《常微分方程》课程教学资源（讲义）第六章 定性和稳定性理论简介（1/3）

第六章定性和稳定性理论简介 本章主要介绍两部分内容，第一节给出零解的稳定性定义：第二节主要涉及二维方程组 的平衡点分类，稳定性以及极限环论引入 三节给出Liapunov函数的构造及其应用 s6.1零解稳定性定义 考虑方程组（或称系统） x'=化，)(6.1) 这里1∈R,∈GR”,(,)连续且保证方程组(6.)的解由初值所唯一确定，设 fu,0)=0 V1∈R,即下=0为方程组(6.1)的零解，通常称它为(6.1)的奇点。 进一步，当我们研究方程组(6.1)的特解=()邻近解的性态时，通常先做变换 =元-()把方程组(6.1)化为等价方程组 寸=g(4)(6.2) 这里u,)-fu,)-0=了u,+)-fu,),其中显然有 g(1,)=01∈R, 这样就把方程组(6.1)的特解=(1)变为方程组(62)的零解，于是问题化为讨论方程组(6.2) 零解的邻近解的性质。所以以后仅需讨论零解的性态即可。 例如，考虑一阶非线性方程 =2x-x (6.3) dt 方程有两个常数解x=0和x=2,对于x=2,可令y=x-2,这样有 少=女=-刘=-6+2沙 (6.4), dtdt 于是把方程(6.3)的特解x=2变为方程(6.4)的零解。 在前面假设下，给出方程组(6.1)的零解x=0在Liapunov意义下的稳定性。 定义1若e>0,总存在6=e,6)>0,使当下0，使当<可。时，满足 (1。)=。的解p(1,lo,x。)对一切1≥1。有， 11

111 第六章 定性和稳定性理论简介 本章主要介绍两部分内容，第一节给出零解的稳定性定义；第二节主要涉及二维方程组 的平衡点分类，稳定性以及极限环论引入；第三节给出 Liapunov 函数的构造及其应用。 §6.1 零解稳定性定义 考虑方程组（或称系统） x f t,( x) v v v ′ = (6.1) 这里 t R, x G R , f t,( x) n v v v ∀ ∈ ∀ ∈ ⊆ 连续且保证方程组(6.1)的解由初值所唯一确定，设 f t )0,( = 0 ∀t ∈ R v v v ，即 0 v v x = 为方程组(6.1)的零解，通常称它为(6.1)的奇点。 进一步，当我们研究方程组(6.1)的特解 y ϕ(t) v v = 邻近解的性态时，通常先做变换 y x ϕ(t) v v v = − 把方程组(6.1)化为等价方程组 y g t,( y) v v v ′ = (6.2) 这里 g t,( y) f t,( x) ϕ (t) f t,( y ϕ(t)) f t,( ϕ(t)) v v v v v v v v v v = − ′ = + − ，其中显然有 g t y t R ( , ) 0 = ∀ ∈ v v v ， 这样就把方程组(6.1)的特解 y ϕ(t) v v = 变为方程组(6.2)的零解，于是问题化为讨论方程组(6.2) 零解的邻近解的性质。所以以后仅需讨论零解的性态即可。 例如，考虑一阶非线性方程 2 2x x dt dx = − (6.3) 方程有两个常数解 x = 0和 x = 2 ，对于 x = 2 ，可令 y = x − 2 ，这样有 x( ) ( ) x y y dt dx dt dy = = 2 − = − + 2 (6.4)， 于是把方程(6.3)的特解 x = 2 变为方程(6.4)的零解。 在前面假设下，给出方程组(6.1)的零解 0 v v x = 在 Liapunov 意义下的稳定性。 定义 1 若∀ε > 0，总存在 ( , ) 0 δ = δ ε t 0 > ，使当 x0 ，使当 0 < δ 0 x v 时，满足 0 0 x(t ) x v v = 的解 ,( , ) 0 0 ϕ tt x 对一切 0 t ≥ t 有

