《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第9章 多变量函数的微分学（4/8）

复合函数链式法则复合映射微分中值定理高阶偏导数微分形式不变形$9.4复合函数的偏导数复合函数偏导数的链式法则9.4.1以二元函数为例，设u = f(S, )定义在区域D上的一个二元函数E = Φ(c,y), = b(c,y)定义在区域△上.为了使复合函数u = f((α, y), (c, y))有意义，则要假设(Φ(c,y), b(α, y) E D对任何（α,y)E△成立以下总是作这样的假设返回全屏关闭退出II1/17

Eܼê óª{K EÜN ‡©¥Š½n p ê ‡©/ªØC/ §9.4 Eܼê ê 9.4.1 Eܼê êóª{K ±¼ê~,  u = f(ξ, ζ) ½Â3« D þ‡¼ê, ξ = φ(x, y), ζ = ψ(x, y) ½Â3« ∆ þ.  ¦Eܼê u = f(φ(x, y), ψ(x, y)) k¿Â, K‡b (φ(x, y), ψ(x, y)) ∈ D é?Û (x, y) ∈ ∆ ¤á. ±eo´Šùb. 1/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

复合函数链式法则复合映射微分中值定理高阶偏导数微分形式不变形为了书写的简明和可推广性，我们有时也采用向量值函数的写法，记g = (g1, 92),这里91,92都是定义在R2中区域△上的二元函数.这样g: A→R2是一个向量值函数设D 也是 R2中区域,且 g()C D.若二元函数 f 在D上有定义,则fog就是定义在△上的二元函数IRAfog返回全屏关闭退出I42/17

Eܼê óª{K EÜN ‡©¥Š½n p ê ‡©/ªØC/  Ö{²ÚŒí25, ·‚kžæ^•þŠ¼ê{. P g = (g1, g2), ùp g1, g2 Ñ´½Â3 R2 ¥« ∆ þ¼ê. ù g : ∆ → R 2 ´‡•þŠ¼ê.  D ´ R2 ¥«, … g(∆) ⊂ D. e¼ê f 3 D þk½Â, K f ◦ g Ò´½Â3 ∆ þ¼ê. ∆ D R g f f ◦ g 2/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

复合函数链式法则复合映射高阶偏导数微分中值定理微分形式不变形在讨论可微性之前，首先要解决复合函数的连续性问题定理1设A和D都是R2中区域若9：△→D在CoEA连续f:D→R在yo=g(co)连续,则复合函数 fog:A→R在ao连续证明因为 f 在 o连续,所以对任意 ε 0存在 i >0,使得当y E B(yo,i)n D 时, 有If(y) - f(yo)l 0 使得当 E B(ao,)n △ 时,有g(α) g(co)/ < 1,即, y=g(α) E B(yo,di)nD. 由此知当 α E B(αco,)n△ 时, 有If o g(c) - f o g(co)l < e.这就说明fog在Co连续返回全屏关闭退出II3/17

Eܼê óª{K EÜN ‡©¥Š½n p ê ‡©/ªØC/ 3?،‡5ƒc, Äk‡)ûEܼêëY5¯K. ½n 1  ∆ Ú D Ñ´ R2 ¥«. e g : ∆ → D 3 x0 ∈ ∆ ëY, f : D → R 3 y0 = g(x0) ëY, KEܼê f ◦ g : ∆ → R 3 x0 ëY. y² Ϗ f 3 y0 ëY, ¤±é?¿ ε > 0 3 δ1 > 0, ¦ y ∈ B(y0, δ1) ∩ D ž, k |f(y) − f(y0)| 0 ¦ x ∈ B(x0, δ) ∩ ∆ ž, k |g(x) − g(x0)| < δ1, =, y = g(x) ∈ B(y0, δ1) ∩ D. dd x ∈ B(x0, δ) ∩ ∆ ž, k |f ◦ g(x) − f ◦ g(x0)| < ε. ùÒ`² f ◦ g 3 x0 ëY. 3/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

