《泛函分析》课程部分习题解答

部分习题解答 习题一(P34) (6)证明在距离空间中，如果一个半径为7的开球包含在一个半径为3的开球 中，则两个球重合。 证设s0,7)cs0,3)c(X,d),下证：s0,7)=s0,3).假设s0,7)≠s0,3), 则至少存在一点x∈s0,3).但xEs0,7),故有dx,0)≥7.由三角不等式 d(x,0)sd(x,0)+d0,0)即7≤3+3=6.矛盾 (7)证明在空间S中，按距离收敛等价于按坐标收敛 证设x=k,3)eS，y=0,)S,则 6川-2是k- 台21+k,-y 设点列x=（回，x20,.,x.n=12.,0=（0,x0,x@,. 若xn→x0,n→0.下证：x0→x0,n→0，i=12,.由xn→x0,n→0 初 dxn,xo）→0，n→o. 即 510-x刚 →0，n→0 台21+k,0-x。剑 故有x间→x0,1=1,2,n→o. (1) 反之若(1)成立，从(1)依次递推可得x。→x。,n→0.即S中点列若按坐 标收敛，则按距离收敛 (8)试举例说明有界集不是全有界集 证取cb,中的点列，}

1 部分习题解答 习题一（P34） （6）证明在距离空间中，如果一个半径为 7 的开球包含在一个半径为 3 的开球 中，则两个球重合. 证 设 s0,7 s0 ,3 X,d ，下证： s0,7  s0 ,3. 假设 s0,7  s0 ,3, 则至少存在一点 x s0 ,3. 但 x s0,7 ，故有 dx,0  7 . 由三角不等式 dx,0 dx,0 d0 ,0 即 7  3 3  6 . 矛盾 （7）证明在空间 S 中，按距离收敛等价于按坐标收敛. 证 设 x  x 1,x 2 ,  ,x n   S ， y  y1 , y2 ,  , yn S , 则   i i i i i i x y x y d x y       2 1 1 , 1 设点列        , ,  , ,  1 2 n k n n n x  x x x ，n 1,2, ,        , ,  , ,  0 0 2 0 0 1 k x  x x x . 若 0 x x n  , n  . 下证:   0 i n i x  x ，n  , i 1,2, . 由 0 x x n  , n   知 dxn , x0 0 , n   . 即         0 2 1 1 0 0 1        n n i n n i i i x x x x , n  . 故有   0 i n i x  x ，i 1,2, ，n  . （1） 反之若（1）成立，从（1）依次递推可得 0 x x n  , n  . 即 S 中点列若按坐 标收敛, 则按距离收敛. （8）试举例说明有界集不是全有界集. 证 取 C 0,1 中的点列 xn 

x)= -t0N时，有 d(xx)<50=1. 取r=maxd(x,xi)dx2,xi).,dxw,xw)1}则 )S(xxa.r). 故根据有界集的定义知，点列化}有界 (10)证明距离空间的完备子空间是闭子空间 证设Ac(X,d)且A完备，下证A是闭的.设n∈A且x。→x0,n→0， 要证A闭，即证x。∈A.由于x。→x,n→o,则{，}为X中的Cauc列.于 是仁，}也是A中的Cacy列.由A的完备性知，x∈A.证毕 (11)证明如果距离空间是可分的，则它的任意子空间也是可分的：反之，如果 距离空间不可分，它的任子空间是否也不可分？ 证设(X,d)可分，AcX且A为X的可列稠密子集.设D为X的任一子空间

