《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第五章 相似矩阵及二次型5.5 二次型及其标准形（含第五章复习）

§5二次型及其标准形

§5 二次型及其标准形

、二次型的背景 二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方 程为标准形的问题，这一理论在数理统计、物理、力学及现代 控制理论等诸多领域都有很重要的应用。在解析几何中，我们曾 经学过二次曲线及二次曲面的分类，以平面二次曲线为例，当坐 标原点与中心重合时，有心二次曲线的一般方程为： ax2 +2bxy+cy2 f 为研究这个二次曲线的几何性质，可用适当的坐标旋转变换×： x=x'cos0-y'sin y=x'sin0+y'cos0 把方程化为标准形：x2+ny2=1 X

二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方 程为标准形的问题，这一理论在数理统计、物理、力学及现代 控制理论等诸多领域都有很重要的应用。在解析几何中,我们曾 经学过二次曲线及二次曲面的分类,以平面二次曲线为例,当坐 标原点与中心重合时，有心二次曲线的一般方程为： 2 2 ax bxy cy f + + = 2 为研究这个二次曲线的几何性质，可用适当的坐标旋转变换：    =  +  =  −      sin cos cos sin y x y x x y 把方程化为标准形： 2 2 mx ny   + =1 Y  X Y＇ p o y x` y` x  x

上式的左端是一个二次齐次多项式，从代数学的观点看， 化标准形的过程实质是通过变量的线性变换化简一个二次齐 次多项式使其只含平方项。 这样一个问题，不但在几何学上常遇到，而且在其它领域 也常出现，比如物理（动能与势能）、微分几何（曲面的法 曲率)、经济学（效用函数）和统计学（置信椭圆）等。通 过研究二次型，我们很容易掌握这些实际问题的数学背景。 为了讨论问题的方便，这里只考虑二次齐次多项式

上式的左端是一个二次齐次多项式，从代数学的观点看， 化标准形的过程实质是通过变量的线性变换化简一个二次齐 次多项式使其只含平方项。 这样一个问题，不但在几何学上常遇到，而且在其它领域 也常出现，比如物理（动能与势能）、微分几何（曲面的法 曲率）、经济学（效用函数）和统计学（置信椭圆）等。通 过研究二次型，我们很容易掌握这些实际问题的数学背景。 为了讨论问题的方便，这里只考虑二次齐次多项式

定义1含有n个变量x1,x2,xn的二次齐次函数 f(,x2,.x)=4X+2a2XX3+.+2 4XXn +a2++24n3xn ++amx号 称为二次型.为方便起见，二次型简记为f。 当a是复数时，称为复二次型； 当a是实数时，称为实二次型

2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 2 22 2 2 2 2 ( , , ) 2 2 2 n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x a x x a x = + + + + + + + + 称为二次型.为方便起见，二次型简记为f。 定 义1 含 有n个变量x1 , x2 ,  , xn的二次齐次函数 当a 是复数时, f称为 ; ij 复二次型 当a 是实数时, f称为 . ij 实二次型

定义2.如果二次型中只含有平方项，即 f()=kx+kx 称为二次型的标准形（或法式)。 若标准形中k,k2,.kn只能取1、-1或0，则 f=x+x号++x2-x2-x号 称其为二次型的规范形

定义2. 如果二次型中只含有平方项,即 2 2 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) n n n f x x x k x k x k x = + + + 称为二次型的标准形（或法式）。 若标准形中 只能取1、-1或0，则 称其为二次型的规范形。 1 2 , , n k k k 2 2 2 2 2 1 2 1 p p r f x x x x x = + + + − − − +

例1：判断下列多项式是否是二次型： f(x,x2,x3)=x2+4x+4x f(x,y,2)=2x2+2xy-3xz+y2+4z-V5z2 f(x,y)=x2+3xy+3y2-2x+1 f(x,y,z)=2x3+2y-4z-3z2-1

例1： 判断下列多项式是否是二次型: ( ) 222 1 2 3 1 2 3 2 2 2 , , 4 4 ( , , ) 2 2 3 4 3 f x x x x x x f x y z x xy xz y yz z = + + = + − + + − 2 2 3 2 ( , ) 3 3 2 1 ( , , ) 2 2 4 3 1 f x y x xy y x f x y z x xy yz z = + + − + = + − − −

