《线性代数》课程授课教案（讲义）第二章 矩阵及其运算

第二章矩阵及其运算 第一节矩阵 、矩阵的引入 1.某企业生产4种产品，各种产品的季度产量（单位：万吨）如下表： 立 量 1 2 3 4 用 95 85 85 9075 95 95 85708080 这个表中数据排成4行4列的产量阵列 此阵列具体描述了这家企业各种产品各季度的产量，同时也揭示了产量随季节变 化规律及年产量等情况 ax+a2x2+.+anxn=b a2+a22x2+.+a2mxn=b2 2.线性方程组 anx+an2x2+.+=b [其中系数a(,j=1,2,.,n小，常数项b(=1,2,.,n] aa2.amb 的解取决于 a1a2.a b 线性方程组的系数与常数项按原位置可排为上面的一张表，对线性方程组的研究 可转化为对这张表的研究。 二、矩阵的定义 由m×n个数a,(=L,2.m,广=L,2.n)排成的m行n列的数表 a1la12.a1n a21an.a2m

第二章 矩阵及其运算 第一节 矩阵 一、矩阵的引入 1. 某企业生产 4 种产品，各种产品的季度产量（单位：万吨）如下表： 1 2 3 4 1 80 55 75 80 2 95 70 85 85 3 90 75 95 95 4 85 70 80 80 这个表中数据排成 4 行 4 列的产量阵列 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ 85 70 80 80 90 75 95 95 95 70 85 85 80 55 75 80 此阵列具体描述了这家企业各种产品各季度的产量，同时也揭示了产量随季节变 化规律及年产量等情况. 2.线性方程组 ï ï î ï ï í ì + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b L L L 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 . ， [其中系数a (i j n) ij , =1,2,L, ，常数项b (i n) i =1,2,L, ] 的解取决于 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é n n nn n n n a a a b a a a b a a a b L L L L L L L L 1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 线性方程组的系数与常数项按原位置可排为上面的一张表，对线性方程组的研究 可转化为对这张表的研究。 二、矩阵的定义 由m´n个数a (i 1,2 m, j 1,2 n) ij = L = L 排成的m 行n列的数表 m m mn n n a a a a a a a a a L M M M L L 1 2 21 22 2 11 12 1 产 品 产 量 季 度

a1a2. 称为m×n矩阵简称m×n矩阵，记作A 简记为A=Ann=(au)n=(a,这m×n个数称为A的元素，简称为元 注：行列式与矩阵的区别与联系： 1.一个是算式，一个是数表： 2.一个行列数相同，一 行列数可不同： 3.对n阶方阵可求它的行列式，记为：4 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵」 例如：「。03引是一个2×4实矩阵 -9643 是一个3×1实矩阵 [1362i 222是一个3×3复矩阵 (4)是一个1×1实矩阵 222 三、几种特殊矩阵 (1)行数与列数都等于n的矩阵A,称为n阶方阵也可记作A 「1362 例如： 是一个3阶方阵 [222 (2)只有一行的矩阵A=(a,a2,.,an）称为行矩阵（或行向量） 「a 只有一列的矩阵B 称为列矩阵（或列向量） [00 (3)形如 030 0 的矩阵称为对角矩阵（简称对角阵） 00 000」 记作A=diag(久，2，.，入n)

称为m´n矩阵.简称m´n矩阵. 记作 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = m m mn n n a a a a a a a a a A L L L L L L L 1 2 21 22 2 11 12 1 简记为 ( ) ( ) A = Am´n = aij m´n = aij ，这 m ´ n个数称为 A的元素，简称为元 注：行列式与矩阵的区别与联系： 1. 一个是算式 ，一个是数表； 2. 一个行列数相同 , 一个行列数可不同； 3. 对 n 阶方阵可求它的行列式，记为: A . 元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵. 例如： ú û ù ê ë é -9 6 4 3 1 0 3 5 是一个 2´ 4实矩阵。 ú ú ú û ù ê ê ê ë é 4 2 1 是一个3´1实矩阵 ú ú ú û ù ê ê ê ë é 2 2 2 2 2 2 13 6 2i 是一个3´3 复矩阵 (4) 是一个1´1实矩阵 三、几种特殊矩阵 （1）行数与列数都等于n的矩阵 A，称为 n阶方阵.也可记作 An 例如： ú ú ú û ù ê ê ê ë é 2 2 2 2 2 2 13 6 2i 是一个 3 阶方阵. (2) 只有一行的矩阵 ( ) n A a , a , ,a = 1 2 L 称为行矩阵(或行向量). 只有一列的矩阵 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = n a a a B M 2 1 称为列矩阵（或列向量） （3）形如 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é ln l l 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 O 的矩阵称为对角矩阵（简称对角阵）. 记作 ( ) n A = diag l1 ,l2 ,L,l