2               . 1 1 , 0 ， 1 0, n nt t n t x tn 则点列 xn  为 C 0,1 中的有界集. 但点列 xn  不是完全有界的. 否则若 xn  完全 有界，由 C 0,1 完备，由定理 1   31 p 知 xn  是列紧的，故 xn  在 C 0,1 中存在收 敛子列，但   x t  t t n nt t n t x n t 0 0, 0 1 1, 0 1 1 , 0 1 0,                     ，   0,1 x 0 t  C ， 矛盾. （9）证明距离空间中每一个 Cauchy 列是有界集. 证 设 xn  为 X , d  中任一 Cauchy 列，下证： xn  为有界集. 对  0 1，N ，当 n,m  N 时，有 dxm , xn    0 1. 取 r  maxd x 1,x N 1 ,d x 2 ,x N 1 ,  ,d x N ,x N 1 , 1. 则 x  Sx r n N ,  1 . 故根据有界集的定义知，点列 xn  有界. （10）证明距离空间的完备子空间是闭子空间. 证 设 A  X,d  且 A 完备，下证 A 是闭的. 设 xn  A 且 0 x x n  , n  ， 要证 A 闭，即证 x0  A. 由于 0 x x n  , n   ，则 xn  为 X 中的 Cauchy 列. 于 是 xn  也是 A 中的 Cauchy 列. 由 A 的完备性知， x0  A. 证毕 （11）证明如果距离空间是可分的，则它的任意子空间也是可分的；反之，如果 距离空间不可分，它的任子空间是否也不可分？ 证 设 X , d  可分， A  X 且 A 为 X 的可列稠密子集. 设 D 为 X 的任一子空间

则A门D为D的稠密子集，而且4∩D在D中可列.故D可分. 反之若(X,d)不可分，子空间也有可能可分.例如表示有界实数列全体，严不 可分，设{在，}为1严中的Cauchy列.由于1严完备，故x,→x,n→o,其中x∈严 记A=x}B-{U{x。}易见BCX,A可列且A在B中稠.故B可分. (I2)设化，d)是距离空间，AcX,令)=i城化，小6∈).证明f是 X上的连续函数 证方法一证f)是X上的连续函数.化}cX，x。∈X且x。→x。 n→o.只须证明fk)→fx),n→o.一方面 f(x.)=inf d(x.y) ≤infl,xa)+d,y月 =d,小+d) =d(xx)+f(xo). 于是 fx)-fx)≤dxn,x)-→0，n→o 另一方面 fxo）-fxn)sdx,x) 所以 fxn)f(xo)sd(x,xo)→0，n→o. 故有 fx)→fx),no 由x,的任意性，∫在X上连续。 法二 设xe(X,d),f)在x连续台6>0,6>0，dk,x)<6有 f:X→Y,且

3 则 A D 为 D 的稠密子集，而且 A D 在 D 中可列. 故 D 可分. 反之若 X , d  不可分，子空间也有可能可分. 例如  l 表示有界实数列全体，  l 不 可分，设 xn  为  l 中的 Cauchy 列. 由于  l 完备，故 0 x x n  , n   ，其中  x l 0 . 记 A  x n, B  x nx 0 . 易见 B  X ， A 可列且 A 在 B 中稠. 故 B 可分. （12）设 X , d  是距离空间， A  X ，令 f x  f x y  y A inf ,   , x  X . 证明 f x 是 X 上的连续函数. 证 方法一 证 f x 是 X 上的连续函数. xn  X ， x0  X 且 0 x x n  ， n  . 只须证明     0 f x f x n  ，n  . 一方面 f x  dx y n y A n inf ,   d x x  d x y  n y A inf , ,  0  0  d x x  d x y  y A n, inf , 0 0        0 0 d x , x f x  n  . 于是 f xn  f x0  dxn , x0 0， n  . 另一方面       0 0 f x - f x d x , x n  n . 所以 f xn  f x0   dxn , x0 0 , n  . 故有     0 f x f x n  , n  . 由 n x 的任意性， f 在 X 上连续. 法二 设 xX , d  ， f x 在 0 x 连 续    0,   0,x：d x,x 0    有 f : X Y ，且

d(f(x).f(x》<e ,∈X,证V)-f(x)sd(x,.x)成立.即证 -dx,xo)s f(x)-f(ro)s dx.x) 由于 fx)=inf d(x,)≤infd(,xo)+dx,y刃 =d(x,xo)+f(xo), 所以 fx)fx)≤dx,x)） 下证 f(xo)sf(x)+d(x.xo) 即 f)=inf d(以 (13)设F,F是距离空间X中不相交的闭集，证明存在X上的连续函数f:), 使得当xeF时f)=0,当xeE时fx)=1 证令r)=infd(,小F)=赋d少 F阿·eU） E(x) 由12知F()连续，且F∩5=O.所以 F)+Ex)≠0， 故fx)连续. (14)设X是距离空间，证明：如果在X中，任一半径趋于零的闭球套具有非 空交，则空间X是完备的. 证设：，}是X中的任一Cauchy列，下证：.}在X中收敛.在X中存在 闭球套50，)p502,2)p.50n,)p,其中r,→0，n→0，且

