《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第11章 曲线积分和曲面积分（3/7）

曲线定向性质Green公式第二型曲线积分$11.3第二型曲线积分向量场11.3.1定义1区域DCR3上的一个向量值函数F(c, y,z) = (P(α, y, z), Q(α, y, z), R(α, y, z), (α, y, z) E D称为一个向量场物理中的流速场，引力场，电场，磁场等，在数学上都是向量场若 f(c,y,)是区域 D上的可微函数,则af af afgrad f =Oc'oyQz称为f的梯度场返回全屏关闭退出I1/32

­‚½• 1.­‚È© 5Ÿ Green úª §11.3 1.­‚È© 11.3.1 •þ| ½Â 1 « D ⊂ R3 þ‡•þŠ¼ê F~(x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)), (x, y, z) ∈ D ¡‡•þ|. Ôn¥6„|, Úå|, >|, ^|, 3êÆþÑ´•þ|. e f(x, y, z) ´« D þŒ‡¼ê, K grad f =  ∂f ∂x , ∂f ∂y , ∂f ∂z ¡ f FÝ|. 1/32 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

性质Green公式曲线定向第二型曲线积分定向曲线11.3.2设空间中一条曲线L的两个端点为A和B，若为L指定一个运动的方向从A到B，或从B到A，则L就成为一条有向曲线.方向指定为从A到B时，A称为起点.B称为终点.反之.方向指定为从B到A时.B称为起点，A称为终点.确定了一个方向为正向时，相反的方向就为负向BA返回全屏关闭退出II2/32

­‚½• 1.­‚È© 5Ÿ Green úª 11.3.2 ½•­‚ m¥^­‚ L ü‡à: A Ú B. e L ½‡$Đ •l A  B, ½l B  A, K L Ò¤^k•­‚. •½l A  B ž, A ¡å:, B ¡ª:. ‡ƒ, •½l B  A ž, B ¡å :, A ¡ª:. (½ ‡••ž, ƒ‡•ÒK•. A B A B 2/32 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

性质Green公式曲线定向第二型曲线积分当L有一个参数表示时L: r(t) = (c(t),y(t),z(t), α<t <βL就有一个自然的方向，即参数增加的方向.此时(α）为起点(β)为终点通常将此方向作为正向.如果(t)是连续可微的，且(t)不为零向量，那么称(t)称为光滑曲线.这时，(t)就表示参数增加的方向如果L为Ocy平面上一条Jordan闭曲线,则习惯上将逆时针方向作为正向，此时，在曲线上行走时，曲线所围的区域在行人的左边O返回全屏关闭退出3/32

­‚½• 1.­‚È© 5Ÿ Green úª  L k‡ëêL«ž L : ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), α 6 t 6 β L Òk‡g,•, =ëêO\•. dž ~r(α) å:, ~r(β) ª:. Ï~òd•Š•. XJ ~r(t) ´ëYŒ‡, … ~r0 (t) ؏"•þ, @o ¡ ~r(t) ¡1w­‚. ùž, ~r0 (t) ÒL«ëêO\•. XJ L  Oxy ²¡þ^ Jordan 4­‚, KS.þò_ž•Š •. dž, 3­‚þ1rž, ­‚¤Œ«31. O x y 3/32 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

性质Green公式曲线定向第二型曲线积分第二型曲线积分11.3.3设空间中有一个力场F=(P,Q,R).求质点在F的作用下沿曲线L从一端 A 运动到另一端 B 所做的功在 L上从 A到 B顺序取分点 A= Mo,Mi,···，Mn = B.小曲线段Li=Mi-1M,可近似看成有向直线段M,-iM;=△ri.在Li上F近似于一个常力F.这样，质点在L，运动所做的功近似等于2F,.Ar.i=1当分割无限加密时，若上述和式有极B限：则此极限就是质点沿曲线L从一M端A运动到另一端B所做的功返回全屏关闭退出4/32

­‚½• 1.­‚È© 5Ÿ Green úª 11.3.3 1.­‚È© m¥k‡å| F~ = (P, Q, R). ¦Ÿ:3 F~ Š^e÷­‚ L l à A $Ä,à B ¤‰õ. 3 L þl A  B ^S©: A = M0, M1, · · · , Mn = B. ­‚ã Li = ) Mi−1Mi ŒCqw¤k•†‚ã Mi−1Mi = ∆~ri. 3 Li þ F~ Cqu ‡~å F~i . ù, Ÿ:3 Li $Ĥ‰õCqu X n i=1 F~i · ∆~ri. ©Á\ž, eþãÚªk4 , Kd4Ò´Ÿ:÷­‚ L l à A $Ä,à B ¤‰õ. A B Mi-1 Mi 4/32 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

