《常微分方程》课程教学资源（讲义）第二章 初等积分法（1/2）

第二章初等积分法 本章将介绍一阶方程的初等解法，即把微分方程的求解问题化为积分问题众所周知 对于一般的一阶方程是没有初等解法的本章主要目的是介绍一些可以用初等解法进行求解 的方程典型类型以及求解方法和过程，虽然这些方程类型和求解方法很有限，但对于实际问 题中出现的常微分方程却十分有效因此，掌握这些类型方程的解法是十分必要的和有意义 $2.1分离变量法 1.变量分离方程 (一)变量分离的方程 形如 盘=fego)an） 的一阶方程，称为分离变量方程，其中p(x)和qy)分别为x,y的连续函数 例如女=-。一女三少广nx克三心都是变量分盗方程对于此淡方程求解有一极 dx 方法可循.下面给出方程(2.1)的一般解法为了求解，首先假设g(y)≠0，于是方程(2.1)改写 斋aa 这样把变量x,y分离开，就是所谓把变量“分离”了，将上式两边积分即得 0)-fds+e 22 约定，这里亮利达分州理解为6九的鲜个医商数，而北我分常 数c明确写出来，突出常数的重要性，此处c是使(2.2)有意义的任意常数同时关于式子22) 一般地可以作为确定y是x的隐函数的关系式，因此可以利用隐函数求导法则验证关系式 (2.2)是方程(2.1)的通解其次，若存在。，使得g()=0,则直接验证可知y=八。也是方 程(21)的解这时若在通解(22)中存在常数c=c使得它等于解y=y。,则通解(22)泡含了 (2.1)的一切解，否则(2.1)的解除了通解22)外，还必须予以补上解y=% 例1求方程会=2-0+y八的通解

10 第二章 初等积分法 本章将介绍一阶方程的初等解法，即把微分方程的求解问题化为积分问题.众所周知， 对于一般的一阶方程是没有初等解法的.本章主要目的是介绍一些可以用初等解法进行求解 的方程典型类型以及求解方法和过程，虽然这些方程类型和求解方法很有限，但对于实际问 题中出现的常微分方程却十分有效.因此，掌握这些类型方程的解法是十分必要的和有意义 的. §2.1 分离变量法 1. 变量分离方程 (一) 变量分离的方程 形如 f (x)g( y) dx dy = (2.1) 的一阶方程，称为分离变量方程，其中 p(x) 和 q( y)分别为 x, y 的连续函数. 例如 y x dx dy = − ， y x dx dy sin 2 = ， x y e dx dy + = 都是变量分离方程.对于此类方程求解有一般 方法可循.下面给出方程(2.1)的一般解法.为了求解，首先假设 g( y) ≠ 0，于是方程(2.1)改写 成 f x dx g y dy ( ) ( ) = 这样把变量 x, y 分离开，就是所谓把变量“分离”了 ，将上式两边积分即得 ∫ ∫ = f x dx + c g y dy ( ) ( ) (2.2) 约定：这里把 ∫ g( y) dy 和 ∫ f (x)dx 分别理解为 ( ) 1 g y ， f (x) 的某一个原函数，而把积分常 数c 明确写出来，突出常数的重要性，此处c 是使(2.2)有意义的任意常数.同时关于式子(2.2), 一般地可以作为确定 y 是 x 的隐函数的关系式，因此可以利用隐函数求导法则验证关系式 (2.2)是方程(2.1)的通解.其次，若存在 0 y ，使得 ( ) 0 g y0 = ，则直接验证可知 0 y = y 也是方 程(2.1)的解.这时若在通解(2.2)中存在常数 0 c = c 使得它等于解 0 y = y ，则通解(2.2)包含了 (2.1)的一切解，否则(2.1)的解除了通解(2.2)外，还必须予以补上解 0 y = y . 例 1 求方程 (2 )(1 1 ) 2 x y dx dy = − + 的通解

