有结合率、分配率。设a”表示V与非零向量a同方向的单位向量，那么a°=[al·定理1：设向量a0，那么，向量b平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数^，使b=a●例子：家例1：在平行四边形ABCD中，设AB=a，AD=b，试用a和b表示向量MA、MB、MC和MD，这里M是平行四边形对角线的交点。（图7一4）图7-4例2：试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形AM-MCBM = MD解：AD-AM+ MD- MC +BM-BC

第七 章 第二 节：向量及其运算 一．向量的概念 ● 向量：既有大小，又有方向的量； ● 在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示 向量的方向； ● 在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）； ● 向量的表示方法有 a、i、F、OM 等等。 ● 向量相等 a=b：如果两个向量大小相等，方向相同（即经过平移后能完全 重合的向量）。 ● 向量的模：向量的大小，记为 a 、 OM 。 ● 模为 1 的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任 意的。 ● 向量平行 a∥b：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如 何向量都平行。 二．向量的运算 ● 加减法：三角形法则及平行四边形法则、其满足的运算规律有交换率和 结合率 ● 向量与数的乘法：λa 。其满足的运算规律有结合率、分配率。设 0 a 表示 与非零向量 a 同方向的单位向量，那么 a a a0 = ● 定理 1：设向量 a≠0，那么，向量 b 平行于 a 的充分必要条件是：存在 唯一的实数λ，使 b＝λa ● 例子： 例 1：在平行四边形 ABCD 中，设 AB = a ， AD = b ， 试用 a 和 b 表示向量MA、MB 、MC 和 MD ，这里 M 是平行四边形对角线的交点。（图 7－4） 图 7－4 例 2: 试用向量方法证明:对角线互相平分的四边形必是平行四边形. 解： AM MC = JJJJG JJJJG ∵ BM MD = JJJJG JJJJG AD = AM + MD = MC + BM = BC ∴

ADIBC且AD=BC结论得证例：设a,b,c均为非零向量，其中任意两个向量不共线，但a+6与c共线，b+与a共线证明：a+b+c=0证：a+b=c,+=μa,,为常数上两式相减得：a-=-ua=(1+μ)a=(1+),而a与不共线故只能1+=0,且1+μ=0即=-1,=-1→++=0.b-3a例：化简a-b+552b-3a2a-(1-3)a解：a-b+5255例：设P在x轴上,它到点P(0,V2,3)的距离为到点P(0,1,-1)的距离的两倍,求点P的坐标解：设P点坐标为(x,0,0)[PP|= /x2 +(V2) +32 = Vx2 +11PP|= /x2 +(-1)* +1 = /x2 + 2:|PP|= 2|PP|: Vx2 +11 = 2/x2 +2=x=±1所求点为(1,0,0),(-1,0,0)例O是轴u坐标原点，A、B坐标依次为u，u的两个点é是与轴u同方向的单位向量(如图),证明:AB=(uz-u)e因点A的坐标为u,即OA=u,故OA=ue同理OB=ue.于是AB=OB-OA=ué-ué=(u,-u）e

