《线性代数》课程教学资源（教案讲义）第一章 行列式

第一章行列式 教学目的通过本章的讲授，使学生知道全排列及其逆序数、对换的概念，理解 排列奇偶性的作用，掌握n阶行列式的定义；熟练掌握行列式的性质， 能运用性质简化行列式的计算；掌握余子式、代数余子式的概念及行 列式按一行（列）展开定理；了解克莱姆法则，会用该法则解含个方 程的n元线性方程组 教学重点：行列式的概念、性质、展开定理及应用，莱姆法则及应用 教学难点：行列式的计算、莱姆法则的应用 教学内容： §1行列式的定义 一、全排列及其逆序数 由n个不同元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（简称排列）。特别地，从1到n 这n个自然数，规定由小到大的自然排列为标准次序. 定义1在n阶排列P,P2.P。中，当其中某两个元素的先后次序与排列的标准次序不 同时，就说有一个逆序：这个”阶排列的所有逆序的总数叫做它的逆序数，记作 t(pp.Pn) 若(P,P2.Pn)是奇数，则称PP2.Pn是一个奇排列：反之，称之为偶排列. 显然，对于确定的n∈N·,共有n个不同的n阶排列. 计算排列的逆序数的方法：不妨设从1到n这n个自然数的一个排列为pPP, 考虑元素P,（i=1,2,n),如果比P,大且排在P,前面的元素有1，个，就说元素p,的逆 序数为(，那么所有元素的逆序数的总和 =4+,-2 即为这个排列P,P2.Pn的逆序数。 例1求排列45312的逆序数。 解在排列45312中，由于

1 第一章 行列式 教学目的 通过本章的讲授，使学生知道全排列及其逆序数、对换的概念，理解 排列奇偶性的作用，掌握 n 阶行列式的定义；熟练掌握行列式的性质， 能运用性质简化行列式的计算；掌握余子式、代数余子式的概念及行 列式按一行(列)展开定理；了解克莱姆法则，会用该法则解含 n 个方 程的 n 元线性方程组 教学重点：行列式的概念、性质、展开定理及应用，莱姆法则及应用 教学难点：行列式的计算、莱姆法则的应用 教学内容： §1 行列式的定义 一、全排列及其逆序数 由 n 个不同元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列（简称排列）。特别地，从 1 到 n 这 n 个自然数，规定由小到大的自然排列为标准次序． 定义 1 在 n 阶排列 p1 p2  pn 中，当其中某两个元素的先后次序与排列的标准次序不 同时，就说有一个逆序；这个 n 阶排列的所有逆序的总数叫做它的逆序数，记作  ( p1 p2  pn )． 若( p1 p2  pn )是奇数，则称 p1 p2  pn 是一个奇排列；反之，称之为偶排列． 显然，对于确定的 n∈N*，共有 n!个不同的 n 阶排列． 计算排列的逆序数的方法：不妨设从 1 到 n 这 n 个自然数的一个排列为 p1 p2  pn ， 考虑元素 i p （ i = 1,2,  , n ），如果比 i p 大且排在 i p 前面的元素有 i t 个，就说元素 i p 的逆 序数为 i t ，那么所有元素的逆序数的总和 = = + + + = n i n i t t t t t 1 1 2  即为这个排列 p1 p2  pn 的逆序数。 例 1 求排列 45312 的逆序数。 解 在排列 45312 中，由于

4排在首位，逆序数为0： 5的前面比5大的数有0个，其逆序数为0： 3的前面比3大的数有2个，其逆序数为2： 1的前面比1大的数有3个，其逆序数为3： 2的前面比2大的数有3个，其逆序数为3。 故排列45312的逆序数为8. 例2求排列n-1)n-2).321的逆序数。 解该排列的逆序数为 un-1.)=21=2n-0 例3求排列13.(2n-1)24.(2m)的逆序数，并判断其奇偶性。 解该排列的逆序数为 1=m-1+(-2)++1+0=m- 2 所以 当n=4k时，则r(mn-1.)=2k(4k-1),nn-1.21是偶排列： 当n=4k+1时，则r(nn-1.)=2k4k+1),nn-1.21是偶排列： 当n=4k+2时，则τ(nn-1.)=(2k+1(4k+),故它是奇排列： 当n=4k+3时，则t(mn-1.=(2k+14k+3引，故它是奇排列 二、对换 在一个排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，得到了另一个排列，这样的变 换叫做一个对换。将相邻两个元素对调，称为相邻对换 定理1排列经过1次对换改变排列的奇偶性. 证明先证相邻对换的情形，设给定的排列为 经人k对换变为 .k 这里“.”表示那些不动的数码。于是，若少，则 2

