《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第二章 导数与微分 2-04 第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率

第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率隐函数的导数1由参数方程所确定的函数的导数■相关变化率■小结 思考题

第四节 隐函数及由参数方程所确定 的函数的导数 相关变化率 ◼ 隐函数的导数 ◼ 由参数方程所确定的函数的导数 ◼ 相关变化率 ◼ 小结 思考题

隐函数的导数一、1.隐函数的定义定义 由二元方程F（x，y）=0 所确定的函数=(x）称为隐函数y=f(x)的形式称为显函数F(x,y)=0 →y=f(x）隐函数的显化例x+3-1=0可确定显函数y=/1-x;开普勒方程y=x+siny(0<<1),y关于x的隐函数客观存在，但无法将y表达成x的显式表达式

F(x, y) = 0 y = f (x) 1. 隐函数的定义 一、隐函数的导数 隐函数的 例 可确定显函数 显化. 定义 y = f (x) y = y ( x ) F ( x , y ) = 0 所确定的函数 称为隐函数. 的形式称为显函数. 由二元方程 开普勒方程 但无法将 y表达成 x 的显式 表达式. 的隐函数客观存在, y关于x

隐函数不易显化或不能显化如何求导2.隐函数求导法隐函数求导法则用复合函数求导法则，将方程两边对x求导并注意到其中变量是x的函数

2. 隐函数求导法 隐函数求导法则 用复合函数求导法则, 并注意到其中 将方程两边对x求导. 变量y是x的函数. 隐函数不易显化或不能显化 如何求导

例1求由方程所确定的隐函数xy-e*+e"=0y的导数 y',y'lx=0x = 0, y= 0解 设想把 xy-e+e=0 所确定的函数y=y(x)代入方程，则得恒等式xy-e*+e'=0将此恒等式两边同时对x求导，得(xy)-(e*)+(e")x =(O)因为y是x的函数，所以e'是x的复合函数求导时要用复合函数求导法ex-y=1.y+xy'-e*+e".y'= 0 =y"x=0 e"+xx=0ly=0y=0

例1 解 代入方程, 则得恒等式 − + = 0 x y xy e e 将此恒等式两边同时对x求导,得 xy x ( ) x x − (e ) x y + (e ) = (0) 因为y是x的函数, 所以 是x的复合函数, y e 求导时要用复合函数求导法, y + xy x − e y + e  y = 0  = 1. e x e y y y x + −  = y = 0 x = 0 y = 0 x = 0 求由方程 所确定的隐函数 y的导数 x = 0, y = 0 0 x y xy e e − + = 0 , | x y y =   设想把 0 所确定的函数y=y(x) x y xy e e − + =

求隐函数的导数时，只要记住x是自变量y是x的函数，于是y的函数便是x的复合函数将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数的方程.从中解出即可虽然隐函数没解出来，但它的导数求出来了，当然结果中仍含有变量.一般来说，隐函数求导，允许在y的表达式中含有变量y

虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来 了,当然结果中仍含有变量 y. 允许在 y 的表达式中含有变量y. y 一般来说,隐函数 求导, 求隐函数的导数时,只要记住x是自变量, 将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数 从中解出即可. 于是y的函数便是x的复合函数, 的方程. y是x的函数

例2设siny+xe=0,求y解 法一利用隐函数求导法将方程两边对x求导,得cos y· y'*+1.e" +xe'.y' = 0解出,得eyy=cos y+ xey法二从原方程中解出x,得-sin y=-e-ysin yx=ey

例2 解 sin 0, y 设 y xe + = . x 求y  法一 利用隐函数求导法. 将方程两边对x求导,得 cos y x  y  y + 1 e y + x e x  y  = 0 y y x y xe e y + −  = cos 解出 , x y  得 法二 从原方程中解出 x, 得 = − = y e y x sin e y y sin − −

-sin y=-e-'sin yx=ey先求x对y的导数,得x, = -[e-}.(-1)sin y+e-y.cos y]-e-'(cos y-sin y)cos y-sin yes再利用反函数求导法则，得Lcos y+ xej

e y e y x y y sin sin − = − − = 先求 x 对 y 的导数, 得 x  y = e (cos y sin y) y = − − − y e cos y − sin y = − 再利用反函数求导法则, 得 y x x y   = 1 y y y xe e + − = cos [e ( 1)sin y e cos y] y y −  − +  − −

例3设曲线C的方程为x3+y3=3xy，求过C上点的切线方程，并证明曲线C在该点的法线通过原点解方程两边对x求导，3x2+3y2.y=3y+3xyy-x=-1.[() J2-x[()33切线方程即x+y-3=0.2233即法线方程V=x通过原点V22

例3 设曲线C的方程为 , 求过C上点 的切线方程，并证明曲线C在该点的法线通过原点. 解 2 3x y x y x y − −   = 2 2 = −1. 切线方程 ) 2 3 ( 2 3 y − = − x − 即 x y + − = 3 0. 2 3 2 3 y − = x − 即 y x = , 2 + 3y  y = 3 y + 3xy 法线方程 通过原点.       2 3 , 2 3       2 3 , 2 3 3 3 x y xy + = 3 3 3 ( , ) 2 2 方程两边对x求导

例4设x-xy+=1,求y"在点(0,1)处的值.解 方程两边对x求导,得+4r.y40将上面方程两边再对x求导,得+121312.016(0,1)

例4 4 4 设 x xy y y − + = 1, (0,1) . 求 在点 处的值 解 3 4x y  x求导,得 2 12x . 16 1 = − 3 − y − xy + 4 y  y = 0 − y− y− xy + y  y  y 2 12 3 + 4 y  y = 0 (0,1) 4 1 = 将上面方程两边再对 y  (0,1) 0 1 0 1 0 0 1 1  4 1 4 1 4 1 4 1 方程两边对x求导, 得

设x*-xy+=1,求y"在点(0,1)处的值.或解方程两边对x求导,得4x3 - y- xy' + 4y"y= 0解得 J'=-4x3(0,1) =44y3-x将y=-4x3两边再对x求导，得4y3 -xJ" = ('-12x")(4y* --) - (y- 4x*)(12y* y'-1)(4y3 - x)(0,1)16

4 4 设 x xy y y − + = 1, (0,1) . 求 在点 处的值 或解 4 4 0 3 3 x − y − xy  + y y  = 解得 y x y x y − −  = 3 3 4 4 y  = y    (4 ) 3 ( 12 ) y − x 2 y  − x 3 2 − ( 4 )(12 1) y x y y −  −  ; 4 1 = (0,1) y  (0,1) . 16 1 = − 方程两边对x求导, 得 将 两边再对x求导, 得 3 3 4 4 y x y y x −  = − 3 2 (4 ) y x −