《常微分方程》课程教学资源（讲义）第四章 高阶微分方程（3/3）

S4.3高阶方程的降阶 一般的高阶微分方程没有普遍的解法，甚至对于二阶变系数齐线性方程也没有通用解 法。而处理这些问题基本原则是降阶。特别是对于二阶变系数齐线性方程，若能已知它的 个非零解，则可以用降阶法求得与它线性无关的另一个解且构成基本解组。进一步，利用常 数变易法就可以求出相应的二阶非齐线性方程的通解。本节主要讨论三类高阶方程的降阶方 法。 1.n阶方程中不显含x,x,.,x-的情形 方程形如 F亿，x),x)=04.28) 作新变量，令y=x,则上方程可以写成n一-k阶方程 F,y,y=0429) 此时，若能够解得方程(4.29)的通解y=,G,C-),于是再经过k次积分即可求得方 程(4.28)的通解 x=,G,.,Cn) 这里C,.,Cn为任意常数。 例12求方程4-1片=0的解 dis t dr 解方程不显含x,x,x”,x”,令y=x倒，则方程化为 0 这是关于少的价济线在方配，此方起的适解为了=。，即票=，于龙选续积分四改 得原方程的通解 x=c+c+c2+c+c3 这里C,.,C为任意常数。 2.方程中不显含自变量1的情形 方程形如 F(xx,.,x=0(4.30) 引入新的未知函数y和新的自变量x,令y=x',则有

76 §4.3 高阶方程的降阶 一般的高阶微分方程没有普遍的解法，甚至对于二阶变系数齐线性方程也没有通用解 法。而处理这些问题基本原则是降阶。特别是对于二阶变系数齐线性方程，若能已知它的一 个非零解，则可以用降阶法求得与它线性无关的另一个解且构成基本解组。进一步，利用常 数变易法就可以求出相应的二阶非齐线性方程的通解。本节主要讨论三类高阶方程的降阶方 法。 1． n 阶方程中不显含 ( )1 , , , − ′ k x x L x 的情形 方程形如 ( ) ( ) ,( , , ) = 0 k n F t x L x (4.28) 作新变量，令 (k ) y = x ，则上方程可以写成n − k 阶方程 ( ) ,( , , ) = 0 n−k F t y L y (4.29) 此时，若能够解得方程(4.29)的通解 1 ( , , , ) n k y t c c =ϕ L − ，于是再经过 k 次积分即可求得方 程(4.28)的通解 1 ( , , , ) n x t c c =ψ L ， 这里 1 , , n c c L 为任意常数。 例 12 求方程 0 1 4 4 5 5 − = dt d x dt t d x 的解 解 方程不显含 x, x′, x′′, x′′′ ，令 (4) y = x ，则方程化为 0 1 − y = dt t dy ， 这是关于 y 的一阶齐线性方程，此方程的通解为 y ct = ，即 4 4 d x ct dt = 。于是连续积分四次 得原方程的通解 5 3 2 1 2 3 4 5 x c t c t c t c t c = + + + + ， 这里 1 5 c c , , L 为任意常数。 2． 方程中不显含自变量t 的情形 方程形如 ( ) ( , ′, , ) = 0 n F x x L x (4.30) 引入新的未知函数 y 和新的自变量 x ，令 y = x′ ，则有

含会会会会刽会器 利用数学归纳法不难证明x因 便≤小可用会一是表，将这些表达式优入方 程(4.30)中可得G(x,y,. d当=0，显然它比方程430降低阶 d 例13求解方程xx”+(x)=0 解方程不显含自变量1，分别作新的未知函数y=x'和新的自变量x,计算 原方程的解，对于方程会+少=0，这是一价未线性方起且省适解)一兰所以原方程 的通解为x2=c1+C2,这里G,C2为任意常数。 3.已知k个线性无关解的n阶齐线性方程情形 对于n阶变系数齐线性方程 L.(x)=0 (4.2) 设x,x是方程(42)的k个线性无关解，即有x,≠0，i=1,.,k,令x=xy,由莱布尼 兹公式计算得=y+x,o=立Cy-将以上各式代入方程42)后整理得 xy0++a,xy-+.+k+a()x-l+.+a,)xy=0, 注意到x是4.2)的解，即有x回+a,)x-+.+a,)x=0。于是设：=y(即 x=x:d),则上方程等价于n-1阶同类型方程 Ξm-+b,(0z-2)+.+bn-1(0z=0(4.31) 这里b,(0,.,b()是已知的连续函数。由等量代换可知方程(4.31)有k-1个解 数G,.,Ca,满足 G5++C-1=01e[a,b, 77