2 4 排在首位，逆序数为 0； 5 的前面比５大的数有０个，其逆序数为０； 3 的前面比 3 大的数有 2 个，其逆序数为 2； 1 的前面比 1 大的数有 3 个，其逆序数为 3； 2 的前面比 2 大的数有 3 个，其逆序数为 3。 故排列 45312 的逆序数为８． 例 2 求排列 n n n ( 1)( 2) 321 − − 的逆序数。 解 该排列的逆序数为 1 1 1 ( 1 1) ( 1) 2 n i  n n i n n − = − = = −  例３ 求排列 13(2n −1) 2 4(2n) 的逆序数，并判断其奇偶性。 解 该排列的逆序数为 2 ( 1) ( 1) ( 2) 1 0 − = − + − + + + = n n t n n  所以 当 n=4k 时，则 (n n −1 1) = 2k(4k −1),n n −1  21 是偶排列； 当 n = 4k + 1 时，则 (n n −11) = 2k(4k +1),n n −1  21 是偶排列； 当 n = 4k + 2 时，则 (n n −1 1) = (2k +1)(4k +1), 故它是奇排列； 当 n = 4k + 3 时，则 (n n −11) = (2k +1)(4k + 3), 故它是奇排列． 二、对换 在一个排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，得到了另一个排列，这样的变 换叫做一个对换．将相邻两个元素对调，称为相邻对换。 定理 1 排列经过 1 次对换改变排列的奇偶性． 证明 先证相邻对换的情形，设给定的排列为  jk 经 j、k 对换变为 kj 这里“.”表示那些不动的数码．于是，若 k＜j，则  (kj) =  ( jk) −1 ; 若 k＞j，则

t.)=t(.k+ 因此，这种特殊情况下定理1成立. 一般情形，设排列为 .i2.i,k.g (1) 经人k对换变为 .kii2.i,j. (2) (1)变为(2，可先对1)施行相邻位置情形的j与1，对换，了与对换，了与1，对换，j与k 对换，共1+1次变为 2., (3) 再对(3)施行相邻位置情形的k与，对换，k与对换，.，k与对换，共1次便变为2).由 上所证，由于每次这样对换都改变排列的奇偶性，因而2+1次对换将()变为2)，它们有互 异的奇偶性。定理成立。 推论奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶数排列变成标准排列的对换次数为 偶数。 定理2当n>1时，在所有n阶排列中，奇排列与偶排列各有m/2个， 证设奇挂列个数为k,偶排列个数为m,则k+m=,又调换每个奇排列的前两个数码， 则由定理1知道它们都变为偶排列，且易见不同的奇排列变为不同的偶排列.因此，k≤m.同 理可证m≤k,故k=m=/2. 现在，我们来阐述 三、n阶行列式的定义 1.二阶行列式： a11a12 =aa22-a1z421 a21a2 2.三阶行列式： 21a2a2=a1a22a33+a12a23a31+a3a21a2 -a1142a32-a122143-a13a22a31 它们有以下特点： 1)展开式有l项(=2,3)，每项都是n个元素相乘，这n个元素既位于不同的行又位于 不同的列：

3  (kj) =  ( jk) +1 因此，这种特殊情况下定理 1 成立． 一般情形，设排列为  ji1 i2 i t k, (1) 经 j、k 对换变为 ki1 i2 i t j． (2) (1)变为(2)，可先对(1)施行相邻位置情形的 j 与 i 1 对换，j 与 2 i 对换，.，j 与 t i 对换，j 与 k 对换，共 t + 1 次变为 i1 i2 i t kj, (3) 再对(3)施行相邻位置情形的 k 与 t i 对换，k 与 t−1 i 对换，.，k 与 1 i 对换，共 t 次便变为(2)．由 上所证，由于每次这样对换都改变排列的奇偶性，因而 2t+1 次对换将(1)变为(2)，它们有互 异的奇偶性．定理成立． 推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶数排列变成标准排列的对换次数为 偶数。 定理 2 当 n＞1 时，在所有 n 阶排列中，奇排列与偶排列各有 n!/ 2 个． 证 设奇排列个数为 k，偶排列个数为 m，则 k + m = n!．又调换每个奇排列的前两个数码， 则由定理 1 知道它们都变为偶排列，且易见不同的奇排列变为不同的偶排列．因此，k≤m．同 理可证 m≤k，故 k = m = n!/ 2 ． 现在，我们来阐述 三、 n 阶行列式的定义 1．二阶行列式： 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = − 2．三阶行列式： 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31 它们有以下特点： 1)展开式有 n!项(n=2，3)，每项都是 n 个元素相乘，这 n 个元素既位于不同的行又位于 不同的列；