lim1,o,)=0 则称零解元=0渐近稳定。 注】当方程组(6.1)的零解为渐近稳定时，总存在一个包含x=0的区域D。,使得当 无。∈D时，满足()=元，的解g1,lo,xo)均有lim1,lo,)=0,此时称区域D。为(6.1) 零解的吸引域。特别若D。=R”,即当6。=+∞时，则称(6.1)的零解为全局渐近稳定。 定义3若方程组(6.1)的零解不是稳定的，则称零解是不稳定的。即3E。>0,不管8>0怎 样小，或满足1。有 %1,o,无川=￡成立. 例1试判断一阶非线性方程 解x=0和x=2的稳定性 解对于解x=0,设满足初始条件x(O)=x。(x。≠0,2)的解为x=p1,0,x),用变 量分离方法可求得特解为 2 x= +2- x 取6=弓不论6>0多小，不结设0<6<1，取无-号显然满足K58,存在 1 38 侵-方6·圆t定义知零郴不定。 2 对于解x=2,令y=x-2,有 9=女=-0+2 d dt 则将原方程解x=2的稳定性问题转化为判断上方程的零解稳定性问题。设满足初始条件 0)=。≠0，-2)的解记为y=1,0,),用变量分离方法可求得此解为 2e 2'o y0.+2-%e0+2y2-y 计算有 112

112 lim ,( 0 , 0 ) 0 v v v = →+∞ tt x t ϕ 则称零解 0 v v x = 渐近稳定。 注 1 当方程组(6.1)的零解为渐近稳定时，总存在一个包含 0 v v x = 的区域 D0 ，使得当 0 D0 x ∈ v 时，满足 0 0 x(t ) x v v = 的解 ,( , ) 0 0 ϕ tt x 均有 lim ,( 0 , 0 ) 0 v v v = →+∞ tt x t ϕ ，此时称区域 D0 为(6.1) 零解的吸引域。特别若 n D0 = R ，即当δ 0 = +∞ 时，则称(6.1)的零解为全局渐近稳定。 定义 3 若方程组(6.1)的零解不是稳定的，则称零解是不稳定的。即 0 ∃ε 0 > ，不管δ > 0怎 样小， 0 x v ∃ 满足 x0 t 有 ϕ( ) = ε 1 0 0 t ,t , x v v 成立. 例 1 试判断一阶非线性方程 2 2x x dt dx = − 解 x = 0和 x = 2 的稳定性 解 对于解 x = 0，设满足初始条件 )0( ( )2,0 x = x0 x0 ≠ 的解为 ,0,( ) 0 x = ϕ t x ，用变 量分离方法可求得特解为 t e x x 2 0 1 2 1 2 −         + − = 。 取 , 2 1 ε 0 = ，不论δ > 0 多小，不妨设 0 − = − δ δ t ，有 0 2 0 2 1 1 2 1 2 1 = = ε         + − − t e x ，因此由定义 3 知零解不稳定。 对于解 x = 2 ，令 y = x − 2 ，有 = = −y( ) y + 2 dt dx dt dy ， 则将原方程解 x = 2 的稳定性问题转化为判断上方程的零解稳定性问题。设满足初始条件 )0( ( ,0 2) y = y0 y0 ≠ − 的解记为 ,0,( ) 0 y = ϕ t y ，用变量分离方法可求得此解为 ( ) ( ) 0 2 0 0 2 0 0 2 0 2 2 2 2 y e y y y y e y e y t t t + − = + − = − − 。 计算有

y0)= -4y0y。+2e24 (,+2e2-月 则当00:当-20>0. 因此e>0,38=min(2,e),当ya0儿U儿-22U0<x0<2. S62二维系统的定性分析 本节主要讨论相平面上两部分内容：一是线性系统奇点的分类：二是简介极限环的一些基 本理论。 考虑二维非自治系统 =P收 d (6.6) 少=Qx,y0 这里系统右端的函数均具有连续偏导数，这时方程组满足解的存在唯一性和连续性定理的条 件，其解在以1，x,y为坐标的空间R中确定了一条积分曲线。此时空间的每一点都有一条 且只有一条积分曲线经过。 定义4若把时间1当作参数，仅考虑x,y为坐标的平面R2,则称此平面为系统(6.6)的相平 面。同时称在相平面中系统的解所描术的曲线称为轨线 系统6.6的积分曲线与轨线是两个不同的定义， 不能混。尤其要注意系统在空间的 结1森秦肌有一条秘分安命过。而在相平面的一个可度有不积一条钱线 考虑二维自治系统 密e) (6.7刀 这里系统右端的函数均具有连续偏导数。 定X5布在==广满起代黄方强低别上。则张为方6 的奇点。 显监6的备点是其常数解，注盒到、成者有会一老 (P(x,y)≠0)，或者有 13