⇒ AD // BC 且 AD BC = 结论得证. 例：设 abc , , G G G 均为非零向量,其中任意两个向量 不共线, 但 a b + G G 与c G 共线, b c + G G 与 a G 共线. 证明： abc ++= 0. G G G G 证： ab c + = λ , G G G bc a + = μ , G G G λ,μ 为常数. 上两式相减得： ac c a −= − λ μ GG G G ⇒+ =+ (1 ) (1 ) , . μ a c ac λ G G GG 而 与 不共线 故只能 且 1 0, 1 0. += += λ μ λ μ =− =− ⇒ + + = 1, 1 0. abc G G G G 即 例：化简 1 3 5 2 5 b a ab b ⎛ ⎞ − −+ − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ G G G G G 解： 1 3 5 2 5 b a ab b ⎛ ⎞ − −+ − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ G G G G G 5 1 (1 3) 1 5 2 5 a b ⎛ ⎞ = − +−− + ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ G G 5 2 2 =− − a bG G 例： 1 设 在 轴上 它到点 Px P , (0, 2,3) 的距离为到 2 点P (0,1, 1) − 的距离的两倍,求点 P 的坐标. 解：设 P 点坐标为( ,0,0) x 2 22 2 1 PP x x = + += + ( 2) 3 11 2 22 2 2 PP x x = +− + = + ( 1) 1 2 2 2 1 2 ∵ PP PP x x = ∴ += + 2 11 2 2 ⇒ =± x 1所求点为 (1,0,0),( 1,0,0) − 例 O u 是轴 坐标原点, 1 2 A B uu 、 坐标依次为 , . e u G 的两个点 是与轴 同方向的单位向 量 如图 ( ), 2 1 : ( ). AB u ue = − JJJG G 证明 111 A u OA u OA u e , , = = JJJG G 因点 的坐标为 即 故 2 OB u e = . JJJG G 同理 于是 AB OB OA = − JJJG JJJG JJJG 2 1 21 = ue ue u u e −=− ( ). G G G

小结：本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对向量（自由向量）有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算。作业：

小结：本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对 向量（自由向量）有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向 量运算。 作业：

第七章第三节：向量的坐标教学目的：进一步介绍向量的坐标表示式、为空间曲面等相关知识打好基础。教学重点：1.向量的坐标表示式2.向量的模与方向余弦的坐标表示式教学难点：1.向量的坐标表示2.向量的模与方向余弦的坐标表示式教学内容：一．向量在轴上的投影1.几个概念轴上有向线段的值：设有一轴u，AB是轴u上的有向线段，如果数入满足=AB，且当AB与轴u同向时是正的，当AB与轴u反同向时是负的，那么数叫做轴u上有向线段AB的值，记做AB，即=AB。设e是与u轴同方向的单位向量，则AB=e设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有AC=AB+BC两向量夹角的概念：设有两个非零向量a和b，任取空间一点O，作OA=a，OB=b，规定不超过元的ZAOB称为向量a和b的夹角，记为(a,b)。●空间一点A在轴u上的投影：通过点A作轴u的垂直平面，该平面与轴u的交点A叫做点A在轴u上的投影。●向量AB在轴u上的投影：设已知向量AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点A和B，那么轴u上的有向线段的值AB叫做向量AB在轴u上的投影，记做PrjAB。2.投影定理性质1：向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角β的余弦

第七 章 第三 节：向量的坐标 教学目的：进一步介绍向量的坐标表示式、为空间曲面等相关知识打好基础。 教学重点：1.向量的坐标表示式 2.向量的模与方向余弦的坐标表示式 教学难点：1.向量的坐标表示 2.向量的模与方向余弦的坐标表示式 教学内容： 一．向量在轴上的投影 1. 几个概念 ● 轴上有向线段的值：设有一轴 u， AB 是轴 u 上的有向线段，如果数λ 满 足 λ = AB ，且当 AB 与轴 u 同向时λ 是正的，当 AB 与轴 u 反同向时λ 是 负的，那么数λ 叫做轴 u 上有向线段 AB 的值，记做 AB，即λ = AB 。设 e 是与 u 轴同方向的单位向量，则 AB = λe ● 设 A、B、C 是 u 轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有 AC = AB + BC ● 两向量夹角的概念：设有两个非零向量 a 和 b，任取空间一点 O，作 OA = a ，OB = b，规定不超过π 的∠AOB 称为向量 a 和 b 的夹角，记为 (a,b) ∧ 。 ● 空间一点 A 在轴 u 上的投影：通过点 A 作轴 u 的垂直平面，该平面与轴 u 的交点 ' A 叫做点 A 在轴 u 上的投影。 ● 向量 AB 在轴 u 上的投影：设已知向量 AB 的起点 A 和终点 B 在轴 u 上的 投影分别为点 ' A 和 ' B ，那么轴 u 上的有向线段的值 ' ' A B 叫做向量 AB 在 轴 u 上的投影，记做Pr ju AB 。 2. 投影定理 ● 性质1：向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角ϕ 的余弦：

