《线性代数》课程授课教案（讲义）第一章 行列式

§1二阶、三阶行列式 问题的提出：解方程组是中学代数中一个最基本的问题，但在当时，我们能解决 的方程组未知数的个数很少，在本课程的学习中，我们希望通过用消元法求解二 个、三个未知数方程组，寻求一种有效的运算规律，将该规律推广到多个未知数 的情况，从而得到求解多元方程组的有效解法。 引例：对于二元线性方程组a出+a出=6， a21x+a22x2=b2, 当aa2-a,a1≠0时，通过消元法可得此方程组的唯一解，即 bananb: anb:-anb 3oyde-dabaa000. 通过上述解的形式，我们可以看到这两个解的很多共同点：分子分母都是四个数 运算得到的，分子分母都是两项，每一项都是两个数相乘。我们可否定义一种运 算形式，使得四个数经过运算后可以得到一种形式的结果，而且分子分母都可以 用这种形式表示出来。我们首先分析分母，分母可以通过线性方程组的四个系数 确定，我们把这四个系数位置不动排成：并令其结果为：=4,4-44 az an 表达式忆：有两行两列，（横排叫行，竖排叫列，我们将其称作二阶行列式。 注解：数a,0=1,2,j=1,2)称为行列式的元素或元，元素a,(=1,2,j=1,2)的第 个下标i称为行标，表明该元素位于第i行，第二个下标j称为列标，表明该元素 位于第1列，位于第1行第j列的元素称为行列式的（亿，）元。 二阶行列式的计算可用对角线法则来记忆，把a,到a2的联线称为主对角 线，a,到a,的联线称为副对角线，于是二阶行列式便是主对角线上的两元素之 积减去副对角线上两元素之积所得之差。 于是上述方程组得解可以用二阶行列式表示为： 当二阶行列式2：≠0时，该方程组有唯一解，即

§1 二阶、三阶行列式 问题的提出：解方程组是中学代数中一个最基本的问题，但在当时，我们能解决 的方程组未知数的个数很少，在本课程的学习中，我们希望通过用消元法求解二 个、三个未知数方程组，寻求一种有效的运算规律，将该规律推广到多个未知数 的情况，从而得到求解多元方程组的有效解法。 引例：对于二元线性方程组 î í ì + = + = , , 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 当 0 a11a22 - a12a21 ¹ 时，通过消元法可得此方程组的唯一解，即 , . 11 22 12 21 11 2 12 1 2 11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a a b a b x a a a a b a a b x - - = - - = 通过上述解的形式，我们可以看到这两个解的很多共同点：分子分母都是四个数 运算得到的，分子分母都是两项，每一项都是两个数相乘。我们可否定义一种运 算形式，使得四个数经过运算后可以得到一种形式的结果，而且分子分母都可以 用这种形式表示出来。我们首先分析分母，分母可以通过线性方程组的四个系数 确定，我们把这四个系数位置不动排成： 11 12 21 22 a a a a 并令其结果为： 11 22 12 21 = - a a a a 表达式 11 12 21 22 a a a a 有两行两列，（横排叫行，竖排叫列），我们将其称作二阶行列式。 注解：数 ( 1,2; 1, 2) ij a i j = = 称为行列式的元素或元，元素 ( 1, 2; 1, 2) ij a i j = = 的第一 个下标i称为行标，表明该元素位于第i 行，第二个下标 j 称为列标，表明该元素 位于第 j 列，位于第i 行第 j 列的元素称为行列式的(i j , ) 元。 二阶行列式的计算可用对角线法则来记忆，把 11 a 到 22 a 的联线称为主对角 线， 12 a 到 21 a 的联线称为副对角线，于是二阶行列式便是主对角线上的两元素之 积减去副对角线上两元素之积所得之差。 于是上述方程组得解可以用二阶行列式表示为： 当二阶行列式 0 21 22 11 12 ¹ a a a a 时，该方程组有唯一解，即