113 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 0 2 0 0 2 4 2 y e y y y e y t t t + − − + ′ = ， 则当0 1 0；当 2 0 − 0 ∀t > 0。 因 此 ∀ε > ,0 ∃δ = min( ,2 ε ) ， 当 y0 0}U{− 2 2}U{0 < x0 < 2}。 §6.2 二维系统的定性分析 本节主要讨论相平面上两部分内容：一是线性系统奇点的分类；二是简介极限环的一些基 本理论。 考虑二维非自治系统 ( ) ( )        = = Q x y t dt dy P x y t dt dx , , , , (6.6) 这里系统右端的函数均具有连续偏导数。这时方程组满足解的存在唯一性和连续性定理的条 件，其解在以t, x, y 为坐标的空间 3 R 中确定了一条积分曲线。此时空间的每一点都有一条 且只有一条积分曲线经过。 定义 4 若把时间t 当作参数，仅考虑 x, y 为坐标的平面 2 R ，则称此平面为系统(6.6)的相平 面。同时称在相平面中系统的解所描述的曲线称为轨线。 注 2 系统(6.6)的积分曲线与轨线是两个不同的定义，不能混淆。尤其要注意系统在空间的 每一点都有一条且只有一条积分曲线经过，而在相平面的一个点可能有不只一条轨线经过。 考虑二维自治系统 ( ) ( )        = = , , , , Q x y dt dy P x y dt dx (6.7) 这里系统右端的函数均具有连续偏导数。 定义 5 若存在 * * x = x , y = y ，满足代数方程组 ( ) ( )    = = , 0 , 0 Q x y P x y ，则称点( ) * * x , y 为方程组(6.7) 的奇点。 显然(6.7)的奇点是其常数解。注意到，或者有 ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 , , = P x y ≠ P x y Q x y dx dy ，或者有

dx p(x,y) dy o(x.y) (Q(x,y)≠0)，此时这两个方程的右端函数也具有连续偏导数，因而 满足解的存在唯一性和连续性定理的条件，于是在x,y平面上除奇点外每一点有且只有 dyor,y) dx p(x,y) (P川0)或在=Py dy o(x.y) (Qx,y)≠0)的一条积分曲线经 过，而这些积分曲线有一一对应方程组(6.7)在相平面上轨线，因此在相平面上除奇点外每一 点，都有一条且只有一条轨线经过。 1.二维线性系统奇点的分类 在高等代数理论中，任一个2阶矩阵，总可以经过实的相似变换化为矩阵B,B有以下 三种之一 66( 具体做法如下： E-小-22-6+a-的06e 记p=-(a+d),q=ad-bc,则此方程的两个根为 42=-p±D2-4g (6.9). 不4限人820，阳风贰2当 c0时P=2)期得p4P-仔刘月 若名辆个时起，国A-元：s:0r一乱产4c0t P-0:小计#将户4r-6当6=c=0味新名=a=d,此 若，2为两个共轭复根，记元2=a±所(B>0),当b≠0时，令