性质曲线定向第二型曲线积分Green公式定义2设F=（P,Q，R）是空间区域D中一个向量场L是D中一条可求长的有向曲线，起点为A终点为B.在L上依次从A到B的方向顺序取点 {ri：i=0,1,..·,n) 使得ro = A,rn= B.令Ar, = ri - ri-1, i = 1, 2, ..·, n, IlTll= max [Aril.如果对于弧段ri-1ri上任取的点i，极限nli,Z F(si) . ArITI→0i=1为一个固定的数，则将此数记为F.dr(11.1)V称为向量场F沿有向曲线L的第二型曲线积分若L是有向封闭曲线，则上面的积分也称为向量场F沿环路L的环量常用dF.dr表示返回全屏关闭退出二5/32

­‚½• 1.­‚È© 5Ÿ Green úª ½Â 2  F~ = (P, Q, R) ´m« D ¥‡•þ|. L ´ D ¥^ Œ¦k•­‚, å: A ª: B. 3 L þgl A  B •^S : {~ri : i = 0, 1, · · · , n} ¦ ~r0 = A, ~rn = B. - ∆~ri = ~ri − ~ri−1, i = 1, 2, · · · , n, kT k = max 16i6n |∆~ri|. XJéulã ) ri−1ri þ?: ξi, 4 lim kT k→0 X n i=1 F~(ξi) · ∆~ri ‡½ê, KòdêP Z L F~ · d~r (11.1) ¡•þ| F~ ÷k•­‚ L 1.­‚È©. e L ´k•µ4­‚, Kþ¡È©¡•þ| F~ ÷‚´ L ‚þ, ~^ H L F~ · d~r L«. 5/32 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

性质Green公式曲线定向第二型曲线积分设π=（a,y，z），则dr=（dac,dy，dz）.于是第二型曲线积分也常表示为Pda +Qdy + Rdz.(11.2)L定理1设有区域D CR3,连续向量场F：D→R3.又设LCD是一条有向光滑曲线,其参数方程为π=(t),α≤t≤β,并且参数增加的方向为L的方向，则有F. dr=(Fo) .T(t)dt.(11.3)JLa若 F = (P, Q, R), r(t) = (r(t), y(t), z(t), 则F . dr = / (P(e(t), g(t),z(t)a(t)L+ Q(c(t), y(t), z(t)y'(t) + R(a(t), y(t), z(t)z(t))dt. (11.4)返回全屏关闭退出6/32

­‚½• 1.­‚È© 5Ÿ Green úª  ~r = (x, y, z), K d~r = (dx, dy, dz). u´1.­‚È©~L« Z L P dx + Qdy + Rdz. (11.2) ½n 1 k« D ⊂ R3 , ëY•þ| F~ : D → R3 . q L ⊂ D ´^ k•1w­‚, Ùëꐧ ~r = ~r(t), α 6 t 6 β, ¿…ëêO\• L •, Kk Z L F~ · d~r = Z β α (F~ ◦ ~r) · ~r0 (t) dt. (11.3) e F~ = (P, Q, R), ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), K Z L F~ · d~r = Z β α  P (x(t), y(t), z(t))x 0 (t) + Q(x(t), y(t), z(t))y 0 (t) + R(x(t), y(t), z(t))z 0 (t)  dt. (11.4) 6/32 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

性质曲线定向Green公式第二型曲线积分证明 令(t) = (a(t),y(t),z(t)), F= (P,Q,R). 设定义中的点列 [)为(r(ti)),α=to<ti<.<tn=β.弧段ri-iri上的点si=(i),ti-1≤Ti≤ti.因此nF(s) . Ar; =For(T) . (r(t:) - r(ti-1)i=1i=1nZ P(r(T:)(a(t:) - (t-1) + Q(T:)(t) - y(t=-1)1iW1+R(r(Ti))(z(ti) - z(ti-1))1由微分中值定理，存在入i，MiViE[ti-1,t]使得c(ti)-α(ti-1)= α'(^;)Ati,y(ti) -y(ti-1) = y'(μi)Ati,z(ti) -z(ti-1) = z'(vi)△ti,返回全屏关闭退出7/32

­‚½• 1.­‚È© 5Ÿ Green úª y² - ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), F~ = (P, Q, R). ½Â¥: {~r}  {~r(ti)}, α = t0 < t1 < · · · < tn = β. lã ) ri−1ri þ: ξi = ~r(τi), ti−1 6 τi 6 ti. Ïd X n i=1 F~(ξi) · ∆~ri = X n i=1 F~ ◦ ~r(τi) · (~r(ti) − ~r(ti−1)) = X n i=1 P (~r(τi))(x(ti) − x(ti−1)) + X n i=1 Q(~r(τi))(y(ti) − y(ti−1)) + X n i=1 R(~r(τi))(z(ti) − z(ti−1)). d‡©¥Š½n, 3 λi, µi, νi ∈ [ti−1, ti ] ¦ x(ti) − x(ti−1) = x 0 (λi)∆ti, y(ti) − y(ti−1) = y 0 (µi)∆ti, z(ti) − z(ti−1) = z 0 (νi)∆ti, 7/32 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