解这是分离变量方程类型，首先变量分离，得 1+r少=2x-d 两边积分，得 布-2-h 即得通解 arctany=(x-1)2+c 这里c为任意常数 例？求解方程会=,并家出满足关条作O=引的部 解这是分离变量方程类型，当y≠0时，将变量分离，得 对两边积分，得 ∫g-fcosd 即得通解 -=sinx+0 y 即有 y=-sinx+c 这里c为任意常数.同时不论c怎样取值，但这个通解不包含方程的特解y=0,因而y=0这 个解必须补上也就是说，原方程的一切解应由上述通解和解y=0组成。 其次，为了求给定初值问题的特解，以x=0,y=1代入通解中确定任意常数c,得到c=-1, 因而，所求特解为y=1-5nx 1 注1求上面特解还可以用以下计算： 先分离变量，得 从x。=0到x积分，得

11 解 这是分离变量方程类型，首先变量分离，得 dy x dx y (2 )1 1 1 2 = − + 两边积分，得 ∫ ∫ = − + dy x dx y 2 ( )1 1 1 2 即得通解 y = x − + c 2 arctan ( )1 这里c 为任意常数. 例 2 求解方程 y x dx dy cos 2 = ，并求出满足初始条件 y )0( = 1的解. 解 这是分离变量方程类型，当 y ≠ 0时，将变量分离，得 xdx y dy cos 2 = 对两边积分，得 ∫ ∫ = xdx y dy cos 2 即得通解 x c y = + − sin 1 即有 x c y + = − sin 1 这里c 为任意常数.同时不论c 怎样取值，但这个通解不包含方程的特解 y = 0，因而 y = 0这 个解必须补上.也就是说，原方程的一切解应由上述通解和解 y = 0组成. 其次，为了求给定初值问题的特解，以 x = ,0 y = 1代入通解中确定任意常数c ，得到c = −1， 因而，所求特解为 x y 1 sin 1 − = 注 1 求上面特解还可以用以下计算： 先分离变量，得 xdx y dy cos 2 = 从 0 x0 = 到 x 积分，得

厂g-cosh 广g=cos.xds 所以有-+1=sinx-sin0 y 于是满足0)=1的特解为y=1-9imx 1 例3求出方程 密-w 2.3) 的通解，其中P(x)为x连续函数 解当y≠0时，将变量分离，得到 =px)h (2.4) y 两边积分，即得 Inlyp(x)d+c 其中G为任意常数，进一步有y=士eea临 令G=士en,得到y=G,e恤 这里C2是任意不为零的常数 此外，y=0也是解，这样通解可以统一写成 y=cefnsa (2.5) 这里c为任意常数 注2此方程清足初始条件)=的特解为y=,人达 (二)可化为变量分离方程 1.形如 虫) 2.6) 的方程为齐次方程，其中g()是u的连续函数

12 ∫ ∫ = x x y y x xdx y dy 0 0 cos ( ) 2 即 ∫ ∫ = y x xdx y dy 1 0 2 cos 所以有 1 sin sin 0 1 − + = x − y 于是满足 y )0( = 1的特解为 x y 1 sin 1 − = . 例 3 求出方程 p x y dx dy = ( ) (2.3) 的通解，其中 p(x) 为 x 连续函数 解 当 y ≠ 0时，将变量分离，得到 p x dx y dy = ( ) (2.4) 两边积分，即得 ∫ = + 1 ln | y | p(x)dx c 其中 1 c 为任意常数，进一步有 ∫ = ± p x dx c y e e ( ) 1 令 1 2 c c = ±e ，得到 ∫ = p x dx y c e ( ) 2 , 这里 2 c 是任意不为零的常数. 此外， y = 0也是解，这样通解可以统一写成 ∫ = p x dx y ce ( ) (2.5) 这里c 为任意常数. 注 2 此方程满足初始条件 0 0 y(x ) = y 的特解为 ∫ = x x p x dx y y e 0 ( ) 0 （二）可化为变量分离方程 1. 形如       = x y g dx dy (2.6) 的方程为齐次方程，其中 g(u) 是u 的连续函数

求解齐次方程的关键是对未知函数做适当变量替换，将方程化成变量分离方程.利用适当变 量替换来解微分方程是一种常用的技巧，对于方程2.6)，我们做适当变量替换 u=或y= (2.7) 其中u是新的未知函数u=(x),于是有 少=+ d (2.8) 将2.7)，.(2.8)代入方程(2.6)，即有 +安-8 整理得 这是一个变量分离方程，其通解为 =l1nx|+c(2.9) 然后代回原来的变量，便得(2.6)的通解同时要注意到若存在。使得g(u。)-山。=0，则 y=ux也是(2.6)的解 解这是方程淡令=，将及-贵代入方别 在+u=u+an du=tanu (2.10) ax 当tanu≠0时，分离变量和积分推出 Inlsinu=Inx+c 其中C,为任意常数整理后，得到 sinu=tex (2.11) 令c2=±e9≠0，得到 sinu=cx 注意到方程2.10)还有解tanu=0,即sinu=0 因此若在(2.11)中补上c2=0,则(2.11)表达式包括了sinu=0, 3