6.a 例：解方程组3-2=12 2x1+X=1 [aux +anxz +ax;=b, 引例：设有三元线性方程组{a1x+a22+a23=b,我们通过消元法求解该方 (ax+axx2+ax3=b. 程组，得到方程组得三个解分母具同一的形式： a14z4+a24241+a,a2142-a,4431-a2a14-a14,a 分子同样具有和分母一样的形式，只是每一项中参加运算的三个数有差别。我们 同样希望定义一种运算形式，而且分子分母都可以用这种运算形式表示出来。我 an an2 a 们将三元线性方程组的九个系数位置不动排成如下形式：凸：：a,并令 as an as 其结果为： anan a aa an a=++dudadn-dndzd-dndadss-ddd as an ass an dn dus 称表达式a1a2a为三阶行列式。 anan dss 1201 例：求1-4-的值。 183 123到 例：求D=456的值 789 111 例：求解方程23x=0 49x2

21 22 11 12 21 2 11 1 2 21 22 11 12 2 22 1 12 1 , a a a a a b a b x a a a a b a b a x = = . 例：解方程组 1 2 1 2 3 2 12 2 1 x x x x ì - = í î + = 引例：设有三元线性方程组 ï î ï í ì + + = + + = + + = . , , 31 1 32 2 33 3 3 21 1 22 2 23 3 2 11 1 12 2 13 3 1 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 我们通过消元法求解该方 程组，得到方程组得三个解分母具同一的形式： 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 a a a + a a a +- a a a a a a a a a a a a 分子同样具有和分母一样的形式，只是每一项中参加运算的三个数有差别。我们 同样希望定义一种运算形式，而且分子分母都可以用这种运算形式表示出来。我 们将三元线性方程组的九个系数位置不动排成如下形式： 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a ，并令 其结果为： 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a 11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 12 21 33 13 22 31 = a a a + + a a a a a a - a a a - - a a a a a a 称表达式 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a 为三阶行列式。 例：求 201 1 4 1 1 8 3 - - - 的值。 例：求 1 2 3 4 5 6 789 D = 的值。 例：求解方程 2 1 1 1 2 3 0 4 9 x x =

当三阶行列式D=4,aza≠0时，上述三元线性方程组有唯一解，解为 an b as 其中D=h2a2a·D2=a1ha,D=a1azb 「x1-2x2+x3=-2, 例：解线性方程组2x,++-3=1 -x+52-3=0. §2全排列及其逆序数 定义：由1,2，.，n这n个数组成的一个有序数组称为一个n级排列. 定义：显然12.n也是一个n级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺 序排起来的：其它的排列或多或少地破坏自然顺序.我们将12n这个排列称作 标准排列。 定义：在一个排列中，一个元素前面比这个元素本身大的元素个数叫做这个元素 的逆序数。一个排列中所有元素的逆序数的总和就称为这个排列的逆序数。 结论：排列j2.jn的逆序数记为tU2.j) 定义：逆序数为偶数的排列称为偶排列：逆序数为奇数的排列称为奇排列. 例：计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性。 (1)21798635(2)n(n-1)(n-2).321 (3)(2k)1(2k-1)2(2k-2)3(2k-3)(k+1)k 对换 定义：把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列， 这样一个变换称为一个对换. 定义：若参加对换的两个元素相邻，我们叫做相邻对换。 结论：如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了。 结论：一个对换把全部n级排列两两配对，使每两个配成对的n级排列在这个对 换下互变 定理：对换改变排列的奇偶性

