《离散数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 代数系统

第5章代数结构 定义：非空集合A上定义了若干种运算，集合和 运算所构成的系统称为代数系统（代数结构）， 简称为代数，记作： A,f1,f2,.,fk〉。 例<R,+〉 <R,+,-,*, 2025/5/13 计算机与信息工程学院

2025/5/13 计算机与信息工程学院 1 第5章 代数结构 定义：非空集合A上定义了若干种运算，集合和 运算所构成的系统称为代数系统(代数结构)， 简称为代数,记作： 。 例

定义设*是集合A上的二元运算，如果对于任意的x,y ∈A,都有x*y∈A,则称二元运算*在A上是封闭的。 例1整数集合上的加法、减法、乘法是Z上的二元运算。 例2设Mn(R)表示所有n阶实矩阵的集合(n≥2)， 矩阵加法和 12 乘法都是M(R) a21 M,(R)= C22 上的二元运算。 a an2 a n 2025/5/13 计算机与信息工程学院 2

2025/5/13 计算机与信息工程学院 2 定义设*是集合A上的二元运算，如果对于任意的x,y A,都有x*y A,则称二元运算*在A上是封闭的。 例1 整数集合上的加法、减法、乘法是Z上的二元运算。 例2 设Mn(R)表示所有n阶实矩阵的集合(n≥2)， 矩阵加法和 乘法都是Mn(R) 上的二元运算。 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) n n n n n nn a a a a a a M R a a a       =      

代数运算的运算性质 1.结合律 设*是一个A上的二元代数运算，如果对任意的a,b,c∈A, 都有 (a*b)*c=a*(b*c) 则称*在A上是可结合的，或称满足结合律。 2.交换律 设*是集合A上的二元运算，如果对任意的a,b∈A,都有 a*b=b*a 则称*在A上是可交换的，或称满足交换律。 2025/5/43 计算机与信息工程学院 3

2025/5/13 计算机与信息工程学院 3 代数运算的运算性质 1．结合律 设*是一个A上的二元代数运算，如果对任意的a,b,c∈A， 都有 (a*b)*c＝a*(b*c) 则称*在A上是可结合的，或称满足结合律。 2．交换律 设*是集合A上的二元运算，如果对任意的a,b∈A，都有 a*b＝b*a 则称*在A上是可交换的，或称满足交换律

3.分配律 设“*”、“△”是集合A上的两个二元 运算，对Va,b,ceA,若a*(b△c)=(a*b) △(a*c),则称运算“*”对“△”在A上满 足左分配律； 若(b△c)*a=(b*a)△(c*a),则称运 算“*”对“△”在A上满足右分配律。 如果“*”对“△”既满足左分配律又 满足右分配律，则称*”对“△”在A上满足 分配律。 2025/5/13 计算机与信息工程学院

2025/5/13 计算机与信息工程学院 4 3.分配律 设“*” 、 “△”是集合A上的两个二元 运算，对a,b,cA，若a*(b△c)＝(a*b) △(a*c)，则称运算“*”对“△”在A上满 足左分配律； 若(b△c)*a＝(b*a) △(c*a)，则称运 算“*”对“△”在A上满足右分配律。 如果“*”对“△”既满足左分配律又 满足右分配律，则称*”对“△”在A上满足 分配律

4.幂等律 设*是定义在集合A上的二元运算， 若元素a∈A,满足a*a=a,则称a是A中关于*的 一个等幂元，简称a为等幂元。 若A中的每一个元素都是等幂元，则称*在A中是 幂等的，或称满足幂等律。 5.吸收律 设*和△是集合A上的两个二元运算，若a*(a△b) =a,a△(ab)=a,则称运算“△”与“*”在A 上满足吸收律。 2025/5/13 计算机与信息工程学院 5

2025/5/13 计算机与信息工程学院 5 4．幂等律 设*是定义在集合A上的二元运算， 若元素a∈A，满足a*a＝a，则称a是A中关于*的 一个等幂元，简称a为等幂元。 若A中的每一个元素都是等幂元，则称*在A中是 幂等的，或称满足幂等律。 5.吸收律 设*和△是集合A上的两个二元运算，若a* (a△b) ＝a,a△(a*b)＝a，则称运算“△”与“*”在A 上满足吸收律

