《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第一章 函数与极限 1-09 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性四则运算的连续性反函数与复合函数的连续性初等函数的连续性小结思考题

1 第九节 连续函数的运算与 初等函数的连续性 ◼ 四则运算的连续性 ◼ 反函数与复合函数的连续性 ◼ 小结 思考题 ◼ 初等函数的连续性

一、四则运算的连续性定理1若函数,f(x)，g(x)在点x,处连续,则(1)和(差)函数f(x)土g(x),也在点x。连续;(2)乘积函数.f(x)·g(x),在点xo连续：f(x)在点X连续（3）如果g（x）+0则商函数g(x)如,由于 sinx,cosx在(-o0,+oo)内连续故 tanx,cotx 在其定义域内连续

2 定理1 ( ) ( ) ( ) ( ), 1 和 差 函数 f x g x  如, sin x,cos x在(−,+)内连续, 故 tan x, ( ), ( ) , 若函数 f x g x x 在点 0 处连续 则 (2)乘积函数 f (x) g(x), 由于 ( ) ( ) (3) ( ) 0, 0 g x f x 如 果g x  则商函数 cot x 一、四则运算的连续性 也在点 连续; 在其定义域内连续. 在点 连续; 在点 连续. x0 0 x 0 x

二、反函数与复合函数的连续性定理2单调的连续函数必有单调的连续反函数元元如，=sinx在[上单调增加且连续2'2故y=arcsinx 在[-1,1]上也是单调增加且连续同理,y=arccos x在[-1,1]上单调减少且连续y=arctan x在(-o0,+ oo)内单调增加且连续= arccotx 在(-0,+o)内单调减少且连续结论：反三角函数在其定义域内皆连续1

3 如, 在 ]上 2 , 2 sin [   y = x − y = arcsin x y = arccos x y = arctan x 结论: 反三角函数在其定义域内皆连续 定理2 故 同理, y = arccot x 在(− ,+ )内 在 (− ,+ )内 在[ − 1, 1]上 二、反函数与复合函数的连续性 单调增加且连续, 单调的连续函数必有单调的连续反函数. 也是单调增加且连续. 单调减少且连续. 单调增加且连续. 单调减少且连续

此定理对计算某些极限是很方便的定理3设函数y=f[g(x)l是由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成,U(xo)C Dfog·若lim g(x)= uo而函数/y= f(u)在u=u连续,则lim f[g(x)]= lim f(u)= f(uo)x-→xou-→uo证 ：f(u)在点u=u,连续,V ε>0,3n>0使当lu-uol0 >0->X使当0<x-x<时,恒有g(x)-uo=|u-uol<n成立

4 此定理对计算某些极限是很方便的. 定理3设函数 是由函数 与函数 复合而成, ( ) . 0 o U x  Df g 而函数 连续,则 lim ( ) 0 f u u→u lim [ ( )]= 0 f g x x→x 证    0, lim ( ) , 0 0 g x u x x = → 又   0, ( ) ( ) . 恒有 f u − f u0  成立    0, 0 , 使当  x − x0  时 ( ) . 恒有 g x −u0 成立 ( ) ,  f u 在点u = u0 连续 = u−u0 y = f [g(x)] y = f (u) lim ( ) , 0 0 g x u x x = 若 → u u0 y = f (u)在 = ( ). u0 = f , 使当 u − u0 时 u = g(x) 对于  0

>0,>0,使当u-u0,>0,使当00,3>0,使当0<x-x时f(u)- f(uo) =lf[g(x)-f(uo)< 成立:: lim fIg(x)]= f(uo) =f[lim g(x) l.x→xox→xo-

5 将上两步合起来:    0, ( ) ( ) u0 f u − f   成立.  = = → lim [ ( )] ( ) 0 0 f g x f u x x f[ ].    0, 对于  0,   0, ( ) ( ) . 恒 有 f u − f u0  成 立    0, 0 , 使 当  x − x0   时 ( ) . 恒 有 g x − u0 = u − u0  成 立    0,    0, 0 , 使 当  x − x0   时 [ ( )] ( ) u0 = f g x − f    0, 0 , 使当  x − x0   时 ( ) ( ) . 恒 有 f u − f u0  成 立lim ( ) 0 g x x→x , 使当 u − u0 时

定理3若 lim g(x)=uo，函数 f(u)在点u,连续则有lim fIg(x)l = f(uo) = [ lim g(x)lxxo例求 lim sing(x)14x-→00x解 由 limg(x)= lime，sinu在u=e连续→Xx8所以 lim sin1+x-→0X= sine