2)每项带有正号或负号，当这n个元素所在行按自然顺序排定后，若相应的列号的排列 是偶排列时，该项取正号：反之，即其列号的排列是奇排列时，该项取负号， 定义2设有n2个数a(亿，j=1,2.,m),令 aa2.am (4) aan2.anm 这里∑对所有n阶排列户P2.P求和，共有N项。叫做一个n阶行列式，记作， PP:"P 也记作det4.n阶行列式中共有l项求和. 特别地，当1时，一阶行列式就是a=a,注意不要与绝对值符号相混淆： 当2,3时，与上面的展开式一致. a1ma1.an a.din-1 diun 例4计算D,= an.an 解D,中只有一项a,42.anm不显含0，且列标构成排列的逆序数为 x2.m）=0,故D=(-l)'a1a2am=a1a22.am D2中只有一项aa1.an1不显含0，且列标构成排列的逆序数为 m2)=1+2++(a-=- 2 故D,=-raa4=-)号学。 na2.anl 结论：以主对角线为分界线的上（下）三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积。 以副对角线为分界线的上（下）三角行列式的值等于副对角线上元素的乘积，并冠 以符号←)学 特例： -

4 2)每项带有正号或负号，当这 n 个元素所在行按自然顺序排定后，若相应的列号的排列 是偶排列时，该项取正号；反之，即其列号的排列是奇排列时，该项取负号． 定义 2 设有 2 n 个数 a (i, j 1,2, ,n) ij =  ，令 1 2 1 2 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 ( 1) n n n n t p p np p p p n n nn a a a a a a a a a a a a =  − (4) 这里 1 2 n p p p  对所有 n 阶排列 1 2 n p p p 求和，共有 n! 项． 叫做一个 n 阶行列式，记作|A|， 也记作 detA．n 阶行列式中共有 n! 项求和． 特别地，当 n=1 时，一阶行列式就是 a = a ，注意不要与绝对值符号相混淆； 当 n=2，3 时，与上面的展开式一致． 例４ 计算 nn n n a a a a a a D     22 2 11 12 1 1 = , 1 21 2, 1 11 1, 1 1 2 n n n n a a a a a a D     − − = . 解 D1 中只有一项 a11a22 ann 不显含 0, 且列标构成排列的逆序数为  (12n) = 0 , 故 D1 a11a22 ann a11a22 ann = (−1) =  ． D2 中只有一项 a1n a2,n−1 an1 不显含 0, 且列标构成排列的逆序数为 2 ( 1) ( 21) 1 2 ( 1) − = + + + − = n n  n  n 故 1 2, 1 1 2 ( 1) 2 1 2, 1 1 ( 1) ( 1) n n n n n D a n a n an a a − a − = − − = −  ． 结论：以主对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积． 以副对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于副对角线上元素的乘积, 并冠 以符号 2 ( 1) ( 1) − − n n ． 特例： n n         1 2 2 1 = ， n n n n         1 2 2 ( 1) 2 1 ( 1) − = −

an a2.am .a2 (1) an2.anm 证由定义知 D= (2) 先证(1)中的项都是(2)中的项：交换乘积次序可得 (d=(dipdspd (3) ①t(g42.9n)=偶数 919.9。→12.n偶数次对换 12.n→PP2.P。偶数次对换 所以(PP2.Pn)=偶数 ②t(q929n)=奇数 942.9。→12n奇数次对换 12.n→PP2P奇数次对换 所以(PP2.P)=奇数 因此(-1)"9.)=(-1)nP四p,由(3)可得 (-l）a1a2an=(-）dpd2pap. 同理可证(2)中的项都是(1)中的项. §2行列式的性质 . / 性质1设D=: :,Dr=: :,则DT=D.即行列式与其转置 行列式相等。 证令b,=an亿，j=12,.,n川)，则