(4)元素全为零的矩阵称为零矩阵，1零矩阵记作0mxn或O 注意不同阶数的零矩阵是不相等的 例如P001007 。0o00 ≠00 「10.01 01.0 (5)方阵E=E。= 称为单位矩阵（或单位阵） . 00.1 四、同型矩阵与矩阵相等的概念 1两个矩阵的行数相等，列数相等时，称为同型矩阵 [121[143] 例如56与84为同型矩阵 3739 2.两个矩阵A=(a)与B=(,)为同型矩阵，并且对应元素相等，即 ay=b,G=1,2.m,j=1,2.m)） 则称矩阵A与B相等，记作A=B 第二节矩阵的运算 一、矩阵的加法 设 aa.am （bb2.bn 4=(a)= B=()= b21b2.b2 （aa.am bab2.bm 是两个s×n矩阵，则矩阵 a1+baa+b2.an+bn C=(cu)=(ay+b)= a21+b21a2+b2.a2m+b2 a1+b1a2+b2.am+bm 称为A和B的和，记为C=A+B

（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，m´n 零矩阵记作 m n o ´ 或 o . 注意 不同阶数的零矩阵是不相等的. 例如 ú ú ú û ù ê ê ê ë é ¹ú û ù ê ë é 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (5)方阵 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 L L L L L L L E En 称为单位矩阵（或单位阵）. 四、同型矩阵与矩阵相等的概念 1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵. 例如 ú ú ú û ù ê ê ê ë é ú ú ú û ù ê ê ê ë é 3 9 8 4 14 3 3 7 5 6 1 2 与 为同型矩阵 2.两个矩阵 ( ) ij A = a 与 ( ) ij B = b 为同型矩阵,并且对应元素相等,即 a b (i 1,2 m, j 1,2 n) ij = ij = L = L 则称矩阵 A 与 B 相等,记作 A=B. 第二节 矩阵的运算 一、矩阵的加法 设 ( ) ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ = = s s sn n n sn ij a a a a a a a a a A a L M M M L L 1 2 21 22 2 11 12 1 , ( ) ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ = = s s sn n n sn ij b b b b b b b b b B b L M M M L L 1 2 21 22 2 11 12 1 是两个 s ´ n矩阵，则矩阵 ( ) ( ) ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ + + + + + + + + + = = + = s s s s sn sn n n n n sn ij ij sn ij a b a b a b a b a b a b a b a b a b C c a b L M M M L L 1 1 2 2 21 21 22 22 2 2 11 11 12 12 1 1 称为 A和 B 的和，记为C = A + B

说明：矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加.当然，相加的矩阵必须要有相同的 行数和列数.矩阵的加法其实就是它们对应元素的加法，也就是数的加法，所以 矩阵的加法满足： 结合律：A+(B+C)=(A+B)+C: 交换律：A+B=B+A. -au -an2.-ai 矩阵 -a21-a2.-a2 称为矩阵A的负矩阵，记为-A·显然有 （-a-aa.-am A+(-A)=O 矩阵的减法定义为：A-B=A+(一B) 二、数与矩阵相乘 （kan kay2.kan 定义：矩阵 ka2ikaa.ka2m 称为矩阵A=(a)与数k的数量乘积，记 ka1ka2.kan 为4或Ak.换句话说，用数k乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘上k 数与矩阵相乘满足以下的运算规律： 1、(k+0A=k4+A, 2、k(A+B)=k4+kB, 3、k(A)=(A, 4、1A=A, 5、k(AB)=(kA)B=A(kB) 实例：三个煤矿民，县，县到四个城市4,4,44的距离如下表所示： 、市 分 B 21 102a33034