Pr j. AB =ABcosp●性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即Prj,(a,+a,)=Pr ja,+Prja,●性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即Pr j,(Ma) = Pr ja二：向量在坐标系上的分向量与向量的坐标1：向量在坐标系上的分向量与向量的坐标通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。设a=MM,是以M(x,J,=)为起点、M,(x2,J2,=,)为终点的向量，i、j、k分别表示沿x，y，z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7一5，并应图7-5用向量的加法规则知：MM, =(x2 -x)i+ (y2 -yi)j+(=2 -z))k或a=axi+aj+ak上式称为向量a按基本单位向量的分解式。有序数组a、ay、a.与向量a一一对应，向量a在三条坐标轴上的投影aray、a就叫做向量a的坐标，并记为a = (ax ay, a.)。上式叫做向量的坐标表示式。于是，起点为Mx,y,z）终点为M,(x2,y2,=2）的向量可以表示为M,M, = (x2 -X1,y2 - y1,z2 -21)特别地，点M(x,J,z)对于原点O的向径OM = (x,y,z)例：求平行于向量a=6i+7j-6k的单位向量的分解式解：所求向量有两个，一个与α同向，一个与a反向:[a= /62 +72 +(-6)2 =11

Pr ju AB = AB cosϕ ● 性质 2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和， 即 a1 a2 a1 a2 j j j Pr u ( + ) = Pr + Pr ● 性质 3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘 法。即 Pr ju (λa) = λ Pr ja 二．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标 1． 向量在坐标系上的分向量与向量的坐标 通过坐标法，使平面上或空间的点与有 序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为 了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序 数之间的对应关系。 设 a = M1M 2 是以 ( , , ) 1 1 1 1 M x y z 为起点、 ( , , ) 2 2 2 2 M x y z 为终点的向量，i、j、k 分别表 示沿 x，y，z 轴正向的单位向量，并称它们为 这一坐标系的基本单位向量，由图 7－5，并应 图 7－5 用向量的加法规则知： ( ) 1 2 2 1 M M = x − x i + ( ) 2 1 y − y j+( ) 2 1 z − z k 或 a = ax i + ayj + azk 上式称为向量 a 按基本单位向量的分解式。 有序数组 ax、ay、az与向量 a 一一对应，向量 a 在三条坐标轴上的投影 ax、 ay、az就叫做向量 a 的坐标，并记为 a ＝ {ax，ay，az}。 上式叫做向量 a 的坐标表示式。 于是，起点为 ( , , ) 1 1 1 1 M x y z 终点为 ( , , ) 2 2 2 2 M x y z 的向量可以表示为 { , , } 1 2 2 1 2 1 2 1 M M = x − x y − y z − z 特别地，点M (x, y,z) 对于原点 O 的向径 OM = {x, y,z} 例：求平行于向量 ai jk =+− 676 G G G G 的单位向量的分解式. 解：所求向量有两个,一个与 a G 同向,一个与 a G 反向. 22 2 | | 6 7 ( 6) 11 a = + +− = G ∵

.a-aa-6i+j-%k-lal1511或a°=-a6771+6k+=1111lal※注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、dy、α，向量a在坐标轴上的分向量是三个向量axi、aj、a.k.2.向量运算的坐标表示设a=(axay,a)，b=(bx,by,b)即a=axi+aj+a.k，b=bxi+byj+b.k则←加法：a+b=(ax+bx)i+（ay+by)j+(a.+b.)ka-b=（ax-bx）i+（ay-by）j+（a-b）k◆减法：◆乘数：Ma=(ax)i+(May)j+(Ma)k◆或a+b={ax+ bx,ay+ by,a.+b.)a-b={axbx,ay-by,a—b.]Ma=(MaxMay,Ma)◆平行：若ao时，向量bl/a相当于b=^a，即{bx,by,b,)]=A(axay,a.)也相当于向量的对应坐标成比例即br-b-b.axaya.三：向量的模与方向余弦的坐标表示式设a={ax，ay，a)，可以用它与三个坐标轴的夹角α、β、（均大于等于0，小于等于元）来表示它的方向，称α、β、为非零向量a的方向角，见图7一6，其余弦表示形式cosα、cosβ、cos称为方向余弦。1.模a=a +a, +a?图7-62.方向余弦