4        0 d f x , f x . x0  X ，证       0 0 f x  f x  d x, x 成立. 即证         0 0 0  d x,x  f x  f x  d x,x . 由于 f x dx y y A inf ,   dx x  dx y y A inf , ,  0  0      0 0  d x, x  f x ， 所以       0 0 f x  f x  d x, x . 下证       0 0 f x  f x  d x, x . 即 f x  dx y y A inf , 0 0   . （13）设 1 2 F ,F 是距离空间 X 中不相交的闭集，证明存在 X 上的连续函数 f x， 使得当 F1 x  时 f x  0 ，当 F2 x  时 f x 1 证 令   inf  , ， 1 F1 x d x y y F  F x dx y y F inf , 2 2   ,     F x F x F x f x 1 2 1   ,    F1 F2 x 由 12 知 F x  F x  1 , 2 连续，且 F1F2   . 所以 F1 x F2 x  0， 故 f x 连续. （14）设 X 是距离空间，证明：如果在 X 中，任一半径趋于零的闭球套具有非 空交，则空间 X 是完备的. 证 设 xn  是 X 中的任一 Cauchy 列，下证： xn  在 X 中收敛. 在 X 中存在 闭球套 so1 ,r1   so2 ,r2   son ,rn   ，其中 0 n r , n   ，且

x1∈5%，5)x2∈502,5)八{}x∈5o,5)八{，x2}. xn∈S(o,x)八{x,x2,x- 由n}为Cauchy列知，s>0,N当m≥n>N,时， (1) 由→0，n→知，对上述e>0,3N,当n>N时有n时， 5o,n)c50n,)从而xn∈5on,n),有 d(xx)N=mx仪，N,时， d(xmxo)sd(xmx)+d(xxo)0,使得对于每一Fe了，F(≤M,.证明存在开集U 及常数M>0,使得对于每一x∈U及所有F∈了，F(xsM 证设p)=supF小记m:eX:ps0eX:FsA 由F的连续性知仁∈X:F()sk}为X中的闭集.事实上，设

5 x 1  so1,r1 , x 2  so2 ,r2  \ x 1, x 3  so3 ,r3  \ x 1,x 2， ， xn  S(o n,x n ) \ {x 1, x 2 ,,x n 1}. 由 xn  为 Cauchy 列知，   0, N 1  当 m  n  N1 时，     n m d x , x . （1） 由 rn  0, n   知，对上述 2   0,N ，当 N2 n  时有   n r . 而当 m  n 时，     m m n n s o ,r  s o ,r ，从而   m n n x s o ,r , 有   n m n d x , x  r . 由于        1 , n n n s o r , 所以可设       1 0 , n n n x s o r . 由三角不等式知当 m  n  N  maxN1 ,N2  时，  ,   ,   ,  2 2 d xm x0  d xm xn  d xn x0  rn  rn  rn  . 故 xm  x0  X ，n  . 在（1）中令 m   有，     0 d x , x n . 所以 x n  x 0 , n  . （15）设 X 是完备距离空间， f ~ 是 X 上的连续实函数族，且具有性质：对于每 一 x  X ，存在常数 0 M x  ，使得对于每一 F f ~  ，   F x  M x . 证明存在开集 U 及常数 M  0 ，使得对于每一 x U 及所有 F f ~  ， Fx  M . 证 设 px Fx F f ~ sup   ，记         F f k w x X p x k x X F x k ~ : : :       . 由 F 的 连 续 性 知 x X : Fx  k 为 X 中的闭集 . 事 实 上 ， 设