例3 设A是一个集合，定义幂集p(A)上的关于集合的∩，U运 算，则 1) 对任意X,Y,Z∈p(A),由集合运算的性质我们知 道， (X∩Y)nZ=X∩(Y∩Z),(XUY)UZ=XU(YUZ) 由结合律的定义，我们知道∩，U运算都满足结合律。 2)对任意X,Y∈p(A),有 XnY=YOX XUY=YUX 由交换律的定义，我们知道∩，U运算都满足交换律。 2025/5/13 计算机与信息工程学院 6

2025/5/13 计算机与信息工程学院 6 例3 设A是一个集合，定义幂集p(A)上的关于集合的∩,∪运 算，则 1) 对任意X，Y，Z∈p(A)，由集合运算的性质我们知 道， (X∩Y)∩Z＝X∩(Y∩Z)， (X∪Y)∪Z＝X∪(Y∪Z) 由结合律的定义，我们知道∩，∪运算都满足结合律。 2) 对任意X，Y∈p(A)，有 X∩Y＝Y∩X ， X∪Y＝Y∪X 由交换律的定义，我们知道∩，∪运算都满足交换律

例3（续1） 3)对任意X,Y,Z∈p(A),有 X∩YUZ)=(X∩Y)U(XnZ) (YUZ)nX=(Y∩X)U(Z∩X) 则∩对U满足分配律，同理U对∩也满足分配律。 4) 对任意X∈p(A),有 X∩X=X, XUX=X, 所以，∩，U在p(A)上满足幂等律。 5)对任意X,YEp(A),有 Xn (XUY)=X, XU(X∩Y)=X 所以，∩，U在P.(A)上满足吸收律。 2025/5/1 计算机与信息工程学院

2025/5/13 计算机与信息工程学院 7 例3(续1) 3) 对任意X，Y，Z∈p(A)，有 X∩(Y∪Z)＝(X∩Y)∪(X∩Z) (Y∪Z)∩X＝(Y∩X)∪(Z∩X) 则∩对∪满足分配律，同理∪对∩也满足分配律。 4) 对任意X∈p(A)，有 X∩X＝X， X∪X＝X， 所以，∩，∪在p(A)上满足幂等律。 5) 对任意X，Y∈p(A)，有 X∩(X∪Y)＝X， X∪(X∩Y)＝X 所以，∩，∪在p(A)上满足吸收律

代数系统的特异元 在代数系统中，有特殊性质的元素，叫特 异元。 例如在代数系统，其中N是自然数，“十” 是普通加法，O∈A,并且对任意的自然数x∈A, 有x十0=x十0=X 2025/5/13 计算机与信息工程学院 8

2025/5/13 计算机与信息工程学院 8 代数系统的特异元 在代数系统中，有特殊性质的元素，叫特 异元。 例如在代数系统，其中N是自然数，“＋” 是普通加法，0∈A，并且对任意的自然数x∈A， 有x＋0＝x＋0＝x

1、单位元素或么元 定义设“*”是集合A上的二元运算，若 3e1∈A(e,∈A,或eeA),使得对Vx∈A,都有： e1*x=x,则称e为运算“*”关于A的左单位元或 左么元； x*e,=x,则称e为运算“*”关于A的右单位元或 右幺元； x*e=e*x=x,则称e为运算“*”关于A的单位元 或么元； 2025/5/13 计算机与信息工程学院 9

2025/5/13 计算机与信息工程学院 9 1、单位元素或幺元 定义 设“*”是集合A上的二元运算，若 elA(erA，或eA)，使得对xA，都有： el*x＝x，则称e为运算“*”关于A的左单位元或 左幺元； x*er ＝x，则称e为运算“*”关于A的右单位元或 右幺元； x*e＝e*x＝x，则称e为运算“*”关于A的单位元 或幺元；

例4 设有代数系统,则该代数系统的幺元为e=0; 设有代数系统,则该代数系统的幺元为e=1; 设有代数系统，则该代数系统的幺元为e=A; 设有代数系统,则该代数系统的么元为e= Φ； 设有代数系统，则该代数系统的么元为e=T; 设有代数系统,则该代数系统的么元为e=F。 2025/5/13 计算机与信息工程学院 10

2025/5/13 计算机与信息工程学院 10 例4 设有代数系统，则该代数系统的幺元为e＝0； 设有代数系统,则该代数系统的幺元为e＝1； 设有代数系统,则该代数系统的幺元为e＝A； 设有代数系统,则该代数系统的幺元为e＝ Φ； 设有代数系统,则该代数系统的幺元为e＝T； 设有代数系统,则该代数系统的幺元为e＝F