114 ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 , , = Q x y ≠ Q x y P x y dy dx ，此时这两个方程的右端函数也具有连续偏导数，因而 满足解的存在唯一性和连续性定理的条件，于是在 x, y 平面上除奇点外每一点有且只有 ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 , , = P x y ≠ P x y Q x y dx dy 或 ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 , , = Q x y ≠ Q x y P x y dy dx 的一条积分曲线经 过，而这些积分曲线有一一对应方程组(6.7)在相平面上轨线，因此在相平面上除奇点外每一 点，都有一条且只有一条轨线经过。 1．二维线性系统奇点的分类 在高等代数理论中，任一个 2 阶矩阵，总可以经过实的相似变换化为矩阵 B ， B 有以下 三种之一 (i)         µ λ 0 0 (ii)         λ λ 0 1 (iii)         − β α α β . 具体做法如下： 设         = c d a b A ，其特征方程为 det( ) ( ) ( ) 0 2 = − + + − = − − − − − = a d ad bc c d a b E A λ λ λ λ λ (6.8)， 记 p = −(a + d ), q = ad − bc ，则此方程的两个根为 2 4 2 2,1 − p ± p − q λ = (6.9)。 若 1 2 λ ,λ 为不同实根，即 λ1 ≠ λ2 ，当b ≠ 0 时，令 ( )         − − − − = 1 2 2 1 1 λ λ λ d d λ b b b P ；当 c ≠ 0 时，令 ( )         − − − − = c c a a c P 2 1 1 2 1 λ λ λ λ ，则计算得         = − 2 1 1 0 0 λ λ P AP 。 若 1 2 λ ,λ 为两个相同实根，即λ1 = λ2 ，当b ≠ 0时，令         − = 1 1 0 d λ1 b b P ；当c ≠ 0 时， 令         − = 0 1 1 c a c P λ ，计算得         = − 1 1 1 0 0 λ λ P AP 。当b = c = 0时，则有λ1 = a = d ，此 时 A 已经成为         1 1 0 0 λ λ 。 若 1 2 λ ,λ 为两个共轭复根，记 ( 0) λ 2,1 = α ± βi β > ，当b ≠ 0时，令

P动小c0,p减购 n- 下面计算相应的expB1 na-6小是-中3路 0数后} 回当86刘时，起a-后代-4+8，从面4=a4且 8-00 p-p4-) 因面em=(p4即，计算时=rQ0Q0-gE, e即=即4(e(6XmA}(A】 对于二维线性系统 y (6.10) =a+d 这里aAc,d为落数。且假设它们满足≠0 c d 115

115         − − = β β d α b b P 1 0 ；当c ≠ 0 时，令        − − = c a c P 0 1 β α β ，则计算得         − = β α α β PAP 。 下面计算相应的exp Bt . (i)当         = µ λ 0 0 B 时，这是一个对角矩阵，因此有         = t t e e Bt µ λ 0 0 exp ； (ii) 当         = λ λ 0 1 B 时 ， 记 1 1 0 0 0 1 0 0 B = A + B         +        = λ λ ， 从 而 A1B1 = B1A1 且         =         0 0 0 0 0 0 0 1 2 ，则 ( ) ( )          =              +         = ⋅ = 0 1 1 0 0 0 1 0 0 exp exp exp 2 2 2 1 1 t E t e e e Bt A t B t t t t ； (iii)当         − = β α α β B 时，记 1 1 0 0 0 0 B = A + B         − +        = β β α α ，可知有 A1B1 = B1A1 ， 因 而 Bt ( A t) ( B t) 1 1 exp = exp ⋅ exp ， 计 算 B E 2 2 2 1 1 0 0 1 1 0 0 1 β = −β         −         − = ，         − = − 1 0 0 1 3 3 B1 β ， B E 4 4 1 = β ，于是有 ( ) ( )         − =        −         = ⋅ = t t t t e t t t t e e Bt A t B t t t t β β β β β β β β α α α sin cos cos sin sin cos cos sin 0 0 exp exp 1 exp 1 。 对于二维线性系统        = + = + cx dy dt dy ax by dt dx (6.10) 这里a,b, c, d 为常数，且假设它们满足 ≠ 0 c d a b

白我可见.610有唯育点，它对应60的.取上述P,令同=P一气)有 (n) 月（的mn周 (6.11). 则称(6.11)为(6.10的标准形式。我们知道由于非奇异实线性变换不改变奇点的位置，也不会 引起相平面上轨线性态的改变，从而奇点的类型也保持不变。为了简单起见，下面仅就标准 形式的线性系统(6.1I)讨论奇点(0,0)的类型，至于一般线性系统在奇点的邻域内轨线分布的 图形也同时附于相应的图中，以供比较参考。 由于(6.10)的奇点(0,0)附近轨道的性态，本质上由其特征方程的两个特征值。因此我们就 根据和入，的不同情况分五种情形进行讨论 情形1具有同号相异实根 这时系统的标准形式为 dt (6.12) 留=初 5=ceM,n=cek (6.13) 这里C,C2为任意常数。 (1)假设入，2同为负实数，显然由通解公式(6.13)知系统的零解是渐近稳定的。同时在通 解公式中分别取G=C,=0,即可以看出5和刀的正负半轴均为轨道。下面观察其余轨道 (G≠0，C2≠0)的性态。 当头0时风时的减*-号装-资心里 1imk=0,于是轨线切5轴于原点：当9>0时，k>0,当9<0时，k<0。于是在 相平面当轨线从第一（或第三）象限出发时，则轨线一直在第一（或第三）象限且刀关于5 单调增加，但轨线运动方向按箭头指向原点。当轨线从第二（或第四）象限出发时，则轨线