5 定理３ q q q n q q q q q q n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a D          1 2 ( ) ( ) 1 2 21 22 2 11 12 1 1 2 1 2 1 2 = = (−1)  (１) 证 由定义知 n n n p p np p p p p p p D a a a   1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) = (−1)  (２) 先证(１)中的项都是(２)中的项：交换乘积次序可得 n n n n p p np q q q q q q n q q q a a a a a a   1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( ) ( 1) ( 1)   − = − (3) ①  (q1q2 qn ) = 偶数 q1q2 qn →12n 偶数次对换 12n → p1 p2 pn 偶数次对换 所以  ( p1 p2 pn ) = 偶数 ②  (q1q2 qn ) = 奇数 q1q2 qn →12n 奇数次对换 12n → p1 p2 pn 奇数次对换 所以  ( p1 p2 pn ) = 奇数 因此 ( ) ( ) 1 2 1 2 ( 1) ( 1) q q qn p p pn   − = − , 由(3)可得 n n n n p p np p p p q q q n q q q a a a a a a   1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( ) ( 1) ( 1)   − = − 同理可证(２)中的项都是(１)中的项． §2 行列式的性质 性质 1 设 n nn n a a a a D     1 11 1 = , n nn n a a a a D     1 11 1 Τ = , 则 D = D Τ ．即行列式与其转置 行列式相等。 证 令 b a (i, j 1,2, ,n) ij = ji =  , 则

.bni D=: =∑(-1)bb2-bm. t=t(pP2.pn) bn.bm 该性质表明，行列式的“行”与“列”是平等的，对行（列成立的结论，对列（行）也 相应成立。因此，下面仅就行列式行的情形加以论述。 因此，对于行成立的性质对于列也成立。 . . . . .小 a.am 性质2设1<，D= . D=. 则D,=-D.即对换行列 .am a.an 式中任意两行的位置，行列式反号. 证bk=aA,bt=au(k=l2,.,川） 1≠i,广bk=ak(k=l,2,.,m b.bn D=.=∑(-l)(.bn.btt.p,.p, . =∑（-ly'(-l.bm,.bn (.p,.p, =(-1∑(-ly(.ap.am. 9,=P,9=p 1≠：g=p =-∑-y(.a。.ag=-D 推论1D对调两列得D2→D2=-D, 证因为D对调两列得D,相当于D'对调两行得D 所以D,=D=-D=-D 推论2D中某两行（列元素对应相等→D=0 证因为对调此两行（列后，D的形式不变 6

6 n nn n b b b b D     1 11 1 Τ = n n p p np p p p b b b  1 2 1 2 1 2 ( ) = (−1)  ( ) p1 p2 pn  =  ap ap ap n D p p p n n =  −  =  1 2 ( ) 1 2 1 2 ( 1)  该性质表明，行列式的“行”与“列”是平等的，对行(列)成立的结论，对列(行)也 相应成立．因此，下面仅就行列式行的情形加以论述． 因此，对于行成立的性质对于列也成立。 性质 2 设            j jn i in a a a a i j D 1 1  , = ,            i in j jn a a a a D 1 1 1 = , 则 D1 = −D ．即对换行列 式中任意两行的位置，行列式反号． 证 b a , b a (k 1,2, ,n) ik = jk jk = ik =  l i, j : b a (k 1,2, ,n)  lk = lk =  ( 1) ( ) 1 1 1               i j i p j p j j n i i n b b b b b b D = =  −  (  ) pi p j  ( 1) ( 1)(  ) j i jp ip t =  − − b b (  ) p j pi t ( 1) ( 1) (  ) j i ip jp t = −  − a a l l i j j i l i j q p q p q p  = = = , : , ( 1) ( 1) (  ) i j iq jq t = −  − a a = −D (  ) qi qj t 推论 1 D 对调两列得 D2  D2 = −D． 证 因为 D 对调两列得 D2 , 相当于 T D 对调两行得 T D2 所以 D = D = −D = −D T T 2 2 推论 2 D 中某两行(列)元素对应相等  D = 0． 证 因为对调此两行(列)后, D 的形式不变