性质曲线定向第二型曲线积分Green公式因此F(si) . Ari =P(r(Ti)a'(A;)△ti +Z Q(r(Ti)y'(ui)Ati1i=1i-1i-1nZ+R(r(Ti))z'(vi)△tii=1令maxtil→0,就得到F.dr=(P(c(t), y(t), z(t))ac'(t)T+ Q(r(t), y(t), z(t)y'(t) + R(r(t), y(t), z(t)z'(t))dt.注意，对于形如「Pdac的积分，应该理解成是一个特殊的向量场F=（P,0,0)的第二型曲线积分,而不是通常的定积分，这里的dac 是有向弧长元在轴的投影.其他情形类似返回全屏关闭退出18/32

­‚½• 1.­‚È© 5Ÿ Green úª Ïd X n i=1 F~(ξi) · ∆~ri = X n i=1 P (~r(τi))x 0 (λi)∆ti + X n i=1 Q(~r(τi))y 0 (µi)∆ti + X n i=1 R(~r(τi))z 0 (νi)∆ti. - max i |∆ti| → 0, Ò Z L F~ · d~r = Z β α  P (x(t), y(t), z(t))x 0 (t) + Q(x(t), y(t), z(t))y 0 (t) + R(x(t), y(t), z(t))z 0 (t)  dt. 5¿, éu/X R L P dx È©, ATn)¤´‡AÏ•þ| F~ = (P, 0, 0) 1.­‚È©, Ø´Ï~½È©, ùp dx ´k•l 3 x ¶ÝK. Ù¦œ/aq. 8/32 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

性质曲线定向第二型曲线积分Green公式第二型曲线积分具有以下性质1）线性：即若F=CiF+C2F2,则有F. dr = c1 F·dr+ C2F2 . dr.特别,当 =Pi, =Q, = R时,=++ =Pi+Q+Rk因此F.dr:Pda +Qdy + Rdz1Pdc +RdzQdy +JLLL2）对积分曲线的可加性：若LAc是由LAB和LBc连接而成的，则有F.dr.F.dr=F.dr+JLABJLBCLAC所以对于逐段光滑的曲线，可以分段进行积分3）积分的方向性：JLaF.dr=一JupF.drI-I返回全屏关闭退出9/32

­‚½• 1.­‚È© 5Ÿ Green úª 1.­‚È©äk±e5Ÿ: 1) ‚5: =e F~ = c1F~1 + c2F~2, Kk Z L F~ · d~r = c1 Z L F~1 · d~r + c2 Z L F~2 · d~r. AO,  F~1 = P~i, F~2 = Q~j, F~3 = R~k ž, F~ = F~1 + F~2 + F~3 = P~i + Q~j + R~k. Ïd Z L F~ · d~r = Z L P dx + Qdy + Rdz = Z L P dx + Z L Qdy + Z L Rdz 2) éÈ©­‚Œ\5: e LAC ´d LAB Ú LBC ë ¤, Kk Z LAC F~ · d~r = Z LAB F~ · d~r + Z LBC F~ · d~r. ¤±éuÅã1w­‚, Œ±©ã?1È©. 3) È©•5: R LAB F~ · d~r = − R LBA F~ · d~r. 9/32 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

性质曲线定向Green公式第二型曲线积分例1计算曲线积分fiayda+ady，L是三角形OAB的正向周界，其中 A = (1, 2), B = (0, 2).解cyda + a'dy=cyda + a'dy.T14r'dcyd + a'dy =(α·2+22)d=43JLIJOcyda +α?dy=-2(1 - α)d = -1,JL2cyd + αdy = 0JL3BA所以Vcyda+r'dy33返回退出全屏关闭10/32

­‚½• 1.­‚È© 5Ÿ Green úª ~ 1 OŽ­‚È© R L xydx + x 2dy, L ´n/ OAB •±., Ù ¥ A = (1, 2), B = (0, 2). ) Z L xydx + x 2dy = Z L1 + Z L2 + Z L3  xydx + x 2dy. Z L1 xydx + x 2dy = Z 1 0 (x · 2x + 2x 2 )dx = 4 Z 1 0 x 2dx = 4 3 Z L2 xydx + x 2dy = −2 Z 1 0 (1 − x)dx = −1, Z L3 xydx + x 2dy = 0 ¤± Z L xydx + x 2dy = 4 3 − 1 = 1 3 . O x y B A L L L 1 2 3 10/32 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