,c女e:s=4且x,→xn→∞，要证x∈A,即证Fsk.由 x→x，n→且F连续F,)→F().由于}cA，故 F(x)sk一Fx)≤k→x∈A.故∈X:F()≤k}为闭集.所以每一个w,为 闭集，而X=Uw,由于X完备，故由Br纲定理知X是第二纲集.故k,使w 在某个开球Sx,r）中稠从而有W一S(x。,x）,而9=w,故m6一Sx。,r）, 因此r∈S,r)有x∈。从而Fe了有/≤.因此可以取开集U为： Sx,r=U,M=k,命题得证 (16)举例说明，在压缩映射原理中， 1)空间完备性条件不可少： 2)映射T所满足的条件不能代之以条件：dx,)0>a 因T为(Q,+)上的压缩映射，则T在0，+∞)没有不动点.否则，若T在(Q,+) 有不动点，可设x∈0，+)且为T的不动点，则有Tx=x。即 ar=x→自-aF=0→x=0E(0,+o)矛盾. 压缩映射T在0，+∞)没有不动点，是因为空间(Q,+0)不完备（由完备空间定义， 可以举例点列在0，+四)上，但收敛点0不在0，+内，所以0，+四不完 n 备) 2)作映射T:0,+o)→0，+o).x∈0，+o)(注：[0，+o)为R的闭子 空间，所以完备的) T水=x*+ 6

6 x  x X F x   A n   :  k  且 0 x x n  ， n  . 要证 x0  A ，即证 F x   k 0 . 由 0 x x n  ， n   且 F 连 续     0 F x F x  n  . 由 于 xn  A ， 故 Fxn  k  Fx0  k  x0  A . 故 x X : Fx  k 为闭集. 所以每一个 wk 为 闭集，而     k 1 X wk ，由于 X 完备，故由 Bair 纲定理知 X 是第二纲集. 故 0 k 使 0 wk 在某个开球 S(x 0 ,r) 中稠.从而有 w S x r  k 0 , 0  ，而 0 wk  wk ，故 w S x r  k 0 , 0  ， 因此 x S x ,r    0 有 0 wk x . 从而 F f ~   有   0 f x  k . 因此可以取开集 U 为: Sx 0 ,r   U ， 0 M  k ，命题得证. （16）举例说明，在压缩映射原理中， 1）空间完备性条件不可少； 2）映射 T 所满足的条件不能代之以条件： dTx,Ty dx, y 解 1）设 T : 0,    0,   且 Tx  x,x  0,   ，其中 0  1. 可以 看出 T 为 0,   上的压缩映射. 事实上 x,y  0,   有 dTx,Ty  TxTy  x y   dx, y dx, y， 1   因 T 为 0,   上的压缩映射，则 T 在 0,   没有不动点. 否则，若 T 在 0,   有不动点，可设 x  0,   且 为 T 的 不 动 点 ， 则 有 T x  x . 即 x  x  1  x  0  x  0  0,   矛盾. 压缩映射 T 在 0,   没有不动点，是因为空间 0,   不完备（由完备空间定义， 可以举例       n 1 点列在 0,   上，但收敛点 0 不在 0,   内，所以 0,   不完 备） 2）作映射 T : 0,    0,   . x  0,   （注： [0,  ) 为 1 R 的闭子 空间，所以完备的） x Tx x    1 1

映射T满足dx,y)<dx,y)x,y∈0，+o) 事实上， d(Tx,Ty)=Tx-Ty 周 1 x-y =K-y-0+x0+列 =k-0+0+可列 1 <x-=dk,y以 但T在[0，+o)没有不动点，否则设x∈b,+∞)有Tx=x,则 +1中xP+0, 矛盾 (18)设X是完备距离空间，T是X上到自身的映射，在闭球 B=xeX:do,x)sr}上，dx,y)≤6，y）且dx,x)k-h，其中 0≤0<1，证明T在B上有唯一不动点 证(1)证B完备：(2)T:B→B 1)因为BcX且B为闭，X完备，所以B完备. 2)xeB,下证TxeB.即证d(Tx,x)≤r 事实上， d(Tx.xo)<d(Tx.Txo)+d(Txo.xo) su(x,x。)+1-日r ≤0r+1-0r=可 (20)设X是紧距离空间，T是X上到自身的映射且满足条件：对x,y∈X