复合函数链式法则复合映射高阶偏导数微分中值定理微分形式不变形定理2设△和D都是R2中区域若g：A→D在E△可微f：D→R在y=g(c)可微,则复合函数fog：△→R在ε可微,且(9.1)J(f o g)(α) = J f(y)Jg(α).公式(9.1)表示了复合函数 f og 的偏导数与 f 和 g 的偏导数之间的关系,称为复合函数偏导数的链式法则.设 =(α1,α2),y = g(α)，即y1 = g1(α1, a2), y2 = g2(aα1, α2), z = f(y1, y2) = f o 9, 则 (9.1) 就是Qy1y1zz8z.0zaai0r2(9.2)Sri'axQyi' Qy2Qy2Qy2T2o1展开就是n8z oy1 +8z8y2(9.3)Da1dydaSy2da82aQz02(9.4)822Syida2By20a2II返回全屏关闭退出-l4/17

Eܼê óª{K EÜN ‡©¥Š½n p ê ‡©/ªØC/ ½n 2  ∆ Ú D Ñ´ R2 ¥«. e g : ∆ → D 3 x ∈ ∆ Œ‡, f : D → R 3 y = g(x) Œ‡, KEܼê f ◦ g : ∆ → R 3 x Œ‡, … J(f ◦ g)(x) = Jf(y)Jg(x). (9.1) . úª (9.1) L« Eܼê f ◦ g  ê† f Ú g  êƒm 'X, ¡Eܼê êóª{K.  x = (x1, x2), y = g(x), =, y1 = g1(x1, x2), y2 = g2(x1, x2), z = f(y1, y2) = f ◦ g, K (9.1) Ò´  ∂z ∂x1 , ∂z ∂x2  =  ∂z ∂y1 , ∂z ∂y2  ∂y1 ∂x1 ∂y1 ∂x2 ∂y2 ∂x1 ∂y2 ∂x2 ! (9.2) ÐmÒ´ ∂z ∂x1 = ∂z ∂y1 ∂y1 ∂x1 + ∂z ∂y2 ∂y2 ∂x1 (9.3) ∂z ∂x2 = ∂z ∂y1 ∂y1 ∂x2 + ∂z ∂y2 ∂y2 ∂x2 (9.4) 4/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

复合函数链式法则复合映射微分中值定理高阶偏导数微分形式不变形证明 对于E△取hER2的模充分小,使+hE△.因为g在可微，所以(9.5)gi( + h) - gi(α) = Jgi(c) · h + o(h)(9.6)g2(c + h) - g2(c) = Jg2() · h + o(h)g的可微性保证了它的连续性, 因此当 h 趋于零时, k = g(c +h)一g(α)也趋于零，这里把k看出列向量.因为f在=g(α）可微，所以(9.7)f(y+ k) - f(y) = Jf(y) ·k +o(k),(9.5)和(9.6)合并起来可以写成k=Jg(α)h+o(h),将之代入(9.7)并注意到o(k) = o(h),就得到f(g(c+h))-f(g(c)) = Jf(y).(Jg(α)·h+o(h))+o(k) = Jf(y).Jg(c).h+o(h)这就表明复合函数fg在α可微，且（9.1）成立，返回全屏关闭退出二5/17

Eܼê óª{K EÜN ‡©¥Š½n p ê ‡©/ªØC/ y² éu x ∈ ∆  h ∈ R2 ¿©, ¦ x + h ∈ ∆. Ϗ g 3 x Œ ‡, ¤± g1(x + h) − g1(x) = Jg1(x) · h + o(h) (9.5) g2(x + h) − g2(x) = Jg2(x) · h + o(h). (9.6) g Œ‡5y §ëY5, Ïd h ªu"ž, k = g(x + h) − g(x)  ªu", ùpr k wÑ•þ. Ϗ f 3 y = g(x) Œ‡, ¤± f(y + k) − f(y) = Jf(y) · k + o(k). (9.7) (9.5) Ú (9.6) Ü¿å5Œ±¤ k = Jg(x)h + o(h), òƒ\ (9.7) ¿5¿ o(k) = o(h), Ò f(g(x+h))−f(g(x)) = Jf(y)· ￾ Jg(x)·h+o(h)
+o(k) = Jf(y)·Jg(x)·h+o(h). ùÒL²Eܼê f ◦ g 3 x Œ‡, … (9.1) ¤á. 5/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

复合函数链式法则复合映射微分中值定理高阶偏导数微分形式不变形定理3设ACRn和DCRm都是区域.若g：△→D在E△可微f :D → Ri 在 y=g(α)可微, 则复合映射 f og:△ → R 在 α 可微, 且(9.8)J(f o g)(α) = J f(y)Jg(α).用图表示就是，当(c1, ..an) → (y1, ..., Ym) →(z1, ... , zi)都可微时，fg也可微（9.8）就是8218210z071ayiayiOr1anAyiymordrn(9.9)=1:Eaymymz1..0C1aEnaiymA1an返回全屏关闭退出6/17

