《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第一章 函数与极限 1-06 第六节 极限存在准则两个重要极限

第六节极限存在准则两个重要极限极限存在准则1两个重要极限■小结思考题

第六节 极限存在准则 两个重要极限 ◼ 极限存在准则 ◼ 两个重要极限 ◼ 小结 思考题

极限存在准则1.夹逼准则准则 I如果数列(xn},lyn}及(zn}满足下列条件:(n = 1,2,3..)(1) n≤xn≤zn(2)lim z,=a,limyn=a,00那末数列(xn}的极限存在,且limx，=a.n→8证 :yn→a, zn→a,V ε>0, N >0, N, >0,使得

1. 夹逼准则 证 y a,  n →    0, 准则Ⅰ 满足下列条件: (1) y  x  z (n = 1,2,3), n n n (2) lim y a, n n = → lim z a, n n = → { } xn lim x a. n n = → z a, n → 0, N1  0, N2  使得 如果数列 那末数列 的极限存在,且 一、极限存在准则 { },{ } { } n n n x y 及 z

(1) yn ≤xn≤zn当n>N,时恒有yn-αN,时恒有zn-αN时,恒有aε<y≤x,≤z<a+ε,即x,a<ε成立,limx,=a.n-→8上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限

, 1 n  N y − a   当 时恒有 n max{ , }, 取 N = N1 N2 当n  N时, 恒有 a −   y  a + , 即 n , 2 n  N z − a   当 时恒有 n a −   z  a + , n 上两式同时成立, n n n y  x  z 即 x − a   成立, n lim x a. n n  = → 上述数列极限存在的准则可以推广到函数 的极限. a −    a +, n n n (1) y  x  z

准则I，如果(1) 当xe U(xo,r) (或|x> M);有g(x)≤ f(x)≤h(x)(2) lim g(x) = A,lim h(x) = A,x-→Xox-→xo(x→00)(x→00)那末 lim f(x) 存在,且等于A.x-→xo(x →0)准则I和准则I’称为夹逼准则

称为 准则Ⅰ’ 如果 g(x)  f (x)  h(x) (2) lim ( ) , 0 g x A x x = → lim ( ) , 0 h x A x x = → 那末 lim ( ) 0 f x x→x 存在,且等于A. 夹逼准则. (1) ( , ) 0 o 当x U x r (或| x | M), 有 (x → ) (x → ) (x → ) 准则Ⅰ和准则Ⅰ’

111例1求 lim(1n2+2n8+1n-n'+n11nn解·2+1Vn2+1Vn'+nVn'+nVn'1n又limlim121>00>0n-+nn+n1nlimlim1由夹逼定理得1+1n->n>o2n111lim(2n-0+2+1+n

例1 ). 1 2 1 1 1 lim( 2 2 2 n n n n + n + + + + → + 求  解 n n + n + + + 2 2 1 1 1  n n n n n n 1 1 1 lim 2 lim + = → + → 又 = 1, 2 2 1 1 1 lim 1 lim n n n n n + = → + → = 1, 由夹逼定理得 ) 1. 1 2 1 1 1 lim( 2 2 2 = + + + + + n→ n + n n n  , 1 2 +  n n  n + n n 2 

注利用夹逼准则是求极限的一个重要手段将复杂的函数f（x）做适当的放大和缩小化简找出有共同极限值又容易求极限的函数g(x）和h(x）即可

注 利用夹逼准则是求极限的一个重要手段, 将复杂的函数 f (x)做适当的放大和缩小化简, 找出有共同极限值又容易求极限的函数 g(x) 和h(x)即可

2.单调有界准则如果数列x,满足条件X≤x2≤x≤xn+1≤.,单调增加单调数列Xi ≥≥xn≥xn+1≥,单调减少准则 Ⅱ单调有界数列必有极限几何解释：MAxx,x.x-Xnt对数列x,}:良有界单调有界示有极限

x 1 x 2 x 3 x xn xn+1 2. 单调有界准则 如果数列{xn }满足条件 1 2 1 , n n x x x x     + 单调增加 , x1  x2  xn  xn+1   单调减少 单调数列 准则Ⅱ 几何解释: A M 单调有界数列必有极限. { }: 对数列 xn 单调有界  有极限   有界

例2证明数列x，=3+√3+√...+/3（n重根式）的极限存在。显然Xn+1>Xn'证(1)x，是单调增加的：x = /3<3,假定x<3,(2)Xk+1 = /3+x <~3+3<3,x，是有界的..limXn存在.n0

例2 证明数列xn = 3+ 3+ + 3 (n重根式)的 证 , xn+1  xn { }  xn  x1 = 3  3, 假定 xk xk+1 = 3 + xk  3 + 3  3, { }n  x n n x → lim 极限存在. (1) 显然 是单调增加的; (2)  3, 是有界的; 存在

证明数列x，=3+3+√..+V3（n重根式的极限存在。(3) 设lim x, = An→80/3+xn, xh+13+xn: Xn+1 =2A?=3+A,lim Xn+1 = lim(3 + x,),n→00n→1- /131+ /13解得A：A:(舍去)221+/13:. lim x.2n-

3 ,  xn+1 = + xn 3 , 2 xn+1 = + xn + = → 2 1 lim n n x 3 , 2 A = + A , 2 1+ 13 A = (舍去) . 2 1 13 lim +  = → n n x (3) 证明数列xn = 3+ 3+ + 3 (n重根式)的 极限存在. lim(3 ), n n + x → xn A n = → 设lim 2 1− 13 解得 A =

准则川单调有界数列必有极限函数极限也有类似的准则.对于自变量的不同变化过程(x→x,x→,x→-00,x→+o0)准则有不同的形式，准则 II’设函数f(x)在点 xo的某个右邻域内单调并且有界,则f(x)在点 xo右极限 f(xt)必定存在

准则Ⅱ’ 单调并且有界, 设函数 f (x)在点 x0的某个右邻域内 则f (x)在点 x0右极限 ( ) 0 + f x 必定存在. 准则Ⅱ 单调有界数列必有极限. 函数极限也有类似的准则.对于自变量的 不同变化过程 ( , , , ), → 0 → 0 → −  → +  − + x x x x x x 准则有不同的形式