所以D=-D三D=0 123 例如，对于任意的a,b,c,都有abc=0 123 a.aim .ka y.a 性质3ka. =kD, kD.即行列式的某一行 . a.kag.an anl.an (列)中所有的元素都乘以同一个数k,等于用数k乘此行列式（第i行乘以k,记作，×k) 证左端=∑(-l)'[an.(kan.am.】 t(p.p.p) =k∑(-)r(an.an.am.)=kD 推论1行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。 即行列式某行元素的公因子可以提取到行列式号外。 推论2D中某行（列）元素全为0→D=0. 性质4若行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。 性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和（例如第i列），则 |a.aaa1.ana.am . . a.a =bbn+ca.cm . 证左端=∑-l)'(an.ag.am,） t(p.pp) =∑-lr(an.bn.an.)+∑-lyr(an.cn.am =右端(1H右端(2) ” ai.an a+a.am+a 性质6 0≠) an.am . >

7 所以 D = −D  D = 0 例如, 对于任意的 a,b, c , 都有 0 1 2 3 1 2 3 a b c = ． 性质 3 kD a a ka ka a a n nn i in n =          1 1 11 1 , kD a k a a a k a a n nj nn j n =        1 11 1 1 ．即行列式的某一行 （列）中所有的元素都乘以同一个数 k，等于用数 k 乘此行列式（第 i 行乘以 k，记作 r i  k ） 证 左端 ( 1) [ ( ) ] 1 1 i npn = − a p  kaip  a  ( ) p1 pi pn  k a a a kD i npn = (−1) ( p ip ) =  1 1   推论１ 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。 即行列式某行元素的公因子可以提取到行列式号外． 推论２ D 中某行(列)元素全为 0  D = 0． 性质 4 若行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。 性质５ 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和（例如 第 i 列）， 则 n nn i in n a a a a a a          1 1 11 1 n nn i in n a a b b a a          1 1 11 1 = n nn i in n a a c c a a          1 1 11 1 + 证 左端 ( 1) ( ) 1 1 i npn = − a p  aip  a  ( ) p1 pi pn  ( 1) ( ) 1 1 i npn = − a p bip a  ( 1) ( ) 1 1 i npn + − a p cip a  = 右端(1)+ 右端(2) 性质６            j jn i in a a a a 1 1 ( ) 1 1 1 i j a a a a a a j j n i j i n j n r kr i j  + + = +           

1-53-3 201-1 例1计算D=51-12 413-1 016 0 02 1-53-3 111 -5)00-23 =-5 00-3-1 000-u aia-e。 11. =[x+(n-)a 0x-a.0 00.x- =[x+(n-1)a(x-a" 123. 8

8 例１ 计算 4 1 3 1 3 1 1 2 2 0 1 1 1 5 3 3 − − − − − D = . 解 0 21 9 11 0 16 10 11 0 10 5 5 1 5 3 3 − − − − − D = 0 1 1 1 0 0 2 3 0 2 1 1 1 5 3 3 5 − − − − = 0 2 1 1 0 0 2 3 0 1 1 1 1 5 3 3 ( 5) − − − − = − 0 0 3 1 0 0 2 3 0 1 1 1 1 5 3 3 ( 5) − − − − − = − 2 11 0 0 0 0 0 2 3 0 1 1 1 1 5 3 3 ( 5) − − − − = − = −55 例２ 计算 a a x a x a x a a Dn       = ． 解 a a x a x a D x n a n r r r n        1 1 1 [ ( 1) ] ( ) 1 2 = + − + + + x a x a x n a − − = + −       0 0 0 0 1 1 1 [ ( 1) ] 1 [ ( 1) ]( ) − = + − − n x n a x a 例３ 计算 0 0 1 3 0 1 0 2 1 0 0 1 2 3         n n Dn = ．

上23. 010.0 解 D.b01 0=1-(22+.+n2) :；； 000.1 abb.b 例4计算n阶矩阵A的行列式： A bbb.a 解注意到此矩阵各行元素的和均为a+(n一1)b,因此将它的第2、3、.、n列分别 加到第1列，并提取此结果第1列的公因子a+(n一1)b,再作行消法变换得 n b b. -ww-ig 1 b (a+-1b6 1bb. 660ab =(a+(n-I)bX(a-b)"-1 上述各例的计算有相同之处：利用行列式的性质把原来的行列式化简为三角形行列式， 进而得到所求结果。这种计算行列式的方法叫做三角化法。 §3行列式按行（列）展开 定义在n阶行列式中，将元素a,所在的行与列上的元素划去，其余元素按照原来的 相对位置构成的n-1阶行列式，称为元素a的余子式，记作M,·若记A,=(-M,则 称A为元素a,的代数余子式。 例如，在三阶行列式 as as an 中，元素a如的余子式和代数余子式分别为 4g=(-123AM3=-M8 a1a2.aum