当三阶行列式 11 12 13 21 22 23 31 32 33 0 a a a D a a a a a a = ¹ 时，上述三元线性方程组有唯一解，解为 1 1 D x D = ， 2 2 D x D = ， 3 3 D x D = 其中 1 12 13 1 2 22 23 3 32 33 b a a D b a a b a a = . 11 1 13 2 21 2 23 31 3 33 a b a D a b a a b a = ， 11 12 1 3 21 22 2 31 32 3 a a b D a a b aab = 例：解线性方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2, 2 3 1, 0. x x x x x x x x x ì - + = - ï í + + - = ï î - + - = §2 全排列及其逆序数 定义：由1,2,L,n这n 个数组成的一个有序数组称为一个 n 级排列. 定义：显然12Ln 也是一个n 级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺 序排起来的；其它的排列或多或少地破坏自然顺序.我们将12Ln 这个排列称作 标准排列。 定义：在一个排列中，一个元素前面比这个元素本身大的元素个数叫做这个元素 的逆序数。一个排列中所有元素的逆序数的总和就称为这个排列的逆序数. 结论：排列 n j j L j 1 2 的逆序数记为 ( ) 1 2 n t j j L j 定义：逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列. 例：计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. （1）21798635 （2）n(n n - - 1)( 2)L321 （3）(2k )1(2k -1) 2(2k - 2 3) (2k - + 3 1 )L(k k) 对换 定义：把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列. 这样一个变换称为一个对换. 定义：若参加对换的两个元素相邻，我们叫做相邻对换。 结论：如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了. 结论：一个对换把全部 n 级排列两两配对，使每两个配成对的n 级排列在这个对 换下互变. 定理：对换改变排列的奇偶性

推论：这就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列。 推论：在全部n级排列排列中，奇、偶排列的个数相等，各有2个。 定理：任意一个n级排列都可以经过一系列对换变成标准排列12n,并且所作 对换的个数与这个排列具有相同的奇偶性。 结论：奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数 为偶数。 §3n级行列式 回顾：通过二元三元方程组的求解过程，可以看到，从二阶行列式到三阶行列式， 项数改变了很多，那么我们看能否寻求规律将行列式的概念推广到n阶呢。我们 首先考虑它们展开项的性质： 三阶行列式具有以下特点： (1)三阶行列式值的每一项都是由位于不同行，不同列的三个元素的乘积，除 去符号，每项的三个元素按它们在行列式中的行的顺序排成aaaa,其中第 一个下标（行标）都按自然顺序挂列成123，而第二个下标（列标）排列成PP, 它是自然数1,2,3的某个排列：而1,2,3的排列方式共计只有六种。 (2)各项所带的符号只与列标的排列有关：带正号的三项列标排列： 123,23L,312:带负号的三项列标排列是：132,213,321。由上节知，前三个排列 为偶排列，而后三个排列为奇排列，因此各项所带符号可以表示为(~Y,其中 1为列标排列的逆序数： (3)因1,2,3共有31=6个不同的排列，所以对应行列式右端是6项的代数和。 anan as 因此，三阶行列式可以写成aaaa=∑-ya44n as an ass 其中1为排列APP的逆序数，即1=t(n,PP:),上式表示对1,2,3三个数的所有 排列乃PP求和. 我们自然想将该性质推广到阶行列式上，我们定义：

推论：这就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列。 推论：在全部n 级排列排列中，奇、偶排列的个数相等，各有n!/ 2 个。 定理：任意一个 n 级排列都可以经过一系列对换变成标准排列12Ln ，并且所作 对换的个数与这个排列具有相同的奇偶性。 结论：奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数 为偶数。 §3 n 级行列式 回顾：通过二元三元方程组的求解过程，可以看到，从二阶行列式到三阶行列式， 项数改变了很多，那么我们看能否寻求规律将行列式的概念推广到 n 阶呢。我们 首先考虑它们展开项的性质： 三阶行列式具有以下特点： （1）三阶行列式值的每一项都是由位于不同行，不同列的三个元素的乘积，除 去符号，每项的三个元素按它们在行列式中的行的顺序排成 1 2 3 1p 2 3 p p a a a ，其中第 一个下标（行标）都按自然顺序排列成123，而第二个下标（列标）排列成 123 p p p ， 它是自然数1, 2,3的某个排列；而1, 2,3的排列方式共计只有六种。 （2）各项所带的符号只与列标的排列有关：带正号的三项列标排列： 123, 231,312；带负号的三项列标排列是：132, 213,321。由上节知，前三个排列 为偶排列，而后三个排列为奇排列，因此各项所带符号可以表示为( 1)t - ，其中 t为列标排列的逆序数； （3）因1, 2,3共有3! 6 = 个不同的排列，所以对应行列式右端是 6 项的代数和． 因此，三阶行列式可以写成 123 11 12 13 21 22 23 1 2 3 31 32 33 ( 1)t p p p a a a a a a a a a a a a = - å 其中t 为排列 123 p p p 的逆序数，即 1 2 3 t =t ( ) p p p ，上式表示对1, 2,3三个数的所有 排列 1 2 3 p p p 求和． 我们自然想将该性质推广到n 阶行列式上，我们定义：