13 求解齐次方程的关键是对未知函数做适当变量替换，将方程化成变量分离方程.利用适当变 量替换来解微分方程是一种常用的技巧，对于方程(2.6)，我们做适当变量替换 x y u = 或 y = ux (2.7) 其中u 是新的未知函数u = u(x)，于是有 dx du u x dx dy = + (2.8) 将(2.7),(2.8)代入方程(2.6),即有 g(u) dx du u + x = 整理得 x g u u dx du − = ( ) 这是一个变量分离方程，其通解为 x c g u u du = + − ∫ ln | | ( ) (2.9) 然后代回原来的变量，便得(2.6)的通解.同时要注意到若存在 0 u 使得 ( ) 0 g u0 − u0 = ，则 y u x = 0 也是 (2.6) 的解. 例 4 求解方程 x y x y dx dy = + tan 解 这是齐次方程类型，令 y = xu ，将此及 u dx du x dx dy = + 代入原方程得 u u u dx du x + = + tan 即 x u dx du tan = (2.10) 当 tan u ≠ 0 时，分离变量和积分推出 1 ln |sin u |= ln | x | +c 其中 1 c 为任意常数.整理后，得到 u e x c1 sin = ± (2.11) 令 0 1 2 = ± ≠ c c e ，得到 u c x2 sin = 注意到方程(2.10)还有解 tan u = 0 ,即sin u = 0 因此若在(2.11)中补上c2 = 0 ，则(2.11)表达式包括了sin u = 0

因此原方程的通解为sin之=cx 其中c为任意常数并且此表达式包括一切解 例5求解方程x少+y=y,并求出满足初始条件)心=1的特解 解将方程改写成 密图 这是有次方以=之及安-密代入则上方程可以支为 dx =2-2u (2.12) 当u(u-2)≠0时，分离变量和积分推出 In-2Inlxl+c 其中C为任意常数整理后，得到 u-2=c (2.13) u 这里c2=士e2≠0. 另外还有解=0和4=2，若在(2.13)中补上c2=0,则(2.13)表达式中包括=2，由此 代回原变量u= ，即得原方程的通解 y-2x=cx2y 及解y=0,这里c为任意常数 在适解中，代入0=1，得c=-小，故所求特解为y+子 2x 注3此题中通解不包括所有解。 2.形如 dyax+by+c (2.14) dx ax+bay+c2 的线性分式方程可以利用变量替换化成变量分离方程，其中a,b,C,i=1,2均为常数以下 我们分三种情形对此类型方程进行研究， ()当C,=C2=0时，此时只要把右端分子、分母同除以x,即得

14 因此原方程的通解为 cx x y sin = 其中c 为任意常数.并且此表达式包括一切解. 例 5 求解方程 2 2 xy y dx dy x + = ，并求出满足初始条件 y )1( = 1的特解 解将方程改写成 x y x y dx dy  −      = 2 这是齐次方程，以 x y u = 及 u dx du x dx dy = + 代入，则上方程可以变为 u u dx du x 2 2 = − (2.12) 当u(u − )2 ≠ 0 时，分离变量和积分推出 1 | ln | | 2 ln | 2 1 x c u u = + − 其中 1 c 为任意常数.整理后，得到 2 2 2 c x u u = − (2.13) 这里 0 2 1 2 = ± ≠ c c e . 另外还有解u = 0和u = 2 ，若在(2.13)中补上c2 = 0 ，则(2.13)表达式中包括u = 2 ，由此 代回原变量 x y u = ，即得原方程的通解 y x cx y 2 − 2 = 及解 y = 0，这里c 为任意常数. 在通解中，代入 y )1( = 1，得c = −1，故所求特解为 2 1 2 x x y + = . 注 3 此题中通解不包括所有解. 2. 形如 2 2 2 1 1 1 a x b y c a x b y c dx dy + + + + = (2.14) 的线性分式方程可以利用变量替换化成变量分离方程，其中 a ,b , c ,i = 2,1 i i i 均为常数.以下 我们分三种情形对此类型方程进行研究. (1) 当c1 = c2 = 0时，此时只要把右端分子、分母同除以 x ，即得