说明：矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加.当然，相加的矩阵必须要有相同的 行数和列数.矩阵的加法其实就是它们对应元素的加法，也就是数的加法，所以 矩阵的加法满足： 结合律： A + (B + C) = (A + B) + C ; 交换律： A + B = B + A . 矩 阵 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ - - - - - - - - - s s sn n n a a a a a a a a a L M M M L L 1 2 21 22 2 11 12 1 称 为矩阵 A 的 负 矩阵， 记 为 - A . 显 然 有 A + (-A) = O 矩阵的减法定义为： A - B = A + (-B) 二、数与矩阵相乘 定义：矩阵 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ s s sn n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka L M M M L L 1 2 21 22 2 11 12 1 称为矩阵 ( ) sn ij A = a 与数 k 的数量乘积，记 为kA 或 Ak .换句话说，用数k 乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘上 k . 数与矩阵相乘满足以下的运算规律： 1、( ) k + l A = + kA lA, 2、k(A + B) = kA + kB , 3、k(lA) = (kl)A, 4、1A = A , 5、k(AB) = (kA)B = A(kB) . 实例：三个煤矿 1 2 3 B ,B , B 到四个城市 1 2 3 4 A , A , A , A 的距离如下表所示： A1 A2 A3 A4 B1 a11 a12 a13 a14 B2 21 a 22 a 23 a 24 a B3 31 a a32 a33 a34 城 市 距 离 /km 煤 矿

货物每吨公里运费为d元，求各煤矿到各城市每吨煤的运费。 解：若记 （a31a32a3a34 则各煤矿到个城市每吨煤的运费可表示为 矩阵相加与数乘矩阵结合起来，统称为矩阵的线性运算 (k0.0 矩阵kE 0k.0 通常称为数量矩阵， 00 如果A是一n×n矩阵，那么有k=(E)A=A(kE): 这个式子说明，数量矩阵与所有的n×n矩阵作乘法是可交换的.可以证明：如果 一个n级矩阵与所有n级矩阵作乘法是可交换的，那么这个矩阵一定是数量矩阵 再有 E+=(+)E, (kE)(IE)=()E 三、矩阵与矩阵相乘 实例：某两种合金均含有某三种金属，其成分如下表： 金 A C 比 甲 0.80.10.1 乙 0.40.30.3 现有甲种合金30吨，乙种合金20吨，求三种金属的数量. 解：两种合金的成分构成矩阵记为 B-888g8 甲乙两种合金的重量构成的矩阵记为 A=(3020

货物每吨公里运费为d 元，求各煤矿到各城市每吨煤的运费. 解：若记 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a A 则各煤矿到个城市每吨煤的运费可表示为 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 da da da da da da da da da da da da dA 矩阵相加与数乘矩阵结合起来，统称为矩阵的线性运算. 矩阵 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ = k k k kE L M M M L L 0 0 0 0 0 0 通常称为数量矩阵. 如果 A 是一n ´ n矩阵，那么有kA = (kE)A = A(kE) . 这个式子说明，数量矩阵与所有的n ´ n矩阵作乘法是可交换的.可以证明：如果 一个n 级矩阵与所有n 级矩阵作乘法是可交换的，那么这个矩阵一定是数量矩阵. 再有 kE + lE = (k + l)E , (kE)(lE) = (kl)E . 三、矩阵与矩阵相乘 实例：某两种合金均含有某三种金属，其成分如下表： A B C 甲 0.8 0.1 0.1 乙 0.4 0.3 0.3 现有甲种合金 30 吨，乙种合金 20 吨，求三种金属的数量. 解：两种合金的成分构成矩阵记为 ÷ ø ö ç è æ = 0.4 0.3 0.3 0.8 0.1 0.1 B 甲乙两种合金的重量构成的矩阵记为 A=(30 20) 金 属 含 量 合 比 金

则三种金属的数量为 AB=3299) 定义：设A=(aa)m,B=b),那么矩阵C=6)n, (其中9，=a6,+a:b,++a,=∑0.b,）称为矩阵A与B的乘积，记为 C=AB. 由矩阵乘法的定义可以看出，矩阵A与B的乘积C的第ī行第j列的元素等 于第一个矩阵A的第í行与第二个矩阵B的第j列的对应元素的乘积的和.当然， 在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等 注意：一个行矩阵与一个列矩阵的乘积是一个数. 注意：一个列矩阵与一个行矩阵的乘积是一个矩阵. 「410] 时1期陈-日日5s临银 2102 134 解因为A是2×4矩阵，B是4×3矩阵，A的列数等于B的行数，所以矩阵A与B 可以相乘，其乘积AB=C是一个2×3矩阵，按公式有 「410] c=B=[}03-113E9-2- 2102201991 134 -3-6 解按公式有 a[ [6]88 在例1中A是2×4矩阵，B是4×3矩阵，乘积AB有意义而BA却没有意义.由此