aiaa =∑(-y aid.am a1a2.anm 令=4，我们看该结论可否应用于四元方程组。通过验证，我们可以发现用消 元法得到的解和用行列式计算的结果是一样的。由此我们定义： aa.a ana2.am 为n阶行列式，并记作D=dct(a,),通过该行列式去求解n元线性方程组 a1+a2x2+.+anxm=b, an+ax3+.+axn=b2, ”卡卡月车方车方”卡1 ax1+a2x2+.+Amaxa=b 但是在求解之前，我们首先需要考虑的问题是n阶行列式如何计算，因为阶行 列式地展开式共有l项，每项有个元素相乘，这个计算量还是很大的，我们希 望寻求一种简单的方法来求解，我们首先求解几个特殊的行列式，通过这些行列 式的求解，我们去寻求一般行列式的解法。 推广：在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，把个元素按行指标排起来. 事实上，数的乘法是交换的，因而这个元素的次序是可以任意写的，一般地， 级行列式中的项可以写成aaha,其中中.i,j2.jn是两个n级排列. 利用排列的性质，每一项的符号等于(-)*：)，按上式来决定行列式中 每一项的符号的好处在于，行指标与列指标的地位是对称的，因而为了决定每 项的符号，同样可以把每一项按列指标排起来，于是定义又可以写成 aa.a =∑laa42.a 例：计算上三角形行列式 9. =aa2.a 00.am

1 2 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 ( 1) n n n t p p np n n nn a a a a a a a a a a a a = - å L L L M M M L 令 n = 4 ，我们看该结论可否应用于四元方程组。通过验证，我们可以发现用消 元法得到的解和用行列式计算的结果是一样的。由此我们定义： 1 2 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 ( 1) n n n t p p np n n nn a a a a a a a a a a a a = - å L L L M M M L 为 n 阶行列式，并记作 det( ) D aij = ，通过该行列式去求解n 元线性方程组 ï ï î ï ï í ì + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b L LLLLLLLLLLLL L L 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 , , 但是在求解之前，我们首先需要考虑的问题是 n 阶行列式如何计算，因为n 阶行 列式地展开式共有n!项，每项有 n 个元素相乘，这个计算量还是很大的，我们希 望寻求一种简单的方法来求解，我们首先求解几个特殊的行列式，通过这些行列 式的求解，我们去寻求一般行列式的解法。 推广：在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，把个元素按行指标排起来. 事实上，数的乘法是交换的，因而这个元素的次序是可以任意写的，一般地，n 级行列式中的项可以写成 n n ai j ai j Lai j 1 1 2 2 ,其中 n n i i Li j j L j 1 2 1 2 , 是两个 n 级排列. 利用排列的性质，每一项的符号等于 ( ) ( ) 1 2 1 2 ( 1) n n t i i Li +t j j Lj - ，按上式来决定行列式中 每一项的符号的好处在于，行指标与列指标的地位是对称的，因而为了决定每一 项的符号，同样可以把每一项按列指标排起来，于是定义又可以写成 = å - n n n i i i i i i n i i i n n nn n n a a a a a a a a a a a a L L L L M M M L L 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 21 22 2 11 12 1 ( 1) t 例：计算上三角形行列式 11 12 1 22 2 11 22 0 0 0 n n nn nn a a a a a a a a a = L L L M M M L

a.alam 例：计算行列式9()学a4a a.00 la10. 0 计算行列试” =a1az.am aian2.a 0.0 例：计算行列式0.4 .· 10001 例：计算行列式D=0020 0300 4000 例：计算行列式D= a22 例：计算行列式D三 a2- a 为了求解一般的阶行列式，我们首先讨论行列式的性质，尽量将其划为特殊的 n阶行列式来求解。 §4行列式的性质 问题的引入：通过前面的讨论，我们看到，对于阶行列式的计算，几种特殊的 行列式（对角行列式，三角行列式）我们很容易计算，但是对于一般的阶行列 式，计算起来很困难，因为展开式共有项，每一项是n个元素的乘积。本节 通过讨论行列式的性质，我们寻求办法将一般的行列式化简称特殊的行列式来进 行计算