77 dx dy y dt dx dx dy dt dy x ′′ = = ⋅ = ， , , 2 2 2 L         +      ⋅ =      = ′′ ′′′ = dx d y y dx dy y dt dx dx dy y dx d dt xd x 利用数学归纳法不难证明 (k ) x (k ≤ n)可用 1 1 , , , − − k k dx d y dx dy y L 表出，将这些表达式代入方 程(4.30)中可得 ( , , , ) 0 1 1 = − − n n dx d y G x y L ，显然它比方程(4.30)降低一阶。 例 13 求解方程 xx ′′ + (x′) = 0 解 方 程 不 显 含 自 变 量 t ， 分 别 作 新 的 未 知 函 数 y = x′ 和 新 的 自 变 量 x ， 计 算 dx dy y dt dx dx dy dt xd x = ⋅ = ′ ′′ = ，代入原方程化为 0 2 + y = dx dy xy ，这里是 y = 0解，即 x c = 是 原方程的解。对于方程 + y = 0 dx dy x ，这是一阶齐线性方程，且有通解 c y x = ，所以原方程 的通解为 2 1 2 x c t c = + ，这里 1 2 c c, 为任意常数。 3． 已知k 个线性无关解的n 阶齐线性方程情形 对于n 阶变系数齐线性方程 L (x) = 0 n (4.2) 设 k x , , x 1 L 是方程(4.2)的k 个线性无关解，即有 x i k i ≠ ,0 = ,1 L, ，令 x x y = k ，由莱布尼 兹公式计算得 ( ) ( ) ( ) i n i k n i i n n k k x x y x y x C x y − = ′ = ′ + ′ = ∑ 0 ,L, .将以上各式代入方程(4.2)后整理得 ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] 0 1 1 1 + ′ + 1 + + + + + = − − x y xn a t x y x a t x a t x y n k n k n k n k k n k L L ， 注意到 k x 是(4.2)的解，即有 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 + 1 + + = − n k n k n k x a t x L a t x 。于是设 z = y′ （即 ∫ x = x zdt k ），则上方程等价于n −1阶同类型方程 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 1 1 + + + − = − − z b t z b t z n n n L (4.31) 这 里 ( ), , ( ) 1 1 b t b t L n− 是 已 知 的 连 续 函 数 。 由 等 量 代 换 可 知 方 程 (4.31) 有 k −1 个 解 ′         = ′         = − − k k k k x x z x x z 1 1 1 1 ,L, ，进一步知它们是线性无关的。事实上，假设存在k −1个常 数 1 1 , , k c c L − ,满足 c z c z t a b 1 1 1 1 + + = ∀ ∈ L k k − − 0 , [ ]

积分整理得 C+.+C-+CX=0 这里C为任意常数，由于x,.,x为线性无关，于是G=.=C1=C=0,这表明 51,.,-是线性无关的。 因此这样采用同类方法一直可把方程(4.2)降低到一k阶齐线性微分方程。特别地，对 于二阶齐线性微分方程，若已知它的一个非零解，则可以求出此方程的通解。事实上，设 x=x,≠0是二阶齐线性微分方程 L2(x)=0 (4.32) 的解 作上述x=x∫d变换，代入方程(4.32)中整理得 会a 是于：的价齐线分方且：空心，取c=1有方程的另特 解=小山，由于受=“由子指数，所以与线性无关.因此 方动有道=+山同时利用数变与法可以求 L2(x)=f)的一个特解，这样二阶线性微分方程求解问题就解决了。 例14对于二阶变系数齐线性微分方程 r-+=0 试证明x=1是方程的解，并求方程的通解 解直接用x=1代入方程易验证它是方程解，记x=1,由上公式解得另一特解 名=山=可片户由=叫，于5和%线性无关，于是方程适为 x=c1+c1ln,这里G,C2为任意常数