0 676 | | 11 11 11 a a i jk a ∴ == + − G JJG G G G G 或 0 a JJG 67 6 | | 11 11 11 a i jk a =− =− − + G G G G G ※ 注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。 向量 a 在坐标轴上的投影是三个数 ax、ay、az， 向量 a 在坐标轴上的分向量是三个向量 ax i 、 ayj 、 azk. 2．向量运算的坐标表示 设 a = {ax，ay，az}，b = {bx，by，bz}即 a = ax i + ayj + azk，b = bx i +by j +bzk 则 ◆ 加法： a + b = （ax+ bx）i +（ay + by） j +（az + bz）k ◆ 减法： a―b = （ax－bx ）i + （ay－by） j +（ az－bz ）k ◆ 乘数： λa = (λax )i + (λay)j + (λaz)k ◆ 或 a + b ={ ax+ bx，ay + by，az + bz } a－b ={ ax－bx，ay－by，az－bz } λa = {λax，λay，λaz} ◆ 平行：若 a≠0 时，向量 b∥a 相当于 b ＝λa，即 {bx，by，bz} =λ{ax，ay，az} 也相当于向量的对应坐标成比例即 z z y y x x a b a b a b = = 三．向量的模与方向余弦的坐标表示式 设 a = {ax，ay，az}，可以用它与三个坐标 轴的夹角α、β、γ（均大于等于 0，小于等于π ） 来表示它的方向，称α、 为非零向量 β、γ a 的 方向角，见图 7 － 6 ，其余弦表示形式 cosα、 称为方向余弦。 cos β、cosγ 1．模 2 2 2 a = ax + ay + az 图 7－6 2．方向余弦

MMcosα=acosαa.由性质1知aM,M,cosβ=acosβ，当al=a+a,+a?+o时，有a.=M,M,cosy=acosacosα:ala'+a,+aaya.cos β =aJa'+a,+aa.a.cOsy:lJa +a, +a?任意向量的方向余弦有性质：cosα+cos?β+cos?y=1◆与非零向量a同方向的单位向量为：0(ar,a,,a.)=(cosα,cos,cosy)aa3.例子：已知两点M(2,2,V2)、M(1,3,0)，计算向量M,M，的模、方向余弦、方向角以及与M,M,同向的单位向量。解:M,M,=(1-2,3-2,0-/2)={-1,1, -V2)M,M,= /(-1)* +12 +(-V2) = 2/21"cosB=！cosα=cosy:2222元3元β=1,=α=334设a为与M,M,同向的单位向量，由于a=(cosα,cosβ,cosy)即得a° =(-11-2)222飞和匹例：设有向量PP,已知PP,I=2,它与x轴和y轴的夹角分别为，如果P1的坐标34为(1,0,3),求P,的坐标解：设向量PP,,的方向角为α,β,r

