《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第9章 多变量函数的微分学（7/8）

弧长切向量弧长公式空间曲面隐函数曲面隐函数曲线$9.7空间曲线与曲面参数方程表示的空间曲线9.7.1设空间中的一条曲线L由参数方程r = r(t) = a(t)i+ y(t)3 + z(t)k: [α,β] C R → R3表示1°切向量曲线上两点 M。和 M,它们的向径分别是 r(to)和 (t)于是 MoM = (t) - (to), 故 )-r(t) 就与t-toM.M共线并指向参数的增加方向.当t→toMV时, 如果弦向量 (t)一r(to) 白的极限值存在t-to(t) 一 r(to)r(to) = limt-→tot-to则此极限就称为曲线在M。的切向量返回全屏关闭退出I1/22

ƒ•þ l lúª m­¡ ۼꭡ ۼꭂ §9.7 m­‚†­¡ 9.7.1 ëꐧL«m­‚ m¥^­‚ L dëꐧ ~r = ~r(t) = x(t)~i + y(t)~j + z(t)~k : [α, β] ⊂ R −→ R 3 L«. 1 ◦ ƒ•þ ­‚þü: M0 Ú M, §‚•»©O´ ~r(t0) Ú ~r(t). u´ −−−* M0M = ~r(t) − ~r(t0),  ~r(t)−~r(t0) t−t0 ҆ −−−* M0M
‚, ¿•ëêO\•.  t → t0 ž, XJu•þ ~r(t)−~r(t0) t−t0 4Š3 ~r0 (t0) = lim t→t0 ~r(t) − ~r(t0) t − t0 Kd4Ò¡­‚3 M0 ƒ•þ. M0 M 1/22 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

切向量弧长弧长公式空间曲面隐函数曲面隐函数曲线不难看出，切向量的方向指向参数增加的方向，曲线在t的切向量存在等价于 r(t) 的各个分量 α(t), y(t), z(t) 在 to 可导, 且r(to) = a'(to)i + y'(to)3 + z'(to)k如果 α'(t),y'(t),z(t)都在[α, β] 上连续, 且不同时为零,则称曲线 L 是光滑曲线.如果L可以分成有限段，且每一段都是光滑的，则L称为逐段光滑的如果 L 自身不相交, 即对任意 α ≤ t1 < t2 < β, 都有 (ti) ≠ (t2), 则称 L是简单曲线或 Jordan 曲线.若 r(α)=π(β),则称 L是闭曲线有了切向量，就知道曲线在M。的切线方程为c - α(to)z - z(to)y - y(to)c'(to)z'(to)y'(to)曲线在Mo的法平面方程为'(to)(α - c(to) + y'(to)(y - y(to)) + z(to)(z - z(to) = 0.返回全屏关闭退出II2/22

ƒ•þ l lúª m­¡ ۼꭡ ۼꭂ ØJwÑ, ƒ•þ••ëêO\•. ­‚3 t0 ƒ•þ3, du ~r(t) ˆ‡©þ x(t), y(t), z(t) 3 t0 Œ, … ~r0 (t0) = x 0 (t0)~i + y 0 (t0)~j + z 0 (t0)~k XJ x 0 (t), y0 (t), z0 (t) Ñ3 [α, β] þëY, …ØӞ", K¡­‚ L ´ 1w ­‚. XJ L Œ±©¤kã, …zãÑ´1w, K L ¡ Åã1w. XJ L g؃, =é?¿ α 6 t1 < t2 < β, Ñk ~r(t1) 6= ~r(t2), K¡ L ´{ü­‚½ Jordan ­‚. e ~r(α) = ~r(β), K¡ L ´4­‚. k ƒ•þ, Ò­‚3 M0 ƒ‚§ x − x(t0) x0(t0) = y − y(t0) y0(t0) = z − z(t0) z 0(t0) . ­‚3 M0 {²¡§ x 0 (t0)(x − x(t0)) + y 0 (t0)(y − y(t0)) + z 0 (t0)(z − z(t0)) = 0. 2/22 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

弧长切向量弧长公式空间曲面隐函数曲面隐函数曲线2°弧长与计算平面曲线的弧长方法一MkMy.样，确定空间曲线的弧长所使用的方法是，以内接折线的长作为曲线弧长的一个近似值M令内接折线的边数无限增加，其极限就定义为曲线的弧长，当曲线具有参数方程表示时，这样的极限可以利用定积分进行计算具体过程如下.在曲线L上作内接折线AM,M.·Mn-B，分割T:α=to<ti<t2<...<ti-1<ti<...<tn-1<tn=β的各分点是各顶点所对应的参数值，则这条折线的总长度为nl(T) =[r(ti) -r(ti-1)Ii=1= V[(t:) - a(ti-1)]2 + [g(t:) - y(ti-1)]2 + [2(t:) - 2(ti-1)]2.i=1返回全屏关闭退出3/22