116 由此可见，(6.10)有唯一奇点，它对应着(6.10)的零解。取上述 P ，令         =        − y x P 1 η ξ ，有         =        ′ ′ =        ′ ′ − − η ξ η ξ P AP y x P 1 1 (6.11), 则称(6.11)为(6.10)的标准形式。我们知道由于非奇异实线性变换不改变奇点的位置，也不会 引起相平面上轨线性态的改变，从而奇点的类型也保持不变。为了简单起见，下面仅就标准 形式的线性系统(6.11)讨论奇点( 0,0 )的类型，至于一般线性系统在奇点的邻域内轨线分布的 图形也同时附于相应的图中，以供比较参考。 由于(6.10)的奇点( 0,0 )附近轨道的性态，本质上由其特征方程的两个特征值。因此我们就 根据λ1和λ2 的不同情况分五种情形进行讨论。 情形 1 具有同号相异实根 这时系统的标准形式为        = = λ η η λ ξ ξ 2 1 dt d dt d (6.12) 所以通解为 ( ) 1 2 1 2 0 exp 0 t t e c Bt c e c λ λ ξ η        = =         v ，即 1 2 1 2 , t t c e c e λ λ ξ η = = (6.13) 这里 1 2 c c, 为任意常数。 （1）假设 1 2 λ ,λ 同为负实数，显然由通解公式(6.13)知系统的零解是渐近稳定的。同时在通 解公式中分别取 1 2 c c = = 0 ，即可以看出ξ 和η 的正负半轴均为轨道。下面观察其余轨道 (c c 1 2 ≠ ≠ 0, 0) 的性态。 当λ2 时， k > 0 ，当 2 1 0 c c < 时， k < 0。于是在 相平面当轨线从第一（或第三）象限出发时，则轨线一直在第一（或第三）象限且η 关于ξ 单调增加，但轨线运动方向按箭头指向原点。当轨线从第二（或第四）象限出发时，则轨线

一直在第二（或第四）象限且刀关于5单调减少，但轨线按箭头指向方向运动原点。 如图(6.1)a)所示。 G么ea-,显然 当入0时，k>0,当9<0时，k<0。于是 在相平面当轨线从第一（或第三）象限出发时，则轨线一直在第一（或第三）象限且n关于 5单调增加，但轨线运动方向按箭头指向原点。当轨线从第二（或第四）象限出发时，则轨 线一直在第二（或第四）象限且刀关于5单调减少，但轨线运动方向按箭头指向趋于原点。 如图(6.1b)所示。 1,<1<0 A<1<0 图(6.1)(a)） 图6.1b) 因此从图(6.1)中可以观察到，所有轨线趋于奇点(0,0)，且除两条轨线外，其他轨线都有 一条公共切线，即在奇点处有公共切线，称具有这样性态的奇点为结点。 正如上述，入，入均为负实数时，上述结点对应的零解为渐近稳定，此时结点为稳定结点。 (2)假设入，乙均为正实数，上述讨论仍然有效，只须将(1)中1→+∞改成1→-0，即图(6.1) 中轨线的走向箭头都改为相反的方向，这时结点对应的零解为不稳定，此时结点称为不稳定 结点。 情形2异号实根 这时方程的标准形式和通解仍然分别为6.12)和(6.13，不过这里元和元的符号相异。因 此5和刀的正负半轴仍然是四条轨线。 (1)当<0<乃时，取G≠0，C2=0,则位于5轴的两个轨线当1→+∞时趋于原点：取 117