定义3.设x1,x2,.,xm乃，2，.，y,m是两组变量，则下面的关系式 X1=Cy+C12》2+.+C1nyn X2=C2+C22y2++C2nyn X=Cny+Cn22++Cmyn 称为从变量1，y2,“,yn到X1,X2,Xm 的一个线性变换，简称线性变换。如果系数行列式©，≠0 则此线性变换就称为可逆的或是非退化的，且线性变换与 系数矩阵是一一对应的

1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n nn n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y  = + + +   = + + +    = + + +  1 2 1 2 , , , ; , , , n n 定义3. 设 x x x y y y 是两组变量,则下面的关系式 1 2 , , , n y y y 1 2 , , , n x x x 0 ij c  到 的一个线性变换,简称线性变换。如果系数行列式 则此线性变换就称为可逆的或是非退化的，且线性变换与 系数矩阵是一一对应的。 称为从变量

三、二次型的矩阵表示佐和秩 对于定义1中的二次型： f(X1,X2,.,xn)=a1x2+2a12xx2+.+2anxx +a22x22+2a23x2x3++2anx2xn ++an-l-1X+2an-X-1X+amxn2 若令a,=ai,则有2a,x,x,=ayX,X;+anX 于是上式可以改写为： f(x,x2,.,xn)=ax2+42xx2+.+AuXXn +a2125+a2232+.+a2n2xn ++an+a++ax2=2a, =x1(a11X1+a12X2+.+a1nXn) +x2(421x1+42X2+.+a2mXn) +.+Xn(an1X1+an2X2+.+amXn）

三、二次型的矩阵表示法和秩 对于定义1中的二次型： 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 2 22 2 23 2 3 2 2 2 2 1, 1 1 1, 1 ( , , , ) 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x a x − − − − − = + + + + + + + + + + + ij ji a a = 2 ij i j ij i j ji j i 若令 , 则有 a x x a x x a x x = + 于是上式可以改写为： 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 2 21 2 1 22 2 2 2 2 1 1 2 2 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 , 1 ( , , , ) ( ) ( ) ( ) n ij i j i j n n n n n n n n n nn n n n n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a a x x x = = + + + + + + + + + + + + = = + + + + + + + + + + + + 

41X1+a12x2+.+a1nXm a21X1+a22X2+.+a2nXm =(x1,x2,.,Xn） . aman2x2+amxn a a12 X a21 a22 =(x1,X2,.,Xn） : am an2 a11 a12 n 记 a21 a22 X2 A= ,X= an an2 ann 则二次型可记为 f=x"Ax 其中A是对称矩阵.称上式为二次型的矩阵形式

11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 2 1 1 2 2 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n n n n n n nn n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x x x x a x a x a x a a a x a a a x x x x a a a x   + + +   + + +   =       + + +             =             11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 , n n n n nn n a a a x a a a x A x a a a x         = =                 记 T 则二次型可记为 f x x = A 其中A是对称矩阵. 称上式为二次型的矩阵形式

例2.（1）二次型f(x,y,z)=2x2+2xy-3xz+y2+4z-√5z2 21 - 的矩阵形式为f(x,y,z)=(x,y,z)11 2 25 1-22） (2)给定对称阵 A= -2-2 4,则其对应二次型为 24 -2 f(x1,x2,3)=x2-4xx2+4xx3+8x2x3-2x22-2x3 说明：(1)任给一个二次型就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称 矩阵也唯一确定一个二次型。因此， 一一对应 二次型f← 对称矩阵A

3 2 3 2 2 1 ( , , ) ( , , ) 1 1 2 2 3 x f x y z x y z y z   −      =       − −     2 2 2 1 2 3 1 1 2 1 3 2 3 2 3 f x x x x x x x x x x x x ( , , ) 4 4 8 2 2 = − + + − − 2 2 2 例2.（1） 二次型 f x y z x xy xz y yz z ( , , ) 2 2 3 4 3 = + − + + − 的矩阵形式为 1 2 2 2 2 4 2 4 2 A   −   = − −       − （2）给定对称阵 ，则其对应二次型为 说明:（1）任给一个二次型就唯一地确定一个对称矩阵；反之,任给一个对称 矩阵也唯一确定一个二次型。因此, 二次型 f 对称矩阵 A 一一对应