6 意义 lim 与f 例 解 可交换次序; x x x       + → 1 求 lim sin 1 由 = → lim g(x) x sinu 所以  =      + → x x x 1 lim sin 1 在u = e连 续, sin               + → x x x 1 lim 1 2. 变量代换 u = g( x) 的理论依据. g(x) x x x       + → 1 lim 1 = e, x→ sin lim x x x       + → 1 lim sin 1 1. 在定理的条件下, 定理3 lim ( ) , 0 0 g x u x x = → 若 ( ) , 函数 f u 在点u0 连续 lim [ ( )] 0 f g x x→x 则有 ( ) u0 = f = f [ ( )]. lim 0 g x x→x = sine

In(1 + x)例 求 limx-→0xIn(1 + x)解 这里In(1+x)*在x=0不连续，x1但lim(1+x)x =e，Inu在u=e连续所以x-01In(1 + x)lim= lim ln(1 + x)* = In[ lim(1 + x)*]x-→0xx-→0x-0= Ine = 1.定理3 若 lim g(x)=uo，函数f(u)在点u,连续x-→xo则有lim fIg(x)l = f(uo) = f[ lim g(x) lx-→xox-→xo

7 例 . ln( 1 ) lim0 x x x + → 求 = 1 . x x x 1 0 lim ( 1 + ) → = ln e 解 x ln( 1 + x ) 这里 x x 1 = ln( 1 + ) 在 x = 0 不连续 , 但 lim ( 1 ) , 1 0 x e x x + = → ln u 在 u = e连续, 所以 x x x ln( 1 ) lim0 + → x x x 1 0 = lim ln( 1 + ) → = ln[ ] 定理 3 lim ( ) , 0 0 g x u x x = → 若 ( ) , 函数 f u 在点u0 连续 lim [ ( )] 0 f g x x→x 则有 ( ) u 0 = f = f [ ( )]. lim0 g x x→x

x>0.e-1~x例 求 limx-→0x则解 令e*-1=t,x = In(1+t),当x→0时,t→0.t1OlimlimJim1三t-→0t-→0 In(1+ t)x-→0xIn(1 + t)t2同理可得limInax-0x8

8 例 . 1 lim 0 x e x x − → 求 = 1. 0 lim → = t 解 e 1 t, x 令 − = 则 x = ln(1+ t), 当x →0时, t t t 1 0 ln(1 ) 1 lim + = → 同理可得 a x a x x ln 1 lim 0 = − → t →0. x e x x 1 lim 0 − → t ln(1+ t) e x x x → 0, −1 ~

定理4设函数 y=f[g(x))是由函数 y= f(u)与函数u=g(x)复合而成,U(xo)C Dfog.若函数u= g(x)在x = xo 连续,且g(xo)=uo，而函数y=f(u)在u=uo连续，则复合而成y=flg(x))在点x= xo也连续.例 y= sin=是由连续函数xy = sinu 在(-oo, +o)内连续复合而成1在(-80, 0)U(0, +8)内连续u=x因此 y=sin=在(-00, 0)U(0,+8)内连续x

9 定理4 设函数 是由函数 与函数 复合而成, ( ) . U x0  Df g 若函数 连续, 而函数 连续, 则复合而成 也连续. 是由连续函数 因此 复合而成 例 x y 1 = sin y = sinu 在(−, +)内连续 x u 1 = 在(−, 0)(0, +)内连续 x y 1 = sin 在(−, 0)(0, +)内连续.    y = f[g(x)] 0 u = g(x)在x = x 0 y = f (u)在u = u u = g(x) ( ) , g x0 u0 且 = y = f[g(x)] x x0 在点 = y = f (u)

初等函数的连续性三、(1）三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的；(2) 指数函数y=a (a>0,a ≠1)在(-o0,+o)内单调且连续；(3) 对数函数 y=log.x (a>0, ≠1) 在(0,+oo)内单调且连续：(4) 幕函数y= x"= auloga*y=a", u=μlogax在(0,+)内连续；讨论u不同值基本初等函数在定义域内是连续的10A

10 (1) 三角函数及反三角函数 y = a (a  0, a  1) x 在(−,+)内 y = log x (a  0, a  1) a 在(0,+)内 (2) (3) 是连续的; 三、初等函数的连续性 单调且连续; 指数函数 对数函数 单调且连续;  y = x x a a  log = , u y = a u =  loga x 在(0, +)内  (均在其定义域内连续 ) (4) 幂函数 连续; 讨论 不同值. 在它们的定义域内 基本初等函数在定义域内是连续的