例：计算行列式 11 1 1 1 ( 1) 21 2 1 2 1 2 1 1 1 0 ( 1) 0 0 n n n n n n n n n a a a a a a a a a - - - = - - L L L M M M L 例：计算行列式 11 21 22 11 22 1 2 0 0 0 nn n n nn a a a a a a a a a = L L L M M M L 例：计算行列式 1 ( 1) 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 0 0 0 ( 1) n n n n n n n n n nn nn a a a a a a a a a - - - - = - L L L M M M L 例：计算行列式 0 0 0 1 0 0 2 0 0 300 4 0 0 0 D = 例：计算行列式 11 22 nn a a D a = O 例：计算行列式 1 2, 1 1 n n n a a D a - = N 为了求解一般的n 阶行列式，我们首先讨论行列式的性质，尽量将其划为特殊的 n 阶行列式来求解。 §4 行列式的性质 问题的引入：通过前面的讨论，我们看到，对于 n 阶行列式的计算，几种特殊的 行列式（对角行列式，三角行列式）我们很容易计算，但是对于一般的n 阶行列 式，计算起来很困难，因为展开式共有 n!项，每一项是 n 个元素的乘积 。本节 通过讨论行列式的性质，我们寻求办法将一般的行列式化简称特殊的行列式来进 行计算

a1a.an a1a21.aa 记：D=1a.4 D'=2a2. a。am.a 行列式D称为D得转置行列式。 性质1：行列式与它的转置行列式相等 结论：根据性质1，我们可以得到，行列式中行与列具有同等重要的地位。 性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论1：如果行列式有两行（列）对应元素相等，行列式的值等于零。 性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个常数k,等于用数k乘 .aw 此行列式。kaaa2 a2. 。 dm d2.da dd2.anm 推论1：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。 推论2：以一个数乘行列式相当于用这个数乘此行列式的某一行。 性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零 性质5：若行列式D的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式可以写成 两个行列式之和： 9, .aaa1a.amaa2aa +b2+c2.b+cb.bn+ CC aala2.an 性质6：把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一个数然后加到另一行（列） 对应的元素上去，行列式不变。 a11 a12 aa1a2.ana1a2.am b+G1b2+C2.bn+cn日 b .anm a a (c,=k=1,2,.,m〉

记： 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a D a a a = L L M M M L ， 11 21 1 12 22 2 1 2 n T n n n nn a a a a a a D a a a = L L M M M L 行列式 T D 称为 D得转置行列式。 性质 1：行列式与它的转置行列式相等。 结论：根据性质 1，我们可以得到，行列式中行与列具有同等重要的地位。 性质 2：互换行列式的两行（列）,行列式变号。 推论 1：如果行列式有两行（列）对应元素相等，行列式的值等于零。 性质 3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个常数k ，等于用数k 乘 此行列式。 n n nn i i in n n n nn i i in n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a L M M M L M M M L L M M M L M M M L 1 2 1 2 11 12 1 1 2 1 2 11 12 1 = 推论 1：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。 推论 2：以一个数乘行列式相当于用这个数乘此行列式的某一行。 性质 4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。 性质 5：若行列式 D 的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式可以写成 两个行列式之和： n n nn n n n n nn n n n n nn n n n a a a c c c a a a a a a b b b a a a a a a b c b c b c a a a L M M M L M M M L L M M M L M M M L L M M M L M M M L 1 2 1 2 11 12 1 1 2 1 2 11 12 1 1 2 1 1 2 2 11 12 1 + + + = + 。 性质 6：把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一个数然后加到另一行（列） 对应的元素上去，行列式不变。 n n nn n n n n nn n n n n nn n n n a a a c c c a a a a a a b b b a a a a a a b c b c b c a a a L M M M L M M M L L M M M L M M M L L M M M L M M M L 1 2 1 2 11 12 1 1 2 1 2 11 12 1 1 2 1 1 2 2 11 12 1 + + + = + （ ( 1, 2, , ) i ji c = = ka j n L ）