7 映射 T 满足 d Tx,Ty   d x,y ,x,y  0,   事实上, dTx,Ty  Tx Ty y y x x       1 1 1 1  x y x y x y       1 1  x y x y      1 1 1 1  x  y  dx, y. 但 T 在 [0,  ) 没有不动点，否则设 x  0,   有 T x  x ，则 0 1 1 1 1       x x x x , 矛盾. （18）设 X 是 完 备 距 离 空 间 ， T 是 X 上 到 自 身 的 映 射 . 在闭球 B  x X : dx0 , x  r 上 ， d Tx,Ty   d x,y  且 dx ,Tx   1 r 0 0 ，其中 0  1 ，证明 T 在 B 上有唯一不动点. 证 （1）证 B 完备；（2） T : B  B. 1）因为 B  X 且 B 为闭， X 完备, 所以 B 完备. 2） xB , 下证 Tx B. 即证 dTx x   r 0 , 事实上,       0 0 0 0 d Tx, x  d Tx,Tx  d Tx , x dx, x  1 r 0   r  1    r =r. （20）设 X 是紧距离空间， T 是 X 上到自身的映射且满足条件: 对 x, y X

当x≠y时，dy)<d(x,y).证明T在X上有唯一不动点. 证作fx)=d(x,Tx).下证f在X上连续 x,y∈X, af)f》)=fx)-fy) =ld(x.Tx)-d(y.Ty) ≤dx,y)+dTx,y) <2d(x.y) 由此可以看出f在X上连续（此时6取；，则(，川=-<6时， d(f(x),fr)<s)由于X为紧集，故∫在X上存在最小值（书本P,定理 1.6.6)不妨设x为f的最小值点，若f=0,则d(,T=0,有Tx=x.即 为T的不动点.若日≠0，考虑 rx)=drx.r3<d.r3=) 矛盾（与x为∫的最小值点矛盾） 下证：x不动点的唯一性.设x=Tx,乃=%，且x,≠%，则 dxoo)=dTx,T)<dxo,o） 矛盾 习题二(P) 1设(X,D是赋范空间，对于x,y∈X,令 0,x=乃 4=-川+hx*乃 证明d,是X上的距离但不是由范数诱导的距离。 证(1)只证d,满足三角不等式 8

8 当 x  y 时， dTx,Ty dx, y. 证明 T 在 X 上有唯一不动点. 证 作 f x  dx,Tx. 下证 f 在 X 上连续. x, y X , df x, f y  f x f y  dx,Tx dy,Ty  dx, y dTx,Ty  2dx, y. 由 此 可 以 看 出 f 在 X 上连续 ( 此 时  取 2  ， 则 dx, y  x  y   时 ， d(f(x),f(y ))   ). 由于 X 为紧集，故 f 在 X 上存在最小值(书本 29 p 定理 1.6.6 ). 不妨设 x 为 f 的最小值点，若 f x 0 ，则 dx,T x 0 ，有 T x  x . 即 x 为 T 的不动点. 若 f x 0 ，考虑 fT x dT x,T x dx,T x fx 2 , 矛盾 （与 x 为 f 的最小值点矛盾） 下证： x 不动点的唯一性. 设 0 0 0 0 x  Tx , y  Ty ，且 0 0 x  y ，则       0 0 0 0 0 0 d x , y  d Tx ,Ty  d x , y , 矛盾. 习题二 ( 57 p ) 1 设 X,   是赋范空间，对于 x, y  X ，令          1, . 0, ， 1 x y x y x y d 证明 1 d 是 X 上的距离但不是由范数诱导的距离. 证 （1）只证 1 d 满足三角不等式

同x,y∈X,若x=y,则 dk,ysd,k,)+d,(,y以，eex： ()x,y∈X,:∈X,若x≠y,则 d,ky)=-+1 ≤k-+-+1 ≤d,(x,+d(,y). 综合)()，d,是满足X上的距离中三角不等式，即d是X上的距离。 (1)当x≠y时 r-≠-州+1=d,(x以， 即d,不是由范数诱导的距离. 2在1中，按坐标定义线性运算且对x∈产，x=台：}定义=sup 证明：严是一个赋范空间 证明要证，D是一个赋范空间，即证川是I严上的一个范数，只需证H 是否满足非负性，齐次性，三角不等式成立即可。 1)对x∈1严中，=sup≥0，且=p5=0,当且仅当x=0,非 负性成立. 2)对eX及aeK,a=supa5}=asup形：}=a个（齐次性成立） 3)对x,y∈X,5+n≤l5+n, +=sup。+n.l≤sup5a+sup.l=+.(三角不等式) 即（严，）是一个赋范空间. 3设M是空间1严中除去有穷个坐标之外为0的元之全体构成的子空间，证 明M不是闭子空间. 证在M中取一点列，该点列的收敛点不在M中，即可得M不为闭空间