ƒ•þ l lúª m­¡ ۼꭡ ۼꭂ 2 ◦ l †OŽ²¡­‚l{ , (½m­‚l¤¦^{´: ±Sò‚Š­‚l‡CqŠ, -Sò‚>êÁO\, Ù4Ò½Â ­‚l. ­‚äkëꐧL«ž, ù 4Œ±|^½È©?1OŽ. A M M M M M M 1 2 3 n-1 k k-1 B äNL§Xe. 3­‚ L þŠSò‚ AM1M2 · · · Mn−1B, ©: T : α = t0 < t1 < t2 < · · · < ti−1 < ti < · · · < tn−1 < tn = β ˆ©:´ˆº:¤éAëêŠ, Kù^ò‚oݏ l(T ) = X n i=1 |~r(ti) − ~r(ti−1)| = X n i=1 p [x(ti) − x(ti−1)]2 + [y(ti) − y(ti−1)]2 + [z(ti) − z(ti−1)]2 . 3/22 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

切向量弧长弧长公式空间曲面隐函数曲面隐函数曲线对每一个分量分别使用微分中值公式可得I(T) = Va"2(si) + y"(ni) + z"(c:) Ati,i=1其中 ti-10存在 S1 > 0. 当 ITll := ,max △ti < i 时, 对任何 (Si, ni, Si) E [ti-1,ti]3(i =l<isn1, 2,.·,n)都有Vc"2(si) + y'2(ni) + z"2(si) - Vα'2(ti) + y'2(ti) + z"2(ti)/ < e返回全屏关闭退出4/22

ƒ•þ l lúª m­¡ ۼꭡ ۼꭂ éz‡©þ©O¦^‡©¥ŠúªŒ l(T ) = X n i=1 q x02 (ξi) + y02 (ηi) + z 02 (ζi) ∆ti, Ù¥ ti−1 0, 3 δ1 > 0.  kT k := max 16i6n ∆ti < δ1 ž, é?Û (ξi, ηi, ζi) ∈ [ti−1, ti ] 3 (i = 1, 2, · · · , n) Ñk    p x02(ξi) + y02(ηi) + z 02(ξi) − p x02(ti) + y02(ti) + z 02(ti)    < ε. 4/22 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

切向量弧长弧长公式空间曲面隐函数曲面隐函数曲线因为 [r(t)I = αc2(t) +y"2(t) + z"2(t), 故当 ITll 0,当T<82时LIr(t:)At; - Ir'(t)ldt<e.i=l因此,取=min(1,2)于是当 ITll<时就有Ir(t)Idt < e(β - α + 1).(T关闭退出返回全屏5/22

ƒ•þ l lúª m­¡ ۼꭡ ۼꭂ Ϗ |~r0 (t)| = p x02(t) + y02(t) + z 02(t),  kT k 0,  kT k < δ2 ž      X n i=1 |~r0 (ti)|∆ti − Z β α |~r0 (t)|dt      < ε. Ïd,  δ = min(δ1, δ2). u´ kT k < δ žÒk     l(T ) − Z β α |~r0 (t)|dt     < ε(β − α + 1). 5/22 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

切向量弧长弧长公式空间曲面隐函数曲面隐函数曲线即L的弧长可定义为G(9.1)Va2(t) +y"2(t) +z"2(t)dt.(t)dt=S=当曲线L是逐段光滑曲线时，可以逐段考虑曲线的弧长，对应上式右边的积分，也就是在[α，]上的分段积分如果平面曲线是由显表示y=f(a)，aE[a，b]给出，首先可以把它看成是参数表示的特殊情况()=(,f(),0),E[a,b)其中，是参数，则弧长公式为-b/1+f(α)da[r(α)da=S:我们在前面的章节中曾经也推导出这样的结果返回全屏关闭退出I二6/22

ƒ•þ l lúª m­¡ ۼꭡ ۼꭂ = L lŒ½Â s = Z β α |~r0 (t)|dt = Z β α p x02(t) + y02(t) + z 02(t) dt. (9.1) ­‚ L ´Åã1w­‚ž, Œ±ÅãÄ­‚l, éAþªm> È©, Ò´3 [α, β] þ©ãÈ©. XJ²¡­‚´dwL« y = f(x), x ∈ [a, b] ‰Ñ, ÄkŒ±r§w¤ ´ëêL«AϜ¹ ~r(x) = (x, f(x), 0), x ∈ [a, b] Ù¥, x ´ëê, Klúª s = Z b a |~r0 (x)|dx = Z b a q 1 + f 02 (x)dx. ·‚3c¡Ù!¥Q²íÑù(J. 6/22 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

弧长切向量弧长公式空间曲面隐函数曲面隐函数曲线3°弧长参数在L上取一动点M(t）则从起点A到动点M(t）的弧AM的长为s(t) = / α"2(T) +y'"(T) +z2(T) dT =Ir(T)I dT.当M在L上变化时，弧长s=s（t）是一个变上限的积分，因此确定了一个t的函数这个函数如下性质：其一是s(α）=0，s(t)>0（长度总是正的）其二对t求导得dsVc"2(t) +y"(t) + z"2(t) = [r(t)l.一dt因此，只要（t）0，函数是严格单调增的（从几何上看，随着动点向远处延伸，长度总是严格增加的）返回全屏关闭退出7/22

