《微分几何》课程教学资源（PPT课件）第二章 曲面论 2.5 曲面论的基本定理

第五节曲面论的基本定理一些符号u=u,u=v,=,=,u=r1, Pu,= ri2,u=21, , =22E=·=g11,F=·=812=821,G=· =822EG-F2=811812=gg21 22L=i·n= Lu, M=2·n=21n= L2 = L21, N=r22 ·n= L22 -Z,Z - Z,Za"b =ZaPbe,Zabep=Za"brβα,βY,o=一1.11=1=.，（2）只对上，下注意（1）和号中上，下标与字母选取无关，标相同的标号求和。I = Edu? +2Fdudv+Gdy?= gudu'du' + gi2du'du? + g2idu’du' + g22du'du? - g,du'dui,jII = Ldu? + 2 Mdudv + Ndy? = L,du'du1

第五节 曲面论的基本定理 一些符号 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 , , , , , , , r r r r r r r r u u u v r r r r u u u v vu vv u v             = = = = = = = = 1 1 11 1 2 12 21 2 2 22 E = r r = g ,F = r r = g = g ,G = r r = g       g g g g g EG − F = = 21 22 2 11 12 11 11 12 21 12 21 22 22 L = r n = L ,M = r n = r n = L = L ,N = r n = L          =  =   =  = = = =               , , 2 1 2 , 1 2 1 , , a b a b , a b a b i i i j i j 注意（1）和号中上，下标与字母选取无关，（2）只对上，下 标相同的标号求和。 = + + + =   = + + i j i j g du du g du du g du du g du du gi jdu du Edu Fdudv Gdv , 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 i j i j   = Ldu + Mdudv + Ndv = Li jdu du , 2 2 2

5、1曲面的基本方程与克氏符号给出了一个c类的曲面S:π=r(u,v)，可确定三个向量r,r2,n对这三个向量求导，就得到一个类似于曲线论中基本公式的式子，但我们希望用一个简便的式子表示，于是令=+an,n,=Zu(i, j - 1,2)..........(1上式中第一式点乘n，得到n.n,=ZFr·n+an.n→L,=a又gj=r·，，两边求导得u=,+ogij=+QuiOuu=,T+后两式相加并减去第一式得Quj

5、1 曲面的基本方程与克氏符号 给出了一个 类的曲面S： ，可确定三个向量 对这三个向量求导，就得到一个类似于曲线论中基本公式的式子， 但我们希望用一个简便的式子表示，于是令 3 c r r(u, v)   = r r n    , , 1 2      = =  =  +   i j j i i k k i j k i j i j n r i j r r n ( , 1,2) (1) ,        上式中第一式点乘 n ，得到  i j i j k k i j k n ri j =i jr n +  n n  L =        又 gij ri rj ，两边求导得   =  , il j i jl l ij r r r r u g     =  +    , ij l i lj j il r r r r u g     =  +    , ji l j li i jl r r r r u g     =  +    后两式相加并减去第一式得

Og j1agi)Ogit=i,.i=ZFfgu(2)[i,]]=OuOui2ouk令（g"）是（gi）的逆矩阵并采用克罗内尔符号[1,i= jEg"gh =8ji, j=1,2[0,ij,kog jlogijogilklZg"[i,-Z2gnEg"ErfghtOuiOuouk-ErEg"gu=Erf=Fhi, j,k =1,2kk还可得到，=F，称为第二类克里斯托费尔符号，也称连络系数，[i,]称为第一类的克里斯托费尔符号，采用原来的符号有P133。对于曲面上的正交网，F=0，有P133

( ) (2) 2 1 [ , ] kl k k i j l i j l i j i j l j i l r r g u g u g u g ij l =  =   −   +   =   令 ( ) 是 的逆矩阵并采用克罗内尔符号 ij g ( ) ij g , 1,2. 0, , 1, , =     =  = = i j i j i j g g k i kj j i k  . , , 1,2. ( ) 2 1 [ , ] =  =  =  = =    −   +   =        g g i j k g g u g u g u g g ij l g k i j k k i j l kl kl k k i j kl k k i j l kl l i j i j l j i l l kl l kl 还可得到 ，称为第二类克里斯托费尔符号，也称连络 系数，[ij,k]称为第一类的克里斯托费尔符号，采用原来的符号 有P133。 对于曲面上的正交网，F=0，有P133。 k ji k ij = 

对（1）中的第二式两边点乘r-Li=n,·ri=Zuigjk,i,k =1,2ZgkLik=ZgkZugjk=ZuZgkgik=Zu=ukkkk用过去的符号有P133。于是得到,,n的导向量公式 =Zrr+L,n,kn, =-ELig'"rj,...(1)(i, j - 1,2)........j,k称为曲面的基本方程，其中第一式叫高斯方程，第二式叫温加顿方程