Eܼê óª{K EÜN ‡©¥Š½n p ê ‡©/ªØC/ ½n 3  ∆ ⊂ Rn Ú D ⊂ Rm Ñ´«. e g : ∆ → D 3 x ∈ ∆ Œ‡, f : D → Rl 3 y = g(x) Œ‡, KEÜN f ◦ g : ∆ → R 3 x Œ‡, … J(f ◦ g)(x) = Jf(y)Jg(x). (9.8) . ^ãL«Ò´,  (x1, · · · xn) g −→ (y1, · · · , ym) f −→ (z1, · · · , zl) ь‡ž, f ◦ g Œ‡. (9.8) Ò´   ∂z1 ∂x1 · · · ∂z1 ∂xn . . . . . . . . . ∂zl ∂x1 · · · ∂zl ∂xn   =   ∂z1 ∂y1 · · · ∂z1 ∂ym . . . . . . . . . ∂zl ∂y1 · · · ∂zl ∂ym     ∂y1 ∂x1 · · · ∂y1 ∂xn . . . . . . . . . ∂ym ∂x1 · · · ∂ym ∂xn   (9.9) 6/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

复合函数链式法则复合映射高阶偏导数微分中值定理微分形式不变形例1首先回顾一下方向导数的定义.所谓在一点（Co，yo）的方向导数其实就是复合函数u=f(aco+tcosa,yo+tcosβ)对变量t求导，这里e=（cosα，cosβ）是单位向量.所以根据复合函数求导规则，有=coscoseOradtOrdtOydt一般来说，即使方向不是单位向量，如对一般方向向量1=（11，12），仍然有df(ao+tli,o+tl2)auafli+afl2aaraydt注意，我们通常习惯用“d”表示对只有一个变量的导数，而用“α”表示对多个变量的偏导数返回全屏关闭退出7/17

Eܼê óª{K EÜN ‡©¥Š½n p ê ‡©/ªØC/ ~ 1 Äk£e•ê½Â. ¤¢3: (x0, y0) •êÙ ¢Ò´Eܼê u = f(x0 + t cos α, y0 + t cos β) éCþ t ¦, ùp ~e = (cos α, cos β) ´ü •þ. ¤±ŠâEܼê¦ 5K, k ∂u ∂~e = df dt = ∂f ∂x dx dt + ∂f ∂y dy dt = ∂f ∂x cos α + ∂f ∂y cos β „5`, =¦•Ø´ü •þ, X鄐••þ ~l = (l1, l2), E, k ∂u ∂~l = df(x0 + tl1, x0 + tl2) dt = ∂f ∂xl1 + ∂f ∂yl2 5¿, ·‚Ï~S.^/d0L«ék‡Cþê, ^/∂0L« éõ‡Cþ ê. 7/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

复合函数链式法则复合映射高阶偏导数微分中值定理微分形式不变形例 2 设u=f(a,y,2), y= p(a,r), 之=(a,y,r), 求%,%解这里经过复合后，把u当成自变量α,r的二元函数u = f(α,y, z)= f(a, p(α,r), (c,y,r))= f(c, p(a,r), (α, p(c,r),r))= u(c,r).因此我们有m=+fy+f(+ps),=+(+)返回全屏关闭退出I8/17

Eܼê óª{K EÜN ‡©¥Š½n p ê ‡©/ªØC/ ~ 2  u = f(x, y, z), y = ϕ(x, r), z = ψ(x, y, r). ¦ ∂u ∂x, ∂u ∂r . ) ùp²LEÜ￾, r u ¤gCþ x, r ¼ê u = f(x, y, z) = f(x, ϕ(x, r), ψ(x, y, r)) = f(x, ϕ(x, r), ψ(x, ϕ(x, r), r)) = u(x, r). Ïd·‚k ∂u ∂x = f 0 x + f 0 yϕ 0 x + f 0 z (ψ 0 x + ψ 0 yϕ 0 x ), ∂u ∂r = f 0 yϕ 0 r + f 0 z (ψ 0 yϕ 0 r + ψ 0 r ). 8/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

