《微分几何》课程教学资源（PPT课件）第二章 曲面论 2.6 曲面上的测地线

第六节曲面上的测地线平面上的直线（1）任一点的切向量平行：：（2）曲率为0：（3）直线段是连接点与点之间的最短线段。曲面上的测地线相当于平面上的直线6.1曲面上曲线的测地曲率一、测地曲率的定义给定曲面S：=r(u,u2)，（c）是曲面上的一曲线：u=u~(s)在曲线上一点P有：#.n=kβ.n=cosO=,令n×α=ε，则n,α,ε是两两正交的单位向量且成右手系，n,β,,都在P点的法面上

第六节 曲面上的测地线 平面上的直线（1）任一点的切向量平行；（2）曲率为0； （3）直线段是连接点与点之间的最短线段。 曲面上的测地线相当于平面上的直线。 6.1 曲面上曲线的测地曲率 一、测地曲率的定义 给定曲面S： （c）是曲面上的一曲线： 在曲线上一点 P 有： 令 ，则 是两两正交的单位向量且成右手系， 都在 P 点的法面上。 ( , ), 1 2 r r u u   = u u (s)  = n n n r  =  = cos =           n =      n, ,        n, ,

定义：曲线（c）在P点的曲率向量=k在上的投影（即在S上P点的切平面上的投影）k.=.=kβ.称为曲线在P点的测地曲率。(C*)厅

定义：曲线（c）在 P 点的曲率向量 上的投影（即在 S上P点的切平面上的投影） 称为曲线在 P 点的测地曲率。      r = k 在          k = r  = k  g

二、性质命题1:k2=k+kz证明: k, =kβ.ε=kβ.(nxa)=k(β,n,a)=k(a,β,n)= k(αxβ).n= ky.nk.=kcos(90°±の)=±ksin 0于是k, +k =k? cos?+? sin?=k?注意：n,β,, 都在P点的法面上

二、性质 命题1： 2 2 2 g n k = k + k 证明：              cos(90 ) sin ( ) ( ) ( , , ) ( , , ) 0 k k k k n k n k k k n k n k n g g  =  =  =   =  =  =   = =                 2 2 2 2 2 2 2 k k k cos k sin k 于是 n + g =  +  =        注意： n, , , 都在 P 点的法面上

测地曲率的几何意义：曲面S上的曲线（C），它在P点的测地曲率绝对值等于（C）在P点的切平面上的正投影曲线（c）的曲率。证明：过（C）的每一点作曲面S在P点的切平面的垂线，于是得到一柱面，这个柱面和S在P点的交线是（c），（C）和(c）都是柱面上的曲线。在这个柱面上用梅尼埃定理。取ε为柱面上P点的法向量，由于柱面垂(c)直于切平面，所以柱面上任一点的法向量平行于切平面，又P在切平面上，所以柱面在P8α的法向量ε应在切平面上，而（C）点的切C向量α也在切平面上，所以柱面在P的法截面就是切向量α与法向量ε所确定的平面，法截面与柱面的交线就是法截线(c*），因此柱面在α方向的法曲率k,=±k*,|k,|=k*(k*为(c")在P点的曲率),由于K，=kcosθ，其中k为（C）在P点的曲率，θ为（C）的主法向量和柱面在P点的法向量之间的角，即K,=kcoso=kβ.=k.g

测地曲率的几何意义：曲面 S上的曲线（C），它在 P 点的测地 曲率绝对值等于（C）在P点的切平面上的正投影曲线 (c * ) 的曲率。 证明：过（C）的每一点作曲面S在P点的切平面的垂线，于是得 到一柱面，这个柱面和S在P点的交线是 ，（C）和 都是 柱面上的曲线。在这个柱面上用梅尼埃定理。 ( ) * ( ) c * c 取 为柱面上P点的法向量，由于柱面垂 直于切平面，所以柱面上任一点的法向量平 行于切平面，又P在切平面上，所以柱面在P 的法向量 应在切平面上，而（C）点的切 向量 也在切平面上，所以柱面在P的法截 面就是切向量 与法向量 所确定的平面，           cos . n g  = k  = k  = k   法截面与柱面的交线就是法截线 ，因此柱面在 方向的法 曲率 由于 ，其中k为（C）在P点的曲率， 为（C）的主 法向量和柱面在P点的法向量 之间的角，即 ( ) * c   , ( ( ) ), kn = k * kn = k * k * 为 c * 在P点的曲率  n = k cos        ( ) * c (c)

推论：曲面上的直线的测地曲率为0。这是因为曲面上的直线在任一点的切平面上的投影还是直线，所以曲率为0。习题3

推论：曲面上的直线的测地曲率为0。 这是因为曲面上的直线在任一点的切平面上的投影还 是直线，所以曲率为0。 习题3

(, =Zrr +Ln)三、测地曲率的计算公式Kk。=k(α,β,n) =(α,kβ,n)=(r,r,n)du?duldu'dvdudu7-ZZ一rY+r2r+dsdsdsdsdsdsik22duidujdujdu'd0uu=2ZWf+1+ii订2dsdsdsdsdsdsjikii,jAdujduduiduiauZZnX+2dsdsdsdsdski,jAdujduidududuiauZiZk公k+S+n,n)2kids?gdsdsdsdsdsK1i,ji,jdujdudui2uZ)2,n)r+i2dsdsdsdsi.jdu??uldujduiZ)i,n)中2ids?dsdsdsi,j