117 一直在第二（或第四）象限且η 关于ξ 单调减少，但轨线按箭头指向方向运动原点。 如图(6.1)(a)所示。 当 λ1 时， k > 0 ，当 2 1 0 c c < 时， k < 0。于是 在相平面当轨线从第一（或第三）象限出发时，则轨线一直在第一（或第三）象限且η 关于 ξ 单调增加，但轨线运动方向按箭头指向原点。当轨线从第二（或第四）象限出发时，则轨 线一直在第二（或第四）象限且η 关于ξ 单调减少，但轨线运动方向按箭头指向趋于原点。 如图(6.1)(b)所示。 2 1 λ λ < < 0 1 2 λ λ < < 0 图(6.1)(a) 图(6.1)(b) 因此从图(6.1)中可以观察到，所有轨线趋于奇点( 0,0 )，且除两条轨线外，其他轨线都有 一条公共切线，即在奇点处有公共切线，称具有这样性态的奇点为结点。 正如上述， 1 2 λ ,λ 均为负实数时，上述结点对应的零解为渐近稳定，此时结点为稳定结点。 (2)假设 1 2 λ ,λ 均为正实数，上述讨论仍然有效，只须将(1)中t → +∞改成t → −∞，即图(6.1) 中轨线的走向箭头都改为相反的方向，这时结点对应的零解为不稳定，此时结点称为不稳定 结点。 情形 2 异号实根 这时方程的标准形式和通解仍然分别为(6.12)和(6.13)，不过这里λ1和λ2 的符号相异。因 此ξ 和η 的正负半轴仍然是四条轨线。 (1)当 λ1 < 0 < λ2 时，取 1 2 c c ≠ = 0, 0 ，则位于ξ 轴的两个轨线当t → +∞ 时趋于原点；取

G=0,G2≠0，则位于刀轴的两个轨线当1→+∞时远离原点；当G≠0，G,≠0时，有 m50=0,m0=0,在1时刻相点所在轨道切线的斜k=0凸-4 n()c2 有mk=0,且当三>0时，k0.类似情形1的分析，知轨线 2 2 如图(6.2a)所示 (2)当入<0<时，只须令1=-【，则可以变化为1)讨论，于是可知轨线形状与1)一样， 但运动方向箭头正好相反，如图(6.2b)所示。 从图(6.2)(a)和(6.2)()中观察到，轨线的分布类似于马鞍形，称具有这样性态的奇点为 鞍 1<0<1 2<0<1 图(6.2a) 图(6.2b) 情形3两个相同实根，记入=入=入，这时系统标准形式的右边系数矩阵可能有两种形 66 当亿小所发时微系诸 =5+ [d5 (6.14) 盟加 其通解为 ()当入<0时，显然零解是渐近稳定的。当C,=0时，可见的5正负半轴均为轨线；当

118 1 2 c c = ≠ 0, 0 ，则位于η 轴的两个轨线当 t → +∞ 时远离原点; 当 1 2 c c ≠ ≠ 0, 0 时，有 lim ( ) = ,0 lim ( ) = 0 →+∞ →+∞ t t t t ξ η ，在t 时刻相点所在轨道切线的斜率 1 1 ( ) 1 2 2 2 ( ) ( ) t c t k e t c ξ λ λ λ η λ − ′ = = ′ ， 有 lim = 0 →+∞ k t ，且当 1 2 0 c c > 时，k 0 。类似情形 1 的分析，知轨线 如图(6.2)(a)所示 (2)当λ2 < 0 < λ1 时，只须令t = −τ ，则可以变化为(1)讨论，于是可知轨线形状与(1)一样， 但运动方向箭头正好相反，如图(6.2)(b)所示。 从图(6.2) (a)和(6.2) (b) 中观察到，轨线的分布类似于马鞍形，称具有这样性态的奇点为 鞍点。 1 2 λ λ < < 0 2 1 λ λ < < 0 图(6.2)(a) 图(6.2)(b) 情形 3 两个相同实根，记λ = λ1 = λ2 ，这时系统标准形式的右边系数矩阵可能有两种形 式         λ λ 0 1 和         λ λ 0 0 。 (一)当         = λ λ 0 1 B 时，此时系统标准形式为        = = + λη η λξ η ξ dt d dt d (6.14) 其通解为 ( ) 1 1 2 2 2 1 exp 0 1 t t t c c c t Bt c e e c c λ λ ξ η        +     = = =            v . (1) 当λ < 0时，显然零解是渐近稳定的。当 2 c = 0时，可见的ξ 正负半轴均为轨线；当