ƒ•þ l lúª m­¡ ۼꭡ ۼꭂ 3 ◦ lëê 3 L þÄ: M(t), Klå: A Ä: M(t) l
AM  s(t) = Z t α q x02 (τ ) + y02 (τ ) + z 02 (τ ) dτ = Z t α |~r0 (τ )| dτ.  M 3 L þCzž, l s = s(t) ´‡CþÈ©, Ïd(½ ‡ t ¼ê. ù‡¼êXe5Ÿµ Ù´ s(α) = 0, s(t) > 0£Ýo´¤. Ùé t ¦ ds dt = q x02 (t) + y02 (t) + z 02 (t) = |~r0 (t)|. Ïd, ‡ |~r0 (t)| 6= 0, ¼ê´î‚üNO£lAÛþw, ‘XÄ:•? ò, Ýo´î‚O\¤. 7/22 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

切向量弧长弧长公式空间曲面隐函数曲面隐函数曲线所以函数s=s(t)有反函数tt(s),也就是参数t可以表示成s的函数.代入曲线的参数方程表示，得= (s) = (t(s)或者α = α(s), y = y(s), z = z(s),也就是说曲线可以用以弧长s为参数的参数方程来表示因为弧长参数S是一个几何量，它是曲线本身所固有的，不随参数表示的不同而改变.因此我们把由曲线固有的儿何量弧长做为参数的曲线的参数方程表示称为空间曲线的自然方程返回全屏关闭退出I8/22

ƒ•þ l lúª m­¡ ۼꭡ ۼꭂ ¤±¼ê s = s(t) k‡¼ê t = t(s), Ò´ëê t Œ±L«¤ s ¼ ê. \­‚ëꐧL«,  ~r = ~r(s) = ~r(t(s)) ½ö x = x(s), y = y(s), z = z(s), Ò´`, ­‚Œ±^±l s ëêëꐧ5L«. Ϗlëê s ´‡AÛþ, §´­‚¤k, ؑëêL« ØÓ UC. Ïd·‚rd­‚kAÛþl‰ëê­‚ëê §L«¡m­‚g,§. 8/22 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

弧长切向量弧长公式空间曲面隐函数曲面隐函数曲线另一方面，通过微分公式ds = Vc"2(t) + y'(t) + z"(t) dt = [r(t)| dt,有ds2 = dc? + dy? + dz2.这就是空间曲线的弧长微分公式。如果把ds看成是弧长的微元长度，则dac，dy，dz分别是ds在三个坐标轴上的投影，因此上式可以看成是微元形式的勾股定理因为dr = (d, dy, dz)所以Idr| = [r'(t)/ : [dtl,如果 π= (s) 对 s 求导, 则drdrdt: 1.dsdt dsI二返回全屏关闭退出9/22

ƒ•þ l lúª m­¡ ۼꭡ ۼꭂ ,¡, ÏL‡©úª ds = q x02 (t) + y02 (t) + z 02 (t) dt = |~r0 (t)| dt, k ds2 = dx2 + dy2 + dz2 . ùÒ´m­‚l‡©úª. XJr ds w¤´l‡Ý, K dx, dy, dz ©O´ ds 3n‡‹I¶þÝK, ÏdþªŒ±w¤´‡/ ª½n. Ϗ d~r = (dx, dy, dz) ¤± |d~r| = |~r0 (t)| · |dt|, XJ ~r = ~r(s) é s ¦, K     d~r ds     =     d~r dt dt ds     = 1. 9/22 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

弧长切向量弧长公式空间曲面隐函数曲面隐函数曲线或写成(芸)+()+(芸)也就是说，在自然参数方程下，（s）对弧长s的微商是曲线L在点M(s）处的单位切向量，并指向弧长S的增加方向.若记这个切向量的三个方向余弦为（cosα，cosβ,cos），则有ddzdycos β,cosα,COS.-dsdsds平面曲线=(α(t),y(t)）可以看成特殊的空间曲线π=(c(t),y(t),o)由此再次得到曲线段L：π=(ac(t),y(t)),tE[α,β]的弧长公式a(t) + y'"(t) dt.一对于逐段光滑曲线其弧长可定义为各段光滑曲线弧长之和返回退出全屏关闭-10/22

ƒ•þ l lúª m­¡ ۼꭡ ۼꭂ ½¤  dx ds2 +  dy ds2 +  dz ds2 = 1. Ò´`, 3g,ëꐧe, ~r(s) él s ‡û´­‚ L 3: M(s) ?ü ƒ•þ, ¿•l s O\•. ePù‡ƒ•þn‡•{ u (cos α, cos β, cos γ), Kk dx ds = cos α, dy ds = cos β, dz ds = cos γ. ²¡­‚ ~r = (x(t), y(t)) Œ±w¤AÏm­‚ ~r = ~r(x(t), y(t), 0), dd2g­‚ã L : ~r = (x(t), y(t)), t ∈ [α, β] lúª s = Z β α q x02 (t) + y02 (t) dt. éuÅã1w­‚, ÙlŒ½Âˆã1w­‚lƒÚ. 10/22 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