根据行列式的上述性质，我们可以把一个一般的行列式化为上（下）三角行列式进 行计算 abb.b bab.b 例：计算n级行列式d=bba.b (把所有的列加到第一列) ξξξ bbb.a -231 例：计算行列式503201298 523 例：一个n级行列式，假设它的元素满足a,=-a,i,j=1,2,n，证明，当n 为奇数时，此行列式为零。（看它的转置和原来行列式的关系，每一行提个符号） -25-13 例：计算！-9137 3-15-5 28-7-10 |11-12 例：计算D=-14 24-61 12 42 d 例：计算D=口a+b a+b+c a+b+c+d a 2a+b 3a+2b+c 4a+3b+2c+d a 3a+b 6a+3b+c 10a+6b+3c+d 1 -1 1x- 例：计算 -1 1 -1 1x-11 -1 (所有行减第一行，所有列加到最后一列) x+1-1 -1 注意：行列式的化简要注意各个运算次序一般来说不能颠倒，因为后一次运算是 作用在前一次运算结果上。 §5行列式按行（列）展开 问题的引入：证明

根据行列式的上述性质，我们可以把一个一般的行列式化为上(下)三角行列式进 行计算 例：计算n 级行列式 b b b a b b a b b a b b a b b b d L M M M M L L L = （把所有的列加到第一列） 例：计算行列式 5 2 3 503 201 298 - 2 3 1 . 例：一个n 级行列式，假设它的元素满足 a a i j n ij ji = - , , = 1,2,L, , 证明，当 n 为奇数时，此行列式为零。（看它的转置和原来行列式的关系，每一行提个符号） 例：计算 2 8 7 10 3 1 5 5 1 9 13 7 2 5 1 3 - - - - - - - 例：计算 1 1 1 2 1 1 4 1 2 4 6 1 1 2 4 2 D - - - - = - 例：计算 2 3 2 4 3 2 3 6 3 10 6 3 a b c d a a b a b c a b c d D a a b a b c a b c d a a b a b c a b c d + + + + + + = + + + + + + + + + + + + 例：计算 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x - - - + - - - + - - （所有行减第一行，所有列加到最后一列） 注意：行列式的化简要注意各个运算次序一般来说不能颠倒，因为后一次运算是 作用在前一次运算结果上。 §5 行列式按行(列) 展开 问题的引入：证明

a.at0.0 ak1.at0.0 b.b .bn 在上述问题的证明过程可以看到，若行列式满足一定的条件，我们可以把一个高 阶的行列式变成几个低阶的行列式来求解，现在我们将上述问题推广。令k=1。 根据行列式的展开来证明下式是否成立。 aaa2.aaaaa.am 根据上式可以看到，若行列式的第一行中第一个元素非零，第一行中其他的元素 全都是零，我们可以把求解一个n阶行列式的问题化为求解一个n-1阶行列式的 问题，这大大简化了计算步骤。 我们比较一下下面两个行列式： 0a1.0 0.0 a2aal.am a1a2.am 我们可以看到，我们将行列式的第一列和第二列互换后，行列式的值相差一个符 aag.am 个行列式的值都可以通过a和“来求解，我们将元麦 aa.am 在的行列元素别除之后得到的n-1阶行列式 a .a .d- .al- 称为元素a的余子式，记作M,可 是通过上面的两个式子可以看到