对（1）中的第二式两边点乘 k r  − L = n r = g , i, k =1,2. j k j j i k i k i   − =   =   =  = . k j i j i k j j k j j k j k i j j i k j k i k k j k g L g  g  g g   用过去的符号有P133。 于是得到 的导向量公式： 称为曲面的基本方程，其中第一式叫高斯方程，第二式 叫温加顿方程。 r r n    , , 1 2      = − =   =  +   j k j kj i i k k k i j k i j i j n L g r i j r r L n , , ( , 1,2) (1) ,     

5.2曲面的黎曼曲率张量和高斯-科达齐公式一、曲率张量1、定义：曲面的曲率张量（第二类黎曼曲率张量）为ari_ark.DZ(FPTpk -IRFb),i, j,k,1 = 1,2.二ikQukQujO2、性质1）反对称性（关于j,k），即 Rik=-R%直接代入定义可得到。特别地：R=0性质2）三个下标作循环置换后相加的和为0，即RU+RN+Ru=0?2此式称为Ricci恒等式。（直接验算）3、定义另一方种黎曼曲率张量为Rmijk = ZgmRuk,m,i,j,k = 1,2由于4个指标有16种排列，所以有16个分量，它们有如下性质：

5.2 曲面的黎曼曲率张量和高斯-科达齐公式 一、曲率张量 1、定义：曲面的曲率张量（第二类黎曼曲率张量）为 + (  −   ), , , , =1,2.   −   =  i j k l u u R p l p j p i k l p k p i j j l i k k l l i j ijk 2、性质1）反对称性（关于j,k），即 直接代入定义可得到。特别地： l ikj l Rijk = −R = 0 l Rijj 性质2）三个下标作循环置换后相加的和为0，即 此式称为Ricci恒等式。（直接验算） + + = 0 l kij l jki l Rijk R R 3、定义另一方种黎曼曲率张量为 由于4个指标有16种排列，所以有16个分量，它们有如下性质： R =g R ,m,i, j, k =1,2 l ijk l mijk ml

4、性质1）反对称性：Rmijk=-Rimjk，Rmmjk=0.Rmuk =-Rmig, Rmu = 0.性质2）对称性：Rmijk=-R,Ljkmi性质3）对后三个下标作循环置换后相加的和为0，即Rmijk +Rmjia + Rmkij =0.证明：Rmijk+Rmjka +Rmky=EgmRuk+EgmRlk+EgmRkj=Zgm(Ruk +Rils + Rkt)=01由反对称性 R1jk = R22jk= Rmi1= Rmi22= 0.这单共有12个分量为0，又由对称性及反对称性得到R212 =-R2112= -R1221= R2121因此16个分量中只有R1212为独立的，它其实就是高斯曲率。最后指出，黎曼曲率张量只与g有关，即为曲面的内蕴量

4、性质1）反对称性： , Rmijk = −Rmikj , Rmijk = −Rimjk = 0. Rmmjk= 0. Rmijj 性质2）对称性： 性质3）对后三个下标作循环置换后相加的和为0，即 . Rmijk = −Rjkmi + + = 0. Rmijk Rmjki Rmkij 证明： = ( + + ) = 0 + + = + +     l kij l jki l ijk l ml l l ml kij l l ml jki l ijk l mijk mjki mkij ml g R R R R R R g R g R g R 由反对称性 这里共有12个分量为0，又由对称性及反对称性得到 因此16个分量中只有R1212为独立的，它其实就是高斯曲率。 最后指出，黎曼曲率张量只与gij有关，即为曲面的内蕴量。 0. R11jk = R22 jk = Rmi11 = Rmi22 = R1212 = −R2112 = −R1221 = R2121

二、高斯-科达齐-迈因纳尔迪公式命题1）高斯公式Rmjk=L,Lmk-LizLmj2）科达齐一迈因纳尔迪公式Ly - aLa = Z(aLy-T/Ln)QukQuj1三、高斯定理：曲面的高斯曲率为内蕴量。由前面知，Rmik的16个分量中只有一个是独立的，即R1212，并且为内蕴量，利用高斯公式得到R1212 = Li2L12 - LL22 = M? - LN=-(LN-M)=-K(EG-F2)所以R/212K=g

二、高斯-科达齐-迈因纳尔迪公式 命题1）高斯公式 2）科达齐—迈因纳尔迪公式 Rmijk = LijLmk − LikLmj =( − ).   −   l l k l l j i j l j i k i k k i j L L u L u L 三、高斯定理：曲面的高斯曲率为内蕴量。 由前面知，Rmijk的16个分量中只有一个是独立的，即R1212 ，并且 为内蕴量，利用高斯公式得到 所以 ( ) ( ) 2 2 2 1212 12 12 11 22 LN M K EG F R L L L L M LN = − − = − − = − = − g R K 1212 = −