GG,≠0时，可见5=-9≠0，即5化)=0，这表明轨线与刀轴相交，同时在1时刻轨线 的切线斜率为k= 有1imk=0。因此所有轨线在原点处都与5轴相 5c2+(c+c) 切而趋于原点，称具有这样性态的奇点为稳定的退化结点，如图(6.3))所示。 2)当>0时，同上讨论，只不过是随若时间1的增加而远离原点，系统的零解是不稳定 的，称具有这有 性态的奇点为不稳定的退化结点 如图(6.3b)所示 1.0时为不稳定的。 米 米 2>0 图(6.4) 119

119 1 2 c c⋅ ≠ 0 时，可见 1 1 2 0 c t c = − ≠ ，即ξ (t 1 ) = 0 ，这表明轨线与η 轴相交，同时在t 时刻轨线 的切线斜率为 2 2 1 2 ( ) c k c c c t η λ ξ λ ′ = =′ + + ，有 lim = 0 →±∞ k t 。因此所有轨线在原点处都与ξ 轴相 切而趋于原点，称具有这样性态的奇点为稳定的退化结点，如图(6.3)(a)所示。 (2) 当λ > 0 时，同上讨论，只不过是随着时间t 的增加而远离原点，系统的零解是不稳定 的，称具有这样性态的奇点为不稳定的退化结点，如图(6.3)(b)所示。 λ 0 图(6.3)(a) 图(6.3)(b) (二)当         = λ λ 0 0 B 时，此时有b = c = ,0 λ = a = d ，则系统(6.10)已经为标准形式        = = y dt dy x dt dx λ λ 此时通解为 ( ) 1 2 1 0 exp 0 1 t x c Bt c e y c λ          = =        v ，因而有 2 1 c y x c = ，于是轨线全为趋向（或 远离）奇点的半射线，如图(6.4)所示.同时轨线均沿着确定的方向趋于（或远离）奇点，且 不同轨线其方向也不同，称具有这样性态的奇点为奇结点，且当 λ 0 时为不稳定的。 λ 0 图(6.4)

情形4实部非零的共轭复根 此时系统的标准形式为 =ag+Bn d (6.15) =-5+ 其通解为 sin =e i+ci sin(B+) (-sin Bt cos Br八c2J i+c cos(Bt+o) 这里p=arctan。令5=rcos0,.7=rsin0,有 9 r=vci+ce" 0=-p 根据通解表达式知，轨线为一族绕原点旋转的对数螺旋线，当B>0时逆时针方向旋转，当 B0 时为不稳定的，如图6.5)所示。 a0 a>0.B>0 图6.5) 情形5实部为零的共轭复根 由情形4知，轨线是以原点为中心的园族，称具有这样性态的奇点为中心，此时对应的零 解为稳定但非渐近稳定的，如图(6.6)所示 a=0,B<0 图(6.6) 注3以上所有图中箭头均表示时间增加的方向。 综上讨论，可归纳成以下定理1： 120

120 情形 4 实部非零的共轭复根 此时系统的标准形式为        = − + = + βξ αη η αξ βη ξ dt d dt d (6.15) 其通解为 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 cos sin sin exp sin cos cos t t t t c c c t Bt c e e t t c c c t α α ξ β β β ϕ η β β β ϕ        + + = = =            −   + +   v ， 这里 1 2 arctan c c ϕ = 。令ξ = r cosθ,η = rsinθ ，有 2 2 1 2 t r c c e t α θ β ϕ  = +   = − − ， 根据通解表达式知，轨线为一族绕原点旋转的对数螺旋线，当 β > 0 时逆时针方向旋转，当 β 0 时为不稳定的，如图(6.5)所示。 α β 0, 0 α β > > 0, 0 图(6.5) 情形 5 实部为零的共轭复根 由情形 4 知，轨线是以原点为中心的园族，称具有这样性态的奇点为中心，此时对应的零 解为稳定但非渐近稳定的，如图(6.6)所示 α β = < 0, 0 图(6.6) 注 3 以上所有图中箭头均表示时间增加的方向。 综上讨论，可归纳成以下定理 1：