则三种金属的数量为 AB = (32 9 9) . 定义：设 ( ) ( ) ik sn kj nm A = a , B = b ,那么矩阵 ( ) ij sm C = c , （其中 å= = + + + = n k ij i j i j in nj ik kj c a b a b a b a b 1 1 1 2 2 L ）称为矩阵 A 与 B 的乘积，记为 C = AB . 由矩阵乘法的定义可以看出，矩阵 A与 B 的乘积C 的第i 行第 j 列的元素等 于第一个矩阵 A的第i 行与第二个矩阵 B 的第 j 列的对应元素的乘积的和.当然， 在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等. 注意：一个行矩阵与一个列矩阵的乘积是一个数. 注意：一个列矩阵与一个行矩阵的乘积是一个矩阵. 例 1 求矩阵 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - = ú û ù ê ë é - = 1 3 4 2 0 1 1 1 3 4 1 0 2 1 0 2 1 0 3 1 A 与B 的乘积. 解 因为 A 是2´4矩阵，B 是 4´3矩阵，A 的列数等于 B 的行数，所以矩阵 A 与 B 可以相乘，其乘积 AB=C 是一个2´3矩阵，按公式有 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - ú û ù ê ë é - = = 1 3 4 2 0 1 1 1 3 4 1 0 2 1 0 2 1 0 3 1 C AB = ú û ù ê ë é - - 9 9 11 9 2 1 例 2 求矩阵 ú û ù ê ë é - - = ú û ù ê ë é - - = 3 6 2 4 B 1 2 2 4 A 与 的乘积 AB 及 BA. 解 按公式有 ú û ù ê ë é- - =ú û ù ê ë é - - ú û ù ê ë é - - = 8 16 16 32 3 6 2 4 1 2 2 4 AB ú û ù ê ë é =ú û ù ê ë é - - ú û ù ê ë é - - = 0 0 0 0 1 2 2 4 3 6 2 4 BA 在例 1 中 A 是2´4矩阵，B 是4´3矩阵，乘积 AB 有意义而 BA 却没有意义.由此

可知，在矩阵的乘法中必须注意矩阵相乘的顺序.AB是A左乘B(B被A左乘) 的乘积，BA是A右乘B的乘积，AB有意义时BA可以没意义. 在例2中AB存在而BA也存在但AB≠BA.以及BA=O但是A≠O且B≠O,所以有 BA=O推不出A=0或B=0 矩阵乘法的性质：A=a,)n,B=ba)n,C=(cu) 则：(1)结合律(AB)C=A(BC): (2)分配律A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA (3)2(AB)=(A)B=A(2B): (4)AE=EA=A; 定义：主对角线上的元素全是1，其余元素全是0的n×n矩阵 10.0 01.0 (00.1 称为n级单位矩阵，记为E。，或者在不致引起含混的时候简单写为E.显然有 AuE Am,E.AmAm 我们还可以定义矩阵的方幂.设A是一个n×n矩阵，定义4=AA. 并且A严=A,=A,(A)=A.换句话说，A就是k个A连乘.当然只能 对行数与列数相等的矩阵来定义. 四、矩阵的转置 定义：把一矩阵A的行列互换，所得到的矩阵称为A的转置，记为 设4=22) 14) (458 ,所谓的转置就是指矩阵A「 25 28

可知，在矩阵的乘法中必须注意矩阵相乘的顺序.AB 是 A 左乘 B（B 被 A 左乘） 的乘积，BA 是 A 右乘 B 的乘积，AB 有意义时 BA 可以没意义. 在例 2 中 AB 存在而 BA 也存在但 AB ¹ BA.以及 BA=O 但是 A ¹ O且B ¹ O ,所以有 BA = O推不出 A=O 或 B=0. 矩阵乘法的性质： ( ) ( ) ( ) jk nm kl mr sn ij A = a , B = b , C = c 则：（1）结合律 ; ( AB)C = A(BC) （2）分配律 , A(B + C) = + AB AC (B + C) A = + BA CA; （3）l ( AB) = = (l l A) B A B ( ); （4） AE = = EA A; 定义：主对角线上的元素全是 1，其余元素全是 0 的n ´ n矩阵 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 L M M M L L 称为 n 级单位矩阵，记为 En ，或者在不致引起含混的时候简单写为 E .显然有 AsnEn = Asn , Es Asn = Asn . 我们还可以定义矩阵的方幂.设 A是一个n´ n矩阵，定义 k k A = A A A L 14243 并且 , m k m k A A A + = 1 A A = ， k l kl (A ) = A .换句话说， k A 就是 k 个 A连乘.当然只能 对行数与列数相等的矩阵来定义. 四、矩阵的转置 定义：把一矩阵 A的行列互换，所得到的矩阵称为 A的转置，记为 T A . 设 122 458 A æ ö = ç ÷ è ø ，所谓的转置就是指矩阵 1 4 2 5 2 8 T A æ ö ç ÷ = ç ÷ ç ÷ è ø