9 解 1 (2 ) 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 2 3 2 2 2, , 1 n t n D j c j c j n n = = − + + − =           例 4 计算 n 阶矩阵 A 的行列式：               = b b b a b b a b b a b b a b b b A         ． 解 注意到此矩阵各行元素的和均为 a+(n－1)b，因此将它的第 2、3、.、n 列分别 加到第 1 列，并提取此结果第 1 列的公因子 a+(n－1)b，再作行消法变换得 a b a b a b b b b a n b b b a b a b a b b b b b A a n b − − − = + − = + −                  0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ( ( 1) ) 1 1 1 1 | | ( ( 1) ) 1 ( ( 1) )( ) − = + − − n a n b a b ． 上述各例的计算有相同之处：利用行列式的性质把原来的行列式化简为三角形行列式， 进而得到所求结果．这种计算行列式的方法叫做三角化法． §３ 行列式按行（列）展开 定义 在 n 阶行列式中，将元素 ij a 所在的行与列上的元素划去，其余元素按照原来的 相对位置构成的 n −1 阶行列式，称为元素 ij a 的余子式，记作 M ij . 若记 ij i j Aij M + = (−1) ，则 称 Aij 为元素 ij a 的代数余子式。 例如，在三阶行列式 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a D = 中，元素 a23 的余子式和代数余子式分别为 31 32 11 12 23 a a a a M = 23 23 2 3 23 A = (−1) M = −M + 定理 n n nn n n a a a a a a a a a D       1 2 21 22 2 11 12 1 =

=a1A1+a2A2+.+amAn(t=1,2,.,n) =avAy+azA+.+an Au (j=12.m) 证（1)先证4，位于第1行第1列的情形，此时 a0. . dat duz .dm 又由于4=(-)M=M,于是D=a4 (2)一般情形，此时 为了利用前面的结果，将D的行列作如下调换：先将D的第1行依次与第-1行、第i-2 行、.、第1行对调，这样，a,就调到原来，的位置上，调换的次数为1-1：再将第j列 依次与第j-1列、第j-2列、第1列对调，这样，a。就调到原米的位置上，调换的 次数为j-1.总之，经过1+1-2次调换，将a,调到左上角所得到的新行列式 D=(-)D,而元素a,在D,中的余子式仍然是a,在D中的余子式M,·由于ag位于 D,的左上角，于是利用前面的结果，应有 D=aM 所以 D=(-1)"D =(-1)"ia,M,=a4, d (3)D= aa+0++00+a2+.+0.0+0++a 0

10 = ai1Ai1 + ai2Ai2 ++ ainAin (i = 1,2,  ,n) = a1 j A1 j + a2 j A2 j ++ anj Anj ( j = 1,2,  ,n) 证 （１）先证 ij a 位于第 1 行第 1 列的情形，此时 n n nn n a a a a a a a D        1 2 21 22 2 11 0 = = a11M11 又由于 11 11 1 1 11 A = (−1) M = M + ，于是 D = a11A11 . （２）一般情形，此时 n nj nn ij j n a a a a a a a D             1 11 1 1 = 0 0 为了利用前面的结果，将 D 的行列作如下调换：先将 D 的第 i 行依次与第 i −1 行、第 i − 2 行、.、第 1 行对调，这样， aij 就调到原来 j a1 的位置上，调换的次数为 i −1 ；再将第 j 列 依次与第 j −1 列、第 j − 2 列、.、第 1 列对调，这样， ij a 就调到原来 11 a 的位置上，调换的 次数为 j −1 . 总之，经过 i + j − 2 次调换，将 ij a 调到左上角所得到的新行列式 D D i j 2 1 ( 1) + − = − ，而元素 ij a 在 D1 中的余子式仍然是 ij a 在 D 中的余子式 M ij . 由于 aij 位于 D1 的左上角，于是利用前面的结果，应有 D1 = aij Mij 所以 ij ij ij ij i j i j D = − D = − a M = a A + + ( 1) ( 1) 1 （３） n n nn i i in n a a a a a a a a a D               1 2 1 2 11 12 1 = + 0 + + 0 0 + + + 0 0 + 0 + +