r rr r k kk k r rk r rr k r k kk k b b b b a a a a c c b b c c b b a a a a L M M L L M M L L L M M M M L L L L M M M M L L 1 11 1 1 11 1 1 1 11 1 11 1 1 11 1 0 0 0 0 = 在上述问题的证明过程可以看到，若行列式满足一定的条件，我们可以把一个高 阶的行列式变成几个低阶的行列式来求解，现在我们将上述问题推广。令 k =1。 根据行列式的展开来证明下式是否成立。 11 21 22 2 1 2 0 0 n n n nn a a a a D a a a = L L M M M L 22 23 2 32 33 3 11 2 3 n n n n nn a a a a a a a a a a = L L M M M L 根据上式可以看到，若行列式的第一行中第一个元素非零，第一行中其他的元素 全都是零，我们可以把求解一个n 阶行列式的问题化为求解一个 n -1阶行列式的 问题，这大大简化了计算步骤。 我们比较一下下面两个行列式： 11 22 21 2 1 2 1 0 0 n n n nn a a a a D a a a = L L M M M L ， 11 21 22 2 2 1 2 0 0 n n n nn a a a a D a a a = L L M M M L 我们可以看到，我们将行列式的第一列和第二列互换后，行列式的值相差一个符 号，两个行列式的值都可以通过 11 a 和 22 23 2 32 33 3 2 3 n n n n nn a a a a a a a a a L L M M M L 来求解，我们将元素 ij a 所 在的行列元素删除之后得到的n -1阶行列式 n n j n j nn i i j i j i n i i j i j i n j j n a a a a a a a a a a a a a a a a L L M M M M L L L L M M M M L L 1 , 1 , 1 1,1 1, 1 1, 1 1, 1,1 1, 1 1, 1 1, 11 1, 1 1, 1 1 - + + + - + + + - - - - + - - + 称为元素 ij a 的余子式，记作 Mij ，可 是通过上面的两个式子可以看到

70 d. 0 a10.0 的值都和a,与M,有关，但是， 两个行列式的值确互为相反数，所以，只有M,还是不够的，我们将(-1M,=A 叫做元素a,的代数余子式。 引理：一个n阶行列式D,如果其中元素a,所在的行或列中除了a,为非零元素 外，其他的元素都为零，那么该阶行列式D的值可以表示为： D=aAy 定理：行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之 和，即对于n级行列式，有 =au41+a242+.+anAn,i=l,2,.,n dd2.am D=a14+a242+.+anAn(（i=l,2,.,n） 或 D=a,4,+ay4+.+a4w(j=l2,.,n） 这个定理叫做行列式按行（列）展开法则。利用该法则可以简化行列式的计算。 |31-1251-11 -513-4 -1113-1 例：D= 201-1月0010 1-53-3-5-530 |51151 =-11-620=-62 -82=40 -5-50-5-50 -5-50-5 53-120 17 2 2 例：D=0-2 3 1 0 0-4-1 4 0 0235 0 例：证明范德蒙德(Vandermonde)行列式

11 22 21 2 1 2 1 0 0 n n n nn a a a a D a a a = L L M M M L ， 11 21 22 2 2 1 2 0 0 n n n nn a a a a D a a a = L L M M M L 的值都和 11 a 与 M11有关，但是， 两个行列式的值确互为相反数，所以，只有 M11还是不够的，我们将( 1)i j M A ij ij + - = 叫做元素 ij a 的代数余子式。 引理：一个n 阶行列式 D ，如果其中元素 ij a 所在的行或列中除了 ij a 为非零元素 外，其他的元素都为零，那么该n 阶行列式 D的值可以表示为： D ij ij = a A 定理：行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之 和，即对于n 级行列式，有 a A a A a A i n a a a a a a a a a i i i i in in n n nn i i in n , 1,2, , 1 1 2 2 1 2 1 2 11 12 1 L L L M M M M L M M L = + + + = . D i1 i1 i2 2i in in = a A + a A + + L a A (i n =1,2, , L ) 或 D 1 j 1 j 2 2 j j nj nj = a A + a A + + L a A ( j n =1, 2, , L ) 这个定理叫做行列式按行（列）展开法则。利用该法则可以简化行列式的计算。 例： 3 1 1 2 5 1 3 4 2 0 1 1 1 5 3 3 D - - - = - - - = 5 1 1 1 11 1 3 1 0 0 1 0 5 5 3 0 - - - - - 3 3 5 1 1 ( 1) 11 1 1 5 5 0 + = - - - - - = 5 1 1 620 5 5 0 - - - 1 3 6 2 ( 1) 5 5 + - = - - - 8 2 0 5 - = - = 40 例： D = 0 2 3 5 0 0 4 1 4 0 0 2 3 1 0 1 7 2 5 2 5 3 1 2 0 - - - - 例：证明范德蒙德(Vandermonde)行列式