9 i x, y  X ，若 x  y ，则 d x, y d x,z d z, y 1  1  1 ，z  X ； ii x, y  X ，z  X , 若 x  y ，则 d1 x, y  x  y 1  x  z  z  y 1 d x,z d z, y  1  1 . 综合 i ii， 1 d 是满足 X 上的距离中三角不等式，即 1 d 是 X 上的距离. （1） 当 x  y 时 x y x y 1 d x, y      1 , 即 1 d 不是由范数诱导的距离. 2 在  l 中，按坐标定义线性运算且对  x  l ， x   k  定义 n n x  sup ， 证明：  l 是一个赋范空间. 证明 要证     l , 是一个赋范空间，即证  是  l 上的一个范数，只需证  是否满足非负性，齐次性，三角不等式成立即可. 1） 对   x  l 中， n n x  sup  0 ，且 n n x  sup   0 ，当且仅当 x  0 ，非 负性成立. 2） 对 x X 及   K ， x     x k n k n   sup   sup   . （齐次性成立） 3） 对 x, y  X ，  k k   k  k , x y x y n n n n n n n   sup   sup  sup   . （三角不等式） 即     l , 是一个赋范空间. 3 设 M 是空间  l 中除去有穷个坐标之外为 0 的元之全体构成的子空间，证 明 M 不是闭子空间. 证 在 M 中取一点列，该点列的收敛点不在 M 中，即可得 M 不为闭空间

取x}cM 玉侵岁。小 x。→0,0,0，.，0，}eM,n→0.因此M不是闭子空间. 4试举例说明，在赋范空间中，由∑x<∞，一般地不能推出∑x。收敛 解考虑：[0，)上连续函数的全体记为A,在A上定义函数H =l()dt,vx()e 4. 则H,是A上的范数，且(4HD)是赋范空间.取}cA,其中x)= t∈[0，]，则 -2山-2 而∑x=”,在1=1处发散，故2，在[0，】上不收敛 5设(K,D是赋范空间，X。是X中的稠密子集，证明对于每一x∈X,存 在化cX。,使得x=立x,并且小<m 证xeX,由于X,在X中稠密，故3，∈X,使-x<)且 x-x∈X.再由X。在X中稠密知，3x,∈X。使 e-x)小-x< 如此下去，得到X。中的点列{x},且有 -2品 令k→0，则∑4→x.即∑，=x

10 取 xn  M ， x M n n n         , 0,, 0, 3 1 , 2 1 , x n  0, 0, 0,  , 0,   M , n  . 因此 M 不是闭子空间. 4 试举例说明，在赋范空间中，由     n1 n x ，一般地不能推出   n1 n x 收敛. 解 考虑: [0, 1] 上连续函数的全体记为 A ，在 A 上定义函数 1  x xtdt   1 0 1 ，xt A, 则 1  是 A 上的范数，且 A,   是赋范空间. 取 xn  A ，其中   2 1  n x t t n t  [0, 1] ，则 x t dt n n n n         1 1 0 2 1 1      1 2 1 n n . 而         1 2 1 n 1 n n n x t ，在 t 1 处发散，故   n1 n x 在 [0, 1] 上不收敛. 5 设 X,   是赋范空间， X0 是 X 中的稠密子集，证明 对于每一 x X ，存 在   X0 xn  ，使得     n 1 n x x 并且     n1 n x . 证 x X ，由于 X0 在 X 中稠密，故 1 X0 x  使 2 1 x  x1  且 x  x1  X . 再由 X0 在 X 中稠密知， 2 X0 x  使   1 2 2 2 1 x  x  x  . 如此下去，得到 X0 中的点列 xn  ，且有 k n k k x x 2 1 1    . 令 k  ，则 x x n  k   1 . 即 x x n  n   1