链式法则复合函数复合映射微分中值定理高阶偏导数微分形式不变形例3置于原点的电荷q产生的电位是u=,这里r是点π=(c,y,z)到原点的距离r=Vα2+y2＋z.当r≠0时,求它在空间任意一点处的梯度及沿方向的变化率，并证明函数u满足Laplace方程++=0.解因为=一器=—+二-号，利用函数关于自变量Y的对称性，不难得到u分别关于y,z的一阶偏导数.因此grad u = -q.记方向上的单位向量为=则电位u沿方向π的变化率为q=grad u·=grad u·=-·=r2继续对 u求二阶偏导数=最(一)=αy=-+呢r6由函数对于自变量的对称性又得=一吃+，=二吃+学，所以 u=(r≠0)满足 Laplace方程.称 Laplace 方程的解为调和函数二二返回全屏关闭退出9/17

Eܼê óª{K EÜN ‡©¥Š½n p ê ‡©/ªØC/ ~ 3 u:>Ö q )> ´ u = q r , ùp r ´: ~r = (x, y, z) :ål r = p x2 + y2 + z 2 .  r 6= 0 ž, ¦§3m?¿:?F Ý9÷• ~r CzÇ, ¿y²¼ê u ÷v Laplace § ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 + ∂ 2u ∂z2 = 0. ) Ϗ ∂u ∂x = −q 1 r 2 ∂r ∂x = −q 1 r 2√ x x2+y2+z 2 = −q x r 3 , |^¼ê'ugCþ é¡5, ØJ u ©O'u y, z  ê. Ïd, grad u = −q ~r r 3 . P ~r •þü •þ ~r0 = ~r r , K>  u ÷• ~r CzǏ ∂u ∂~r0 = grad u · ~r0 = grad u · ~r r = −q ~r r 3 · ~r r = − q r 2 . UYé u ¦ ê ∂ 2u ∂x2 = q ∂ ∂x ￾ − x r 3
= q −r 3+3r 2xr0 x r 6 = −q 1 r 3 + q 3x 2 r 5 . d¼êéugCþé¡5q ∂ 2u ∂y2 = −q 1 r 3 + q 3y 2 r 5 , ∂ 2u ∂z2 = −q 1 r 3 + q 3z 2 r 5 . ¤± u = q r (r 6= 0) ÷v Laplace §. ¡ Laplace §)NÚ¼ê. 9/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

复合函数链式法则复合映射微分中值定理高阶偏导数微分形式不变形定理4（二元函数微分中值定理）设f(c,y）在区域D中可微.若连接(aco,yo)和 (co + h, yo + k) 的直线段 L 包含在 D 中, 则存在 E (O,1),使得f(aco + h, yo + k) = f(co, yo) + f'(ao + Oh, yo + k)h+ f,(co + h, yo + k)k.证明将f（C，y）限制在L上是一个一元函数p(t)=f(co+th,yo+tk),tE[0,1].因为f(a,y)和t的函数ao+th及yo+tk都可微，所以(t)在[o,1]可微根据一元函数的微分中值定理,存在 E (0,1)使得 (1)一(0)= '(0).由二元函数的偏导数的链式法则，有p'(0) = f'(co + Oh, yo + ok)h + f'(ao + Oh, yo + 0k)k于是所证成立返回退出全屏关闭10/17

Eܼê óª{K EÜN ‡©¥Š½n p ê ‡©/ªØC/ ½n 4 (¼ê‡©¥Š½n)  f(x, y) 3« D ¥Œ‡. eë (x0, y0) Ú (x0 + h, y0 + k) †‚ã L ¹3 D ¥, K3 θ ∈ (0, 1), ¦ f(x0 + h, y0 + k) = f(x0, y0) + f 0 x (x0 + θh, y0 + θk)h + f 0 y (x0 + θh, y0 + θk)k. y² ò f(x, y) ›3 L þ´‡¼ê: ϕ(t) = f(x0 + th, y0 + tk), t ∈ [0, 1]. Ϗ f(x, y) Ú t ¼ê x0 + th 9 y0 + tk ь‡, ¤± ϕ(t) 3 [0, 1] Œ‡. Šâ¼ê‡©¥Š½n, 3 θ ∈ (0, 1) ¦ ϕ(1) − ϕ(0) = ϕ0 (θ). d ¼ê êóª{K, k ϕ 0 (θ) = f 0 x (x0 + θh, y0 + θk)h + f 0 y (x0 + θh, y0 + θk)k u´¤y¤á. 10/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