这是一个齐次方程 Q、ab二0时，即有2=b,’a24可政写成 少_a,x+b+=fa,x+b, dx ax+by+c2 令u=a,x+b,y,则方程可化为 =a,+b,f dx 这是变量分离方程 B当收A±0且6和6不同时为零时，则以下我性方 ax+by+c=0 azx+bay+c2=0' 有唯一解x=a,y=B,于是令5=x-a,1=y-B,则方程(2.14)可化为 -好 这是齐次方程 例6求解方程 (2.15) 解方程组 x-y+1=0 x+y-3=0 得x=1y=2,令 「5=x-1 (7=y-2 代入方程(2.15)，则有 dns-n (2.16) d55+n 5

15       = + + = x y g x y a b x y a b dx dy 2 2 1 1 这是一个齐次方程. (2) 当 0 2 2 1 1 = a b a b 时, 即有 2 1 2 1 b b a a = ，记 2 1 a a k = ，则方程(2.14)可改写成 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 f a x b y a x b y c k a x b y c dx dy = + + + + + = 令u a x b y = 2 + 2 ，则方程可化为 ( ) 2 2 a b f u dx du = + 这是变量分离方程. (3) 当 0 2 2 1 1 ≠ a b a b 且 1 c 和 2 c 不同时为零时，则以下线性方程组    + + = + + = 0 0 2 2 2 1 1 1 a x b y c a x b y c , 有唯一解 x = α, y = β ，于是令ξ = x −α,η = y − β ，则方程(2.14)可化为         = + + = ξ η ξ η ξ η ξ η g a b a b d d 2 2 1 1 这是齐次方程. 例 6 求解方程 3 1 + − − + = x y x y dx dy (2.15) 解 方程组    + − = − + = 3 0 1 0 x y x y 得 x = ,1 y = 2，令    = − = − 2 1 y x η ξ 代入方程(2.15)，则有 ξ η ξ η ξ η + − = d d (2.16)

再令u=,则2.16化为 竖”血 两边积分，得 Ing =-Inlu2 +2u-11+c 因此 52(w2+2u-l)=±e9 记C=c,并代回原变量，就得 n2+25-52=c2 此外，容易验证72+25切-52=0也是方程2.16)的解，因此方程(2.15)的通解为 y2+2xy-x2-6y-2x=c 这里c为任意常数. 注4以上方法可以适用于如下更一般方程 3.其他常见可化为变量分离方程情形 例领方程会=m++0令=++c 例如，方程f(y)d+g(xy)d=0,令=xy 例如，方程x中=f八)，令u=y: dx 例如，方程M(x,y(xdk+yd)+N(x,y)(xd-r)=0,令x=rcos6,y=rsin0, 其中M(x,y)和N(x,)为齐次函数，次数可以不同 注5在上述最后方程中，记Mx)=g(N)=多()风n为自然数 注意到+ x+ r(cos0)"g(tan0)dr-r"(cos0)"g2(tan0)de=0 6

16 再令 ξ η u = , 则(2.16)化为 du u u d u 2 1 2 1 − − + = ξ ξ 两边积分，得 1 2 2 lnξ = −ln | u + 2u − |1 +c 因此 1 ( 2 )1 2 2 c ξ u + u − = ±e 记 2 1 c = ±c ，并代回原变量，就得 2 2 2 η + 2ξη − ξ = c 此外，容易验证 2 0 2 2 η + ξη − ξ = 也是方程(2.16)的解，因此方程(2.15)的通解为 y + 2xy − x − 6y − 2x = c 2 2 这里c 为任意常数. 注 4 以上方法可以适用于如下更一般方程         + + + + = 2 2 2 1 1 1 a x b y c a x b y c f dx dy 3. 其他常见可化为变量分离方程情形 例如,方程 f (ax by c) dx dy = + + ,令u = ax + by + c ; 例如,方程 yf (xy)dx + xg(xy)dy = 0 ,令u = xy ; 例如,方程 ( ) 2 f xy dx dy x = ,令u = xy ; 例如,方程 M (x, y)(xdx + ydy) + N(x, y)(xdy − ydx) = 0 ,令 x = r cosθ, y = rsinθ , 其中 M (x, y) 和 N(x, y) 为齐次函数，次数可以不同. 注 5 在上述最后方程中，记        =      = x y N x y x g x y M x y x g m n 1 2 ( , ) , ( , ) ， m, n 为自然数. 注意到 y x d x y xdy ydx d x y x y xdx ydy ln( ), arctan 2 1 2 2 2 2 2 2 = + − = + + + ，则方程整理得 (cos ) (tan ) (cos ) (tan ) 0 1 2 1 − = − r θ g θ dr r θ g θ dθ m m n n

