《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第一章 行列式

第一章行列式 二（三)阶行列式 二 排列与逆序 行列式概念的形成（定义） 三 n阶行列式的定义 四.行列式的性质 行列式的基本性质及计算方法 五. 行列式按一行（列）展开 六.Cramer法则 利用行列式求解线性方程组

第一章 行列式 一. 二（三）阶行列式 二. 排列与逆序 三. n 阶行列式的定义 四. 行列式的性质 五. 行列式按一行（列）展开 六. Cramer 法则   行列式概念的形成 行列式的基本性质及计算方法 （定义） 利用行列式求解线性方程组 }

本章主要讨论以上三个问题。 首先来看行列式概念的形成 问题的提出： 求解二、三元线性方程组 ↓引出 二阶、三阶行列式

本章主要讨论以上三个问题。 首先来看行列式概念的形成 问题的提出： 求解二、三元线性方程组  二阶、三阶行列式 引出

一.二阶与三阶行列式 1.二阶行列式 二元线性方程组： a火1+412X2=b 02X1+022X2=b2 由消元法，得 an021火1+4z42nX2=b,41 a1m421X1+a1m02X2=a1b2 得 (0m02-42021)X2=4b2-b,021 同理，得 (a1m422-a12021)x1=b,022-a12b2 于是，当422一4,21≠0时，方程组有唯一解

一. 二阶与三阶行列式 1. 二阶行列式 二元线性方程组：    + = + = 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 由消元法，得    + = + = 11 21 1 11 22 2 11 2 11 21 1 12 21 2 1 21 a a x a a x a b a a x a a x b a 得 11 22 12 21 2 11 2 1 21 (a a − a a )x = a b − b a 同理，得 11 22 12 21 1 1 22 12 2 (a a − a a )x = b a − a b 于是，当 a11a22 − a12a21  0 时，方程组有唯一解

b,2-41,b2 1= 七，=b-b41 01m02-012021 01m02-0121 为便于记忆，引进记号 D= =41m022-012021 称记号 D= 为二阶行列式 021 其中，数4(i=1,2j=1,2) 称为元素 i为行标，表明元素位于第i行 j为列标，表明元素位于第j列

11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a b a a b x − − = 11 22 12 21 11 2 1 21 2 a a a a a b b a x − − = 为便于记忆，引进记号 21 22 11 12 a a a a D = = a11a22 − a12a21 称记号 21 22 11 12 a a a a D = 为二阶行列式 其中 ，数 a (i = 1,2; j = 1,2) ij 称为元素 i 为行标，表明元素位于第 i 行 j 为列标，表明元素位于第 j 列

注：（①）二阶行列式 算出来是一个数。 021 L22 (2)记忆方法：对角线法则 主对角线上两元素之积一副对角线上两元素之积 因此，上述二元线性方程组的解可表示为 008& 七=a,6-ba1=1a:6 0102-0z421D421b

注： (1) 二阶行列式 算出来是一个数。 21 22 11 12 a a a a (2) 记忆方法：对角线法则 主对角线上两元素之积 － 副对角线上两元素之积 因此，上述二元线性方程组的解可表示为 11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a b a a b x − − = 2 22 1 1 12 b a b a D = 11 22 12 21 11 2 1 21 2 a a a a a b b a x − − = 21 2 1 11 1 a b a b D =

综上，令D= 012 L21 a2 b D b, D2= 02 则， D D x D 称D为方程组的系数行列式

综上，令 21 22 11 12 a a a a D = 2 22 1 12 1 b a b a D = 21 2 11 1 2 a b a b D = 则， D D x 1 1 = D D x 2 2 = 称 D 为方程组的系数行列式

例1：解方程组 3x,-2x2=12 2x,+x2=1 解：因为D= 3-2 =3-(-4)=7≠0 21 12-2 D,- =12-(-2)=14 11 312 =3-24=-21 21 14 所以X,= D 2,68=-3 7 7

例1： 解方程组    + = − = 2 1 3 2 12 1 2 1 2 x x x x 解： 因为 2 1 3 − 2 D = = 3 − (−4) = 7  0 12 ( 2) 14 1 1 12 2 1 = − − = − D = 3 24 21 2 1 3 12 D2 = = − = − 所以 2 , 7 1 14 1 = = = D D x 3 7 2 21 2 = − − = = D D x

2.三阶行列式 4X1+2x2+3X3=b, 类似地，为讨论三元线性方程组1水，+02zX,+ax=b, 03x1+4322+433X3=b 引进记号 L11 3 D=021 L22 L23 01m02L33+412023031+013021L32 L31 32033 -L13L22L31-12L21L33-L1L23032 称之为三阶行列式 其中，数(i=1,2,3;j=1,2,3)称为元素 i为行标，j为列标

2. 三阶行列式 类似地，为讨论三元线性方程组      + + = + + = + + = 31 1 32 2 33 3 3 21 1 22 2 23 3 2 11 1 12 2 13 3 1 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 引进记号 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a D = = 13 22 31 12 21 33 11 23 32 11 22 33 12 23 31 13 21 32 a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − + + 称之为三阶行列式 其中 ，数 a (i = 1,2,3; j = 1,2,3) ij 称为元素 i 为行标， j 为列标

注： (1)三阶行列式算出来也是一个数。 (2)记忆方法：对角线法则 例： 2 0 1 -4 -1 -1 8 3 =2×(-4)×3+0×(-1)×(-1)+1×1×8 -1×(-4)×(-1)-0×1×3-2×(-1)×8 =-24+8-4+16=-4

注： (1) 三阶行列式算出来也是一个数。 (2) 记忆方法：对角线法则 例： 1 8 3 1 4 1 2 0 1 − − − 24 8 4 16 4 1 ( 4) ( 1) 0 1 3 2 ( 1) 8 2 ( 4) 3 0 ( 1) ( 1) 1 1 8 = − + − + = − −  −  − −   −  −  =  −  +  −  − +  

对于三元线性方程组，若其系数行列式 L12 L13 可以验证，方程组有唯一解， D=21 L22 L23 ≠0 D: 431 L32 03 D b L12 013 其中，D,=b, A2 L23 b, 32 L33 ar b L13 L L12 b D2= b 3 D3= a21 an b, 031 L31 An b

对于三元线性方程组，若其系数行列式 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a D =  0 可以验证，方程组有唯一解， D D x 1 1 = D D x 2 2 = D D x 3 3 = 其中， 3 32 33 2 22 23 1 12 13 1 b a a b a a b a a D = 31 3 33 21 2 23 11 1 13 2 a b a a b a a b a D = 31 32 3 21 22 2 11 12 1 3 a a b a a b a a b D =