78 即 1 1 1 1 0 k k k k x x c c x x − − ′ ′         + + =     L 积分整理得 1 1 1 1 0 k k k k c x c x c x + + + = L − − 这里 k c 为任意常数，由于 k x , , x 1 L 为线性无关，于是 1 1 0 k k c c c = = = = L − ，这表明 1 1 , , k − z L z 是线性无关的。 因此这样采用同类方法一直可把方程(4.2)降低到n − k 阶齐线性微分方程。特别地，对 于二阶齐线性微分方程，若已知它的一个非零解，则可以求出此方程的通解。事实上，设 x = x1 ≠ 0 是二阶齐线性微分方程 L2 (x) = 0 (4.32) 的解 作上述 ∫ x = x zdt 1 变换，代入方程(4.32)中整理得 a t z x x dt dz         + ′ = − 2 ( ) 1 1 1 这是关于 z 的一阶齐线性微分方程，且有通解 1 ( ) 2 1 1 a t dt z c e x − ∫ = ，取c =1，得方程的另一特 解 e dt x x x a t dt ∫ = − ∫ ( ) 2 1 2 1 1 1 ，由于 ≠ ∫ = ∫ − e dt x x x a (t)dt 2 1 1 2 1 1 常数，所以 1 2 x , x 线性无关。因此 方 程 (4.32) 有 通 解 1 ( ) 1 1 2 1 2 1 1 a t dt x c x c x e dt x − ∫ = + ∫ 。 同 时 利 用 常 数 变 易 法 可 以 求 出 ( ) ( ) 2 L x = f t 的一个特解，这样二阶线性微分方程求解问题就解决了。 例 14 对于二阶变系数齐线性微分方程 0 1 1 2 ′′ − ′ + x = t x t x 试证明 x = t 是方程的解，并求方程的通解 解 直接用 x = t 代入方程易验证它是方程解，记 x = t 1 ，由上公式解得另一特解 e dt t t t e dt t x x x dt t a t dt ln 1 1 1 2 ( ) 2 1 2 1 1 = ∫ = ∫ = ∫ ∫ − ，由于 1 x 和 2 x 线性无关，于是方程通解为 1 2 x c t c t t = + ln ，这里 1 2 c c, 为任意常数

习题四 一，判断下列各组函数在任何区间上是否线性相关 1.t2+2,12-4,1+1:2.e,sin21;3.1,sin21,cos21 二.设(x2(x)是二阶齐次线性微分方程的两个解。若2-y巧≠0，则方程的通解 为y=C乃(x)+Cy(x),其中G,C2为任意常数。 三.设y(x,(x)是齐次线性微分方程 y+g(x)y=0 的两个解。若g(x)在R上连线，则y,(x),乃，(x)的伏朗斯基行列式为常数。 四。利用常数变易法求下列方程的有关问题： 1以如e,e为方程华-=0的基本解组，录华-X=1的通解： 2票品会-0的两，表 d'x 1 dx 1 十市=1-1的通解 。已知口，。为方程产-=0的基木解粗，试球北方程运合初始条件 xo)=1,xO)=0及xo)=0,xO)=1 的基本解组，并由此求出该方程的适合初始条件xO)=x。,xO)=x0的解： 五，求解下列常系数线性微分方程： 1.xA)-5x°+4x=0: 2.x”+x+x=0 3.x"-a2x=1+l,其中a为实常数： 4.x"+2ar+a2x=e',其中a为实常数： 5.x"+4x'+4x=cos21: 6.x"-2x'+3x=ecos1: 7.x"-4x'+4x=e'+e2+1:

79 习题四 一．判断下列各组函数在任何区间上是否线性相关 1. 2 , , 1 3 2 t + tt − tt + ； 2. e t t ,sin 2 ； 3. t t 2 2 ,1 sin ,cos 二．设 y (x) y (x) 1 2 , 是二阶齐次线性微分方程的两个解。若 y1 ′ y2 − y1 y2 ′ ≠ 0 ，则方程的通解 为 y c y x c y x = + 1 1 2 2 ( ) ( ) ，其中 1 2 c c, 为任意常数。 三．设 y (x) y (x) 1 2 , 是齐次线性微分方程 y′′ + q(x)y = 0 的两个解。若q(x) 在 R 上连续，则 y (x) y (x) 1 2 , 的伏朗斯基行列式为常数。 四．利用常数变易法求下列方程的有关问题： 1． 以知 t t e e − , 为方程 0 2 2 − x = dt d x 的基本解组，求 1 2 2 − x = dt d x 的通解； 2． 以知 t t,e 为方程 0 1 1 1 2 2 = − − − + x dt t dx t t dt d x 的两个解，求 1 1 1 1 2 2 = − − − − + x t dt t dx t t dt d x 的通解； 3． 已知 t t e e − , 为方程 0 2 2 − x = dt d x 的基本解组，试求此方程适合初始条件 x(0) = ,1 x′(0) = 0 及 x(0) = ,0 x′(0) = 1 的基本解组，并由此求出该方程的适合初始条件 ( ) ( ) (1) 0 0 x 0 = x , x′ 0 = x 的解； 五．求解下列常系数线性微分方程： 1． ( ) 5 4 0 4 x − x ′′ + x = ； 2． x′′ + x′ + x = 0； 3． 1 2 x ′′ − a x = t + ，其中a 为实常数； 4． t x ′′ + xa ′ + a x = e 2 2 ，其中a 为实常数； 5． x′′ + 4x′ + 4x = cos 2t ； 6． x x x e t t 2 3 cos − ′′ − ′ + = ； 7． 4 4 1 2 ′′ − ′ + = + + t t x x x e e ；

8.x”+x=1+cos1 ,2+2盘-6y=0: dx 会0 六.已知方程的解求作方程的有关问题 1.设y=e(C,cosx+C,sinx)为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，求该方程： 2.设二阶常系数线性方程首项y'的系数为1，右边自由项为Ca,且已知该方程有一个 特解为1+x+x22,求该方程 3.设二阶常系数线性微分方程y+ay+by=ce产的一个特解为y=e2+(x+le2。试确 定常数a,b,c,并求该方程的通解： 4.设y=xe+e2,y=xe产+e,y=xe*+e2-e为二阶非齐次常系数线性微分方 程的三个特解，求该方程。 七，利用代换将以下方程化简成二阶常系数线性微分方程，并求出原方程的通解： 对方-+y=0,作代= 2对方程s空-2n安+3初cesX=假代换y 3.设函数y=yx)在R上具有二阶导数，且y≠0，x=xy)为反函数。 对方程票+6+血（等=0，作代换y= 4.对跃拉方程r-2y=sin,作代换x=心 人设无劳服数5)=1+号+名+.+高 1.验证Sx)满足微分方程y+y+y=e: 2.利用上面的结果求S(x)的和函数. 九.设(x)具有二阶连续导数，fO)=0,"0)=1,且在整个平面R2上有

80 8． x′′ + x = t + cost ； 9． 2 6 0 2 2 2 + − y = dx dy x dx d y x ； 10． 2 0 2 2 2 − + y = dx dy x dx d y x 。 六．已知方程的解求作方程的有关问题： 1．设 y e (C x C x) x cos sin = 1 + 2 为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，求该方程； 2．设二阶常系数线性方程首项 y′′的系数为 1，右边自由项为 x Ceλ ，且已知该方程有一个 特解为( ) x x x e 2 1+ + ，求该方程； 3．设二阶常系数线性微分方程 x y ′′ + ya ′ + by = ce 的一个特解为 ( ) x x y e x 1 e 2 = + + 。试确 定常数a,b,c ，并求该方程的通解； 4． 设 x x x x x x x y xe e y xe e y xe e e − − = + = + = + − 2 2 , , 为二阶非齐次常系数线性微分方 程的三个特解，求该方程。 七．利用代换将以下方程化简成二阶常系数线性微分方程，并求出原方程的通解： 1． 对方程( ) 1 0 2 2 2 2 − − + a y = dx dy x dx d y x ，作代换 x = sin t ； 2． 对方程 x y x e dx dy x dx d y cos x − 2sin + 3 cos = 2 2 ，做代换 x u y cos = ； 3． 设函数 y = y(x)在 R 上具有二阶导数，且 y′ ≠ 0， x = x(y)为反函数。 对方程 ( ) sin 0 3 2 2 =         + + dy dx y x dy d x ，作代换 y = y(x)； 4． 对欧拉方程 y x dx d y x 2 sin ln 2 2 2 − = ，作代换 t x = e 。 八．设无穷级数 ( ) ( ) = + + +L+ +LL !3 !6 3 ! 1 3 6 3 n x x x S x n 。 1． 验证 S(x)满足微分方程 x y ′′ + y′ + y = e ； 2． 利用上面的结果求 S(x)的和函数. 九．设 f (x) 具有二阶连续导数， f (0) = ,0 f ′(0) = 1，且在整个平面 2 R 上有