三、测地曲率的计算公式 k k( , ,n) ( ,k ,n) (r,r,n) g            =   =   = = + = + = = i i i i i u v i r ds du ds du r ds du r ds du r ds dv r ds du r r         2 2 1 1 n ds du ds du r L ds du ds du ds d u r ds d u r ds du ds du r ds d u r ds du ds du r i j i j k i j k k i j j i j k i k k k i j j i j i i i i i i j j i j                 = +  + =  + = + , , 2 2 2 2 , 2 2 ( ) = + k k ij k (rij ijr L n)    ( ,( ) , ) ( ,( ) , ) ( , ( ) , ) 1 , 1 2 2 1 2 2 2 , 2 2 2 2 1 1 , , 2 2 r n ds du ds du ds d u r ds du r n ds du ds du ds d u r ds du n n ds du ds du r L ds du ds du ds d u r ds du k i j i j i j i j i j i j i j i j k i j k k i j j i j k i i i i g                 + +  = +  = +  +

22dududuiu2Z+)r,n)ids200dsdsdsi,jdu?duiduj2Zn7dsdsdsdsi.duduiduu>k11ds2gdsdsdsij22dudududuZ)(i,r,n)dsdsdsdsi,j1rxr(2.2-(.2))(r,r,n)=(×VgVg(EG-F2)=/gvg'u?duiduLydudududu'0Z1k.++Y5jds?ds2dsdsdsdsdsdsi,ji,j

(( ) , , ) ( ,( ) , ) 2 2 1 , 1 2 2 1 2 , 2 2 2 2 1 1 r n ds du r ds du ds du ds d u r n ds du ds du ds d u r ds du k i j i j i j i j i j g i j         − +  = +  ( ( )]( , , ) [( ( ) 1 2 , 1 2 2 2 1 , 2 2 1 2 2 r r n ds du ds du ds d u ds du ds du ds du ds d u ds du k i j i j i j i j i j g i j      − +  = +  [( ( ) ( ( )] , 1 2 2 2 1 , 2 2 1 2 2 ds du ds du ds d u ds du ds du ds du ds d u ds du k g i j i j i j i j i j g = +i j − + EG F g g r r r r g g r r r r n r r = − = =  −   =   ( ) 1 ( ( ) ) 1 ( , , ) ( ) 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2           

!'u?dujduid'uduidududud2ZIZI1/g[k.=1+十i2ds?ds?dsdsdsdsdsdsi,ji,j这就是测地曲率的一般计算公式。特别地，当曲面上的坐标网为正交网时，F=0，代入上式并整理得dv d'uEdu dyGdyduduXdsds ds?ds ds?2GGdsdsEudvE,CG.dudududvdya1dsE2G ds2Eds2Edsdsdsds

特别地，当曲面上的坐标网为正交网时，F=0，代入上式并 整理得 ( ) ] 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) 2 [ 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 ds dv E G ds dv ds du E E ds dv ds du E E ds dv ds du G G ds dv ds du G G ds du G E ds d u ds dv ds d v ds du k g v u v u v u g + − − + = − − + [( ( ) ( ( )] , 1 2 2 2 1 , 2 2 1 2 2 ds du ds du ds d u ds du ds du ds du ds d u ds du k g i j i j i j i j i j g = +i j − + 这就是测地曲率的一般计算公式

下面给出一个简单一点的形式。设曲线的切方向与u-线所成的rTdudvdr角为θ，则αsneCOSHVGdsdsVEds11dudvsin 0.cosaVGdsVEdscosOcosacos 0ddd2udedvduEEEds?dsdedsdudsdyv3311sin dedudv2EEEE+cose+cos6VEdsds2ds2sin 0 deE, cos duE, cosO dvVEdsds2EVEds2EVEd2uE, cos? sin 0 deE. sin 0cos0ds?2E2VEds2EVEG

下面给出一个简单一点的形式。设曲线的切方向与u-线所成的 角为  ，则 ds dv r ds du r G r E r ds dr u v u v       = = cos + sin  = + sin , 1 cos , 1   ds G dv ds E du = = ds dv E E E ds du E E E ds d E ds dv E E ds du E E ds d E ds dv dv E d ds du du E d ds d d E d ds d u u v u v 2 cos 2 sin cos ) 2 1 ) cos ( 2 1 cos ( sin ) cos ) ( cos ) ( cos ( 2 3 2 3 2 2              = − − − = − +  − +  − = + + − − E EG E E E ds d ds E d u u v 2 sin cos 2 sin cos 2 2 2 2       = − − −

d?yG, sin ? cos deG, sin 0cos0同理ds?2G2VGds2GVEG代入前面的k。的计算公式可得E,Gdeksin 0cOsAgds2EVG2GVEde11aln EalnGcos-sin ,2VGOv2VEdsou这个公式称为刘维尔(liouville)公式。也可写为dek.+k。 cos0+k.sin0ds其中kgu，kg、分别为u线和v线的测地曲率。事实上，对于u线和v线来说，分别有θ=0知00。，代入测地曲率的计算公式有anE1 1 alnGk.=k.2/GOv812/EOu

同理 2 2 2 2 2 sin 2 cos sin cos G G G EG G ds d ds G d v   u   v  = − − 代入前面的 kg 的计算公式可得 sin , ln 2 1 cos ln 2 1 sin 2 cos 2       u G v E E ds G d G E G E G E ds d k v u g   +   = − = − + 这个公式称为刘维尔(liouville)公式。也可写为 cos sin ,  g gu gv k k ds d k = + + 其中 分别为 u 线和 v 线的测地曲率。事实上，对于u 线和 v 线来说，分别有 ，代入测地曲率的计算公式 有 gu gv k , k 0  = 0和90 . ln 2 1 u G E kgv   , = ln 2 1 v E G kgu   = −