显然，s×n矩阵的转置是n×s矩阵， 矩阵的转置满足以下的运算规律： 1、(4)Y=A 2、(a4)=1A 3、(A+B)J=+B 4、(AB'=BA (2-10 例3：设A=0-12),B=113求(ABy,BA 421 五、方阵的行列式 定义：由阶方阵A的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式，记作4或 detA. 运算规律： ()A=4:(2)aA=4(3)4B=4 注：虽然AB≠BA,但AB=BA 六、对称阵和伴随阵 对称阵：设A为n阶方阵，如果满足A=4，即 ag=a(，j=1,2.,n 那么A称为对称矩阵，简称对称阵 注意：对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。 结论：如果A=-A,则矩阵A称为反对称阵 伴随矩阵：行列式4的各个元素的代数余子式A,所构成的如下矩阵 A:4.A AA.Am 称为矩阵A的伴随矩阵

显然， s ´ n矩阵的转置是n ´ s矩阵. 矩阵的转置满足以下的运算规律： １、( ) T T A A = 2、( ) T T l l A A = 3、 ( ) T T T A + B = + A B 4、( ) T T T AB = B A . 例 3：设 ( ) ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - = - = 4 2 1 1 1 3 2 1 0 A 1 1 2 , B 求( )T AB ， T T B A . 五、方阵的行列式 定义：由 n 阶方阵 A的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作 A 或 det . A . 2 3 : 6 8 A æ ö = ç ÷ è ø 例 ， 2 3 6 8 则 A = = -2. 运算规律： (1 ; ) T A A = (2 ; ) n l l A A = (3) AB = A B 注：虽然 AB ¹ BA,但 AB = BA . 六、对称阵和伴随阵 对称阵: 设 A为n 阶方阵，如果满足 T A A = ，即 ( , 1, 2, , ) ij ji a = = a i j n L 那么 A 称为对称矩阵，简称对称阵. 注意：对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等. 结论：如果 TA A = - ，则矩阵 A称为反对称阵. 伴随矩阵：行列式 A 的各个元素的代数余子式 Aij 所构成的如下矩阵 11 21 1 12 22 2 1 2 n n n n nn A A A A A A A A A A * æ ö ç ÷ = è ø L L L LLL L 称为矩阵 A 的伴随矩阵

性质AM=术A=AE §2.3逆矩阵 一、逆矩阵的定义及性质 1、定义：对于n阶方阵A,如果有一个n阶方阵B,使得AB=BA=E,我们称 n阶方阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，简称逆阵，记作A',这里E 是n阶单位矩阵 路度4》-（班份 AB=BA=E, 故矩阵B是矩阵A的逆矩阵 注：（①）逆矩阵的唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的. (2)并不是所有方阵都可逆。 例：设A》则该矩阵不可逆 5则，若可遮，则存在可逆矩阵B(d使得加M比，于是金 11ab)_a+cb+d-10 11八cd(a+cb+d(01 则有a+c=1且a+c-0,矛盾，故矩阵A不可逆 问题：在什么条件下矩阵A是可逆的？若可逆，怎样求？下面的定理给出 我们答案。 2、性质 A 定理1：矩阵A可遮的充要条件是4：0，且有，其中士为A的件随阵 证明：若矩阵A可逆，即有使得AA=AA=E,两边取行列式有 A -r4=,故40.由=44=4E,得有有4=E,因此 证毕