由性质 1 知 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = = = = γ γ β β α α cos cos cos cos cos cos 1 2 1 2 1 2 a a a a M M a M M a M M z y x ，当 0 2 2 2 a = ax + ay + az ≠ 时，有 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + + = = + + = = + + = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos cos x y z z z x y z y y x y z x x a a a a a a a a a a a a a a a a a a γ β α ◆ 任意向量的方向余弦有性质：cos cos cos 1 2 2 2 α + β + γ = ◆ 与非零向量 a 同方向的单位向量为： { , , } {cos , cos , cos } 1 = = = α β γ x y z a a a a a a a 0 3．例子：已知两点 M1(2,2, 2 )、M2(1,3,0)，计算向量M1M 2 的模、方向余弦、 方向角以及与M1M 2 同向的单位向量。 解：M1M 2 ＝{1-2，3-2，0- 2 }={-1，1，- 2 } ( 1) 1 ( 2) 2 2 2 2 M1M 2 = − + + − = 2 1 cosα = − ， 2 1 cos β = ， 2 2 cosγ = − 3 2π α = ， 3 π β = ， 4 3π γ = 设 0 a 为与M1M 2 同向的单位向量，由于 = {cosα,cos β,cosγ } 0 a 即得 } 2 2 , 2 1 , 2 1 = {− − 0 a 例：设有向量 1 2 PP , JJJG 已知 1 2 | | 2, PP = JJJG 它与 x 轴和 y 轴的夹角分别为 , 3 4 π π 和 如果 P1 的坐标 为(1,0,3),求 P2 的坐标. 解：设向量 1 2 PP , JJJG 的方向角为α, , β γ

V21B=元元,cosβ=cosα=Q2234:cos"α+cos?β+cos?=1I2元元..cosy=±323设P,的坐标为(x,y,2)y-0_V2x-1x-11y-o=y=V2=x=2,cosβcosα2222IPPIIPP,2-3Z-311cosy:z=4, z=2,=士22IPPIP2的坐标为(2,V2,4)，(2,V2,2)例：设m=3i+5j+8k,n=2i-4j-7k,p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n-px轴上的投影及在轴上的分向量解：a=4m+3n-p= 4(3i +5j +8k)+3(2i-4j-7k)-(5i +j-4k)=137 +7j+15k在x轴上的投影为a,=13，在y轴上的分向量为a,j=17j例：设m=i+j,n=-2j+k,求以向量m,n为边的平行四边形的对角线的长度解：对角线的长为m+il，Im-nl:m+n=(l,-1,1)m-n=(1,3,-1).. [m+n= /? +(-1) +12 = /3Im-n/= /P +32 +(-1)2 =/l1平行四边形的对角线的长度各为3,V11例：已知平行四边形的三个顶点A(r),B(r2),C(r),则与顶点B相对的第四个顶点D为

1 2 , cos ,cos 34 2 2 π π αβ α β = =⇒ = = 222 ∵cos cos cos 1 αβγ ++= 1 2 cos , 2 33 π π ∴ γ γγ =± ⇒ = = 设 P2 的坐标为(, ,) x y z 1 2 1 11 cos 2, | | 2 2 x x x PP α − − = = =⇒= JJJJG 1 2 0 02 cos 2, | | 2 2 y y y PP β − − = = = ⇒= JJJJG 1 2 3 31 cos 4, 2, | | 2 2 z z z z PP γ − − = = =± ⇒ = = JJJJG P2 的坐标为(2, 2,4), (2, 2,2). 例： m i j kn i j k =++ =−− 3 5 8, 2 4 7, GG GG G G G G 设 p = +− 5 4, ij k G G G G 求向量 a m np = 4 3 + − G G GG x 轴 上的投影及在 y 轴上的分向量. 解： a m np = +− 4 3 G G GG ∵ = + + + − − − +− 4(3 5 8 ) 3(2 4 7 ) (5 4 ) i j k i j k ij k G G G G GG G GG = ++ 13 7 15 ijk G G G ∴在 x 轴上的投影为 13, x a = 在 y 轴上的分向量为 17 . y aj j = G G 例： m i jn j k = + =− + , 2, GG G G G G 设 求以向量 m n, G G 为边的平行四边形的对角线的长度. 解：对角线的长为| |, | | mn mn + − G G GG mn mn += − −= − (1, 1,1) (1,3, 1) GG GG ∵ 2 22 ∴ | | 1 ( 1) 1 3 m n + = +− + = G G 22 2 | | 1 3 ( 1) 11 m n − = + +− = G G 平行四边形的对角线的长度各为 3, 11. 例：已知平行四边形的三个顶点 123 A( ), ( ), ( ), r Br Cr JG JG JG 则与顶点 B 相对的第四个顶点 D 为