这是一个变量分离方程 $2.2一阶线性微分方程与常数变易法 形如 =Pxy+0x)217) 称为一阶线性微分方程标准形式其中P(x),Q(x)为考虑区间上关于x的连续函数 若Q(x)=0时，则(2.17)变为 -P (2.18) 称方程(2.18)为一阶齐线性方程 若Q(x)≠0时，则称92.15)为一阶非齐线性方程 注6如对于形如一阶线性方程 a+ap=. 一般假设a(x)≠0，对此类方程可写成标准形式 少=Pax)y+0) 对于一阶齐线性方程2.18)，我们已在前面例3中讨论过，其通解为 y=cefronk (2.19) 这里c为任意常数 注意到(2.18)是(2.17)的特殊形式，两者之间既有联系又有差别，因此可以设想(2.17)的 通解是(2.19)的某种推广，而这种推广的一个经验且简单有效的方法就是把(2.19)中的常数变 易为x的待定函数c(x),使它满足方程(2.17)，从而求出c(x),也即求方程(2.17)如下形式 的解 y=cx)ep (2.20) 微分之，代入(2.17)得到 de((eP(d()221) dx de(x)O)e 两边对x积分，得到 cx)=∫Qea+c 为此，(2.17)的通解为 13

17 这是一个变量分离方程. §2.2 一阶线性微分方程与常数变易法 形如 P(x) y Q(x) dx dy = + (2.17) 称为一阶线性微分方程标准形式.其中 P(x),Q(x) 为考虑区间上关于 x 的连续函数. 若Q(x) = 0 时，则(2.17)变为 P x y dx dy = ( ) (2.18) 称方程(2.18)为一阶齐线性方程. 若Q(x) ≠ 0 时，则称 92.15)为一阶非齐线性方程. 注 6 如对于形如一阶线性方程 ( ) ( ) ( ) 0 1 a x y f x dx dy a x + = , 一般假设 ( ) 0 a0 x ≠ ，对此类方程可写成标准形式 P(x) y Q(x) dx dy = + . 对于一阶齐线性方程(2.18)，我们已在前面例 3 中讨论过，其通解为 ∫ = P x dx y ce ( ) (2.19) 这里c 为任意常数. 注意到(2.18)是(2.17)的特殊形式，两者之间既有联系又有差别，因此可以设想(2.17)的 通解是(2.19)的某种推广，而这种推广的一个经验且简单有效的方法就是把(2.19)中的常数变 易为 x 的待定函数c(x) ，使它满足方程(2.17)，从而求出c(x) ，也即求方程(2.17)如下形式 的解 ∫ = P x dx y c x e ( ) ( ) (2.20) 微分之，代入(2.17)得到 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e c x P x e P x c x e Q x dx dc x P x dx P x dx P x dx + ∫ = ∫ + ∫ (2.21) 即 ∫ = − P x dx Q x e dx dc x ( ) ( ) ( ) 两边对 x 积分，得到 c x Q x e dx c P x dx + ∫ = ∫ − ( ) ( ) ( ) 为此，(2.17)的通解为

y=efrfx)ed+c 222) 这里c是任意常数 这种将常数变易为待定函数的方法，我们通常称为常数变易法，进一步，方程(2.17)满 足初始条件(x)=,的解为 y=eo。+广o0e式oal 例7求方程会-兰y+女的通解，这里n为常数 解要求的方程是一阶非齐线性方程的标准形式 首先，求相应的齐次方程=”y的通解，易知其通解为y=”其次应用常数变易 dx x 法求原方程的通解为此把上式中c看成待定函数c(x),即设y=c(x)x”为原方程的解，微 分之并代入原方程，整理得 dc(x)=e' dx 积分之，求得c(x)=e+c 因此原方程的通解为 y=(e'+c)x" 这里c是任意常数 例8求方程空2x十的通解 解这方程不是关于未知函数y的线性方程，且不能进行变量分离，但可采用以下两种方法 求解： 方法一：将它写成 dx2x+y2 dy y 即 帝-子+ 把x看成未知函数，y看作自变量，这变成关于x的一阶线性非齐方程，同上先求齐线性方 帝 的通解为