性质 AA A A A E. * * = = §2.3 逆矩阵 一、逆矩阵的定义及性质 1、定义：对于n 阶方阵 A，如果有一个n 阶方阵 B ，使得 AB = BA = E ，我们称 n 阶方阵 A是可逆的，并把矩阵 B 称为 A的逆矩阵，简称逆阵，记作 1 A - ，这里 E 是n 阶单位矩阵. 例：设 故矩阵 B 是矩阵 A 的逆矩阵. 注：(1)逆矩阵的唯一性：若 A是可逆矩阵，则 A的逆矩阵是唯一的. (2)并不是所有方阵都可逆. 例：设 1 1 1 1 A æ ö = ç ÷ è ø ,则该矩阵不可逆. 否则，若可逆，则存在可逆矩阵 a b B c d æ ö = ç ÷ è ø ,使得 AB=BA=E，于是有 则有 a+c=1 且 a+c=0，矛盾，故矩阵 A 不可逆. 问题： 在什么条件下矩阵 A 是可逆的？若可逆，怎样求 1 A - ？下面的定理给出 我们答案. 2、性质 定理 1：矩阵 A可逆的充要条件是 A ¹ 0，且 * 1 A A A - = ，其中 * A 为 A的伴随阵. 证 明 ： 若 矩阵 A 可 逆 ，即 有 1 A - 使 得 1 1 AA A A E - - = = , 两 边取 行 列 式 有 1 1 AA A A E 1 - - = = = ，故 A ¹ 0.由 * * AA = = A A A E ，得 * * A A A A E A A = = ,因此 有 * 1 A A A - = . 证毕. 1 1 1 2 1 2 , , 1 1 1 2 1 2 A B æ - ö æ ö = = ç ÷ ç ÷ è ø è ø - AB = = BA E, 1 1 1 0 1 1 0 1 a b a c b d c d a c b d æ öæ ö æ + + ö æ ö = = ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ è øè ø è + + ø è ø

推论：若AB=E(或BA=E),则B=A或A=B 证明：两边取行列式有AB=4B=E=1,4≠0故A存在。 于是，B=EB=(A)B=A(AB)=AE=A 定义：若矩阵A的行列式4≠0，则称A为非奇异矩阵，否则，称A为奇异矩阵 结论：可逆矩阵就是非奇异矩阵。 二、逆矩阵的运算规律 可逆矩阵的运算规律： (1)若A可逆，则4亦可逆，且()=A （2)若4可逆，数2≠0则何递，且(A=f (3)若A,B为同阶方阵且均可逆，则AB亦可逆，且(AB)=B'A (4)若A可逆，则4'亦可逆，且（)=( (5)若A可逆，则A°=E,A=() (6)AA=A,（A)=A,A=4,=4,A=4A) (7)()=4A.(k)=k-4=k4.(AB)'=B4 下面要解决的问题是：如果A可逆，怎样求A？ 三、逆矩阵的求法 1、待定系数法： 例1：设A=2) (-10}来的逆矩降 解：设矩库B一(（仁）见无库A的道矩库则有，于是有 6e-6-6故-0 2、公试法(r-白

推论：若 AB E = （或 BA E = ），则 1 B A- = 或 1 A B- = . 证明：两边取行列式有 AB = A B E = =1, A ¹ 0故 1 A - 存在. 于是， 1 1 1 1 B EB (A A)B A ( ) AB A E A - - - - = = = = = . 定义：若矩阵 A 的行列式 A ¹ 0，则称 A 为非奇异矩阵，否则，称 A 为奇异矩阵. 结论：可逆矩阵就是非奇异矩阵. 二、逆矩阵的运算规律 可逆矩阵的运算规律： （1） ( ) 1 1 1 A , A , . A A - - - 若 可逆 则 亦可逆 且 = （2）若A A 可逆,数l l ¹ 0, , 则 可逆 且 ( ) 1 1 1 l A A . l - - = （3）若A, B为同阶方阵且均可逆, , 则AB亦可逆 且 1 1 1 ( ) AB B A - - - = （4） ( ) ( ) 1 1 , , . T T T A A A A - - 若 可逆 则 亦可逆 且 = （5）若 A可逆，则 0 A E = ， 1 ( ) k k A A - - = （6） A A A l m l m+ = ， ( A A ) m l lm = ， 1 A A A * - = ， n 1 A A - * = ， ( ) 1 A A A - * = （7）( ) n 2 A A A * - * = ， ( ) n n 1 1 1 kA k A A k A * - - - * = = ， ( AB) B A * * * = 下面要解决的问题是：如果 A可逆，怎样求 -1 A ？ 三、逆矩阵的求法 1、待定系数法： 例 1：设 2 1 , 1 0 A æ ö = ç ÷ è ø - 求A的逆矩阵. 解：设矩阵 a b B c d æ ö = ç ÷ è ø 是矩阵 A 的逆矩阵.则有 AB=BA=E，于是有 2 1 1 0 1 0 0 1 a b c d æ öæ ö æ ö = ç ÷ç ÷ ç ÷ è- øè ø è ø ，即 2 2 1 0 0 1 a c b d a b æ + + ö æ ö = ç ÷ ç ÷ è - - ø è ø ，故 -1 A 0 1 1 2 æ ö - = ç ÷ è ø . 2、公式法：( * 1 A A A - = )