[x(x+y)-f(x)ylx+f(x)+xypy=0. 其中L为R2上任意一闭简单曲线，求函数x)。 十.1.设函数fu)在R上具有二阶连续导数，且：=fle'siny)满足方程 a2:.a2: a3+e:. 求函数fu. 2.设函数fu)在R上具有二阶连续导数，f0=0,f"0=0,且：=fW2+y2)满 足方程 盟0 求函数f(d。 十一.设函数f)在0，+∞)上连续，k为常数，试证明对1∈0，+∞)，方程 x”+k2x=f) 的通解为 c cosk+sinksink(s))f(s)ds 当k≠0， x= G+c1+∫(-s)f(s)d 当k=0 十二.设P,9为常数，考虑方程 y+p四'+=0() 1.对p=0,问9为何值时，方程(*)具有当x→+∞时趋于0的非零解： 2.对什么样的p和q,方程(*)的所有解当x→+∞时趋于零： 3.对什么样的p和q,方程()的所有解在0，+∞)上有界： 4.对什么样的p和q,方程()的所有解均为x的周期函数。 十三.设x()x(t).,x()是n阶齐次线性微分方程(4.2)的任意n个解，它们所构成的伏 朗斯基行列式记为W(),试证明W()满足一阶线性微分方程 W'd)+a,t)w(d)=0

81 [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] ∫ + − + ′ + = L xy x y f x y dx f x x y dy 0 2 ， 其中 L 为 2 R 上任意一闭简单曲线，求函数 f (x) 。 十．1．设函数 f (u) 在 R 上具有二阶连续导数，且 z f (e y) x = sin 满足方程 e z y z x z 2x 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ ， 求函数 f (u) 。 2． 设函数 f (u) 在 R 上具有二阶连续导数， f (1) = ,0 f ′(1) = 0 ，且 ( ) 2 2 z = f x + y 满 足方程 0 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ y z x z ， 求函数 f (u) 。 十一．设函数 f (t)在[ ,0 +∞)上连续，k 为常数，试证明对t ∈[ ,0 +∞)，方程 x ′′ + k x = f (t) 2 的通解为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 0 1 2 0 1 cos sin sin 0, 0 t t c c kt kt k t s f s ds k k k x c c t t s f s ds k  + + − ≠  =   + + − =  ∫ ∫ 当 当 十二．设 p,q 为常数，考虑方程 y′′ + yp ′ + qy = 0 (∗) 1． 对 p = 0 ，问q 为何值时，方程(∗)具有当 x → +∞ 时趋于 0 的非零解； 2． 对什么样的 p 和q ，方程(∗)的所有解当 x → +∞ 时趋于零； 3． 对什么样的 p 和q ，方程(∗)的所有解在[ ,0 +∞)上有界； 4． 对什么样的 p 和q ，方程(∗)的所有解均为 x 的周期函数。 十三．设 x (t) x (t) x (t) n , , , 1 2 L 是 n 阶齐次线性微分方程(4.2)的任意n 个解，它们所构成的伏 朗斯基行列式记为W (t)，试证明W (t)满足一阶线性微分方程 W ′(t)+ a1 (t)W (t) = 0

因而有 rO=P6,k式a6a o,t∈(a,b) 十四.设x)≠0是二阶济次线性微分方程 x"+a(t)x'+a,(tx=0 的解，这里a,)和a,()于区间[a,b上连续，试证明 1.x(为方程()的解的充要条件是 f1,x2]+a,ws,x]=0: 2.方程(*)的通解可写成 x=xof exp(-fa(s)dsja+e. 这里cC为任意常数，o,1∈[a,b] 十五.设x()≠0是二阶非齐次线性微分方程 x'+a,r'+a,0r=f0)() 的解，这里a,d)和a2()于区间a,b]上连续。试用代换x=x「d把化成关于y的一阶线 性微分方程，并求方程(*)的通解。 十六.利用降阶法求解下列方程 1.×=2 2.xx”-(xY+(x)3=0: 3.2x+1+(x}非=0：（提示曲线曲率的几何意义） 4.-+ry=0.(提示=d0r型 十七.考虑方程 x'+5x'+6x=f0 其中f0)在R上连续，设g,)g,)是方程()的两个解。试证明im[g)-9,训存在 十八.考虑方程