(r,)=(r,r +L,n),i, j=1,2.对高斯方程求导=Zr+Lnar!OLu.n+ Ln)11()=Z(4OukQukn, =-ELig"r,j,kar!aLij1L,(Eg"Lmk))Zr(ZICImk=Z+L+QukQukm,lmraLiji-ZTT=Z+ZrF"m+ZrLygl"Lmrr+in+1COukau1,mm,lOLk.n-ZLug" Lmria+Zm+ki=ZTkL,n+iklOu1,mm,l上面两式相减，左边为0，而右边为π,π,n的线性组合，但l,m=1，2，所以实际上右边为πi,2,n的线性组合，可写为pr +qr+rn= 0但i,,n线性无关（不共面），故p,q,r均为0，如p=0，有

对高斯方程求导 (r ) = ( r + L n) , i, j =1,2. l l i j l i j i j      +   +  +   = l k i j k i j l k l k l i j l i j i j k n L n u L r r u (r ) ( ) )          −    +   + +   = l m l m k l l m k i j i j m l k l m m l k l k l i j l i j ijk n L g L r u L r r L n u r ( ) ( ) ,            = − =  +   j k j kj i ik k k ij k ij ij n L g r r r L n , , ,          −   +   +  +    = l m l m k l l m k i j i j l k l l i j l m m m l k l k l i j l i j ijk n L g L r u L r r L n u r , ,           −   +   +  +   = l m l mj l l m j i k i k l j l l i k l m m m l j l j l i k l i k ikj n L g L r u L r r L n u r , ,       上面两式相减，左边为0，而右边为 的线性组合，但 l,m=1，2，所以实际上右边为 的线性组合，可写为 但 线性无关（不共面），故p,q,r均 为0，如 p=0，有 rl r m n    , , r r n    , , 1 2 1 2 0     pr + qr + rn = r r n    , , 1 2

ar!ari5rZ(T/Fh -F/F,)-Z(L,glm Lmk -Likglm Lm)LprOuhOu1mariarikZ(T/Fl -F/F)=Zg"(L,Lmk -LikLmjOukQuj1mar;ar2ik同理对q=0有：Z(F/F-,)=Zg2m(L,Lmk -LikLm)QukQum两式合并得（l改为p）ar!arkiiR!E(TTpk -FRFb)=Zg"(L,Lmk-LiLm)QukOulpRmjk=ZgmRk=ZgmZgl(L,Lmk-LixLm)=L,Lmk-LuLm1(i, ji,k,m = 1,2)即为高斯公式

( ) ( ) ( ) . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 +   −  − −   −   = m m j m m k i k m i j l l j l l k i k l i j j i k k i j r r L g L L g L r u u pr     ( ) ( ) 1 1 1 1 1 +   −  = −   −   m i j m k i k m j m l l j l l k i k l i j j i k k i j g L L L L u u +(  −  ) =  ( − )   −   = m i j m k i k m j l m p l p j p i k l p k p i j j l i k k l l i j ijk g L L L L u u R ( , , , 1,2) ( ) . =  =  =   − = − i j k m R g R g g L L L L Li jLm k Li kLm j m i j m k i k m j l m l m l l ijk l mijk m l 即为高斯公式。 同理对q=0有： 两式合并得（l 改为p） ( ) ( ) 2 2 2 2 2 +   −  =  −   −   m i j m k i k m j m l l j l l k i k l i j j i k k i j g L L L L u u

利用n的系数为零得aLijaLikZ(TkL, -I,Lu)= 0QukOuj7aLiaLikZ(L -,L), i, j,k =1,2QukOu注意：这量共有2×2×2=8个式子，但只有2个是独立的。即为aLuaL12=(2L -iL2)Ou?Qul1aL21aL22(T2L -F2iL2).Ou?Qul1把克氏符号代入可得到具体表达式，P138

利用 n 的系数为零得  = ( − ), , , =1,2.   −    L L i j k u L u L l l k l l j i j l j i k i k k i j − ( − ) = 0.   −    l l k l l j i j l j i k i k k i j L L u L u L 注意：这量共有2×2×2=8 个式子，但只有2个是独立的。即为 ( ). 1 22 1 21 2 22 2 21 =  −   −   l l l l l L L u L u L =  −   −   l l l l l L L u L u L ( ) 1 12 1 11 2 12 2 11 把克氏符号代入可得到具体表达式，P138