18 [ ( ) ] ( ) ( ) y e Q x e dx c P x dx P x dx + ∫ ∫ = ∫ − (2.22) 这里c 是任意常数. 这种将常数变易为待定函数的方法，我们通常称为常数变易法，进一步，方程(2.17)满 足初始条件 0 0 y(x ) = y 的解为 [ ( ) ] 0 0 0 ( ) 0 ( ) ∫ ∫ + ∫ = x − x P t dt P u du y e y Q t e dt t x x x 例 7 求方程 x n y e x x n dx dy = + 的通解，这里 n 为常数 解 要求的方程是一阶非齐线性方程的标准形式. 首先，求相应的齐次方程 y x n dx dy = 的通解，易知其通解为 n y = cx .其次应用常数变易 法求原方程的通解.为此把上式中c 看成待定函数c(x) ，即设 n y = c(x)x 为原方程的解，微 分之并代入原方程，整理得 x e dx dc x = ( ) 积分之，求得c x e c x ( ) = + 因此原方程的通解为 x n y = (e + c)x 这里c 是任意常数 例 8 求方程 2 2x y y dx dy + = 的通解 解 这方程不是关于未知函数 y 的线性方程，且不能进行变量分离，但可采用以下两种方法 求解： 方法一：将它写成 y x y dy dx 2 2 + = 即 x y dy y dx = + 2 (2.23) 把 x 看成未知函数，y 看作自变量，这变成关于 x 的一阶线性非齐方程，同上先求齐线性方 程 x dy y dx 2 = 的通解为

x=cy2 其次，利用常数变易法求非齐线性方程(223)的通解，把c看成c(),微分x=cy)y2,代 入(2.23，整理得 dd(y)_1 积分之，即得 d(y)=Inlyl+c 为此，原方程的通解为 x=(Inlyl+c)y 这里c是任意常数， 方法二：仍把y看成未知函数，x看成自变量，易知y=0是方程的解，当y≠0时，两边 同乘2y得到方程为 婆 改写成 d22y2 dx 2x+y 令1=y2,得 2u 这是上面1的所讲类，同样可以相脸通给学生作为习 下面介绍一类可通过适当变量替换而化成线性方程进行求解的方法 形如 =Pxy+xy24 dx 的方程，称为伯努利(Bemoulli)方程，其中P(x),Q(x)为x的连续函数，n≠0,1是实常数 对于y≠0，用y”乘以(2.24)两边，得到 =)P)+Q 引入新变量u=y",于是有 9

19 2 x = cy 其次，利用常数变易法求非齐线性方程(2.23)的通解，把c 看成c( y) ，微分 2 x = c( y) y ，代 入(2.23)，整理得 dy y dc( y) 1 = 积分之，即得 c( y) = ln | y | +c 为此，原方程的通解为 2 x = (ln | y | +c) y 这里c 是任意常数. 方法二：仍把 y 看成未知函数， x 看成自变量，易知 y = 0是方程的解，当 y ≠ 0时，两边 同乘2y 得到方程为 2 2 2 2 2 x y y dx ydy + = 改写成 2 2 2 2 2 x y y dx dy + = 令 2 u = y ，得 x u u dx du + = 2 2 这是上面(2.14)所讲类型，同样可以相应求通解.留给学生作为练习. 下面介绍一类可通过适当变量替换而化成线性方程进行求解的方法. 形如 n P x y Q x y dx dy = ( ) + ( ) (2.24) 的方程，称为伯努利(Bernoulli)方程，其中 P(x),Q(x) 为 x 的连续函数，n ≠ 1,0 是实常数. 对于 y ≠ 0，用 n y − 乘以(2.24)两边，得到 ( ) ( ) 1 y P x Q x dx dy y n n = + − − 引入新变量 n u y − = 1 ，于是有