82 因而有 ( ) ( ) ( ) ∫ = − t t a t dt W t W t e 0 1 0 t ,t (a,b) 0 ∈ 十四．设 x1 (t) ≠ 0 是二阶齐次线性微分方程 x′′ + a1 (t)x′ + a2 (t)x = 0 (∗) 的解，这里a (t) 1 和a (t) 2 于区间[a,b]上连续，试证明： 1． x (t) 2 为方程(∗)的解的充要条件是 W ′[x1 , x2 ]+ a1 (t)W[x1 , x2 ] = 0 ； 2．方程(∗)的通解可写成 ( ( ) ) 0 1 1 1 2 2 1 1 exp , t t x x c a s ds dt c x   = − +     ∫ ∫ 这里 1 2 c c, 为任意常数，t ,t [a,b] 0 ∈ 十五．设 x1 (t) ≠ 0 是二阶非齐次线性微分方程 x′′ + a (t)x′ + a (t)x = f (t) 1 2 (∗) 的解，这里a (t) 1 和 a (t) 2 于区间[a,b]上连续。试用代换 ∫ x = x ydt 1 把化成关于 y 的一阶线 性微分方程，并求方程(∗)的通解。 十六．利用降阶法求解下列方程 1． x x ′ ′′ = 2 1 ； 2． ( ) ( ) 0 2 3 xx ′′ − x′ + x′ = ； 3．2 [1 ( ) ]2 0 3 2 x ′′ + + x′ = ；（提示曲线曲率的几何意义） 4． ( ) 0 2 + ′ = ′ ′′ − x t x x 。（提示 ( ) dt d x x x ′ = ′ ′′ ln ） 十七．考虑方程 x′′ + 5x′ + 6x = f (t) (∗) 其中 f (t)在 R 上连续，设 (t) (t) 1 2 ϕ ,ϕ 是方程(∗)的两个解。试证明 [ (t) (t)] t 1 2 lim ϕ −ϕ →+∞ 存在 十八．考虑方程

x'+8x'+7x=f0)() 其中f0)在0，+)上连续，试利用常数变易公式，证明： 1.若当f)在0，+∞)上有界时，则方程($)的每一解在[0，+∞)上有界： 2.若当1imf)=0时，则方程()的每一解p0满足1im)=0。 十九.考虑方程 x'+a,x+a,r=0() 其中a,(),a,()在R上连续。 1.若x)x,)是方程()的一个基本解组，则方程()的系数a,),a,()完全由 x)x,)惟一确定，且x()x)没有共同的零点： 2.若x=)是方程(*)在R上的一个非零解，且存在1。∈R,使得，)=0，则点 (o,p》一定不是函数x=)的极值点。 二十.证明n阶非齐次线性微分方程存在且最多存在个线性无关的解

83 x′′ + 8x′ + 7x = f (t) (∗) 其中 f (t)在[ ,0 +∞)上连续，试利用常数变易公式，证明： 1． 若当 f (t)在[ ,0 +∞)上有界时，则方程(∗)的每一解在[ ,0 +∞)上有界； 2． 若当 lim ( ) = 0 →+∞ f t t 时，则方程(∗)的每一解ϕ(t)满足 lim ( ) = 0 →+∞ t t ϕ 。 十九．考虑方程 x′′ + a1 (t)x′ + a2 (t)x = 0 (∗) 其中a (t) a (t) 1 2 , 在 R 上连续。 1． 若 x (t) x (t) 1 2 , 是方程(∗)的一个基本解组，则方程(∗)的系数a (t) a (t) 1 2 , 完全由 x (t) x (t) 1 2 , 惟一确定，且 x (t) x (t) 1 2 , 没有共同的零点； 2． 若 x = ϕ(t)是方程(∗)在 R 上的一个非零解，且存在t 0 ∈ R ，使得 ( ) 0 ϕ t 0 = ，则点 ( ( )) 0 0 t ,ϕ t 一定不是函数 x = ϕ(t)的极值点。 二十．证明n 阶非齐次线性微分方程存在且最多存在个线性无关的解