《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第9章 多变量函数的微分学（1/8）

平面点集 Bolzano 定理 开集闭集 连通性 第9章多变量函数的微分学 从本章开始我们将讨论多个变量（亦称多元、如二元、三元等等）函数的 极限、连续、可微、可积等基本概念.除一些共性外，我们会发现很多在单个 变量（即一元）情况下不存在的新的现象和理论.一般来说，这些新的现象或 理论一旦在二元情况下存在或被证明，则不难推广到更多元（变量）的情形中 去而无需本质上的改变.因此我们将以讨论二元的情形为主，除非三元或多 元的情形更能说明问题. 返回 全屏 关闭 退出 1/13

²¡:8 Bolzano ½n m848 ëÏ5 1 9 Ù õCþ¼ê‡©Æ lÙm©·‚ò?Øõ‡Cþ (½¡õ!X!n) ¼ê 4!ëY!Œ‡!ŒÈÄVg. Ø
5 , ·‚¬uyéõ3ü‡ Cþ (=) œ¹eØ3#yÚnØ. „5`, ù #y½ nØ￾3œ¹e3½y², KØJí2õ (Cþ) œ/¥  ÃIŸþUC. Ïd·‚ò±?Øœ/Ì, ؚn½õ œ/U`²¯K. 1/13 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

平面点集连通性Bolzano定理开集闭集$9.1平面点集与区域9.1.1平面上的点和点集在平面上取定一个直角坐标系，这样的平面记为R2坐标系中一对有序的数(c,y)对应着平面上的一个点 P,它的坐标是 和 y,设 E C R2,有如下一系列概念(1)距离设 Mi(a1,yi),M2(ac2,y2)是 R2 中的两个点,它们之间的距离可以由公式p(Mi, M2) = V(α1 - a2)2 + (y1 - y2)2定义（类比于直线上的绝对值），这样定义的距离，满足距离的三要素，即1°正定性：p(Mi,M2)≥0,等号成立当且仅当Mi=M22° 对称性: p(M1, M2) = p(M2, Mi)3°三角不等式:p(M1,M2)≤p(M1,M3)+p(M3,M2)I-返回全屏关闭退出2/13

²¡:8 Bolzano ½n m848 ëÏ5 §9.1 ²¡:8†« 9.1.1 ²¡þ:Ú:8 3²¡þ½‡†‹IX, ù²¡P R2 . ‹IX¥ékS ê (x, y) éAX²¡þ‡: P , §‹I´ x Ú y,  E ⊂ R2 , kX eXVg. (1) ål  M1(x1, y1), M2(x2, y2) ´ R2 ¥ü‡:, §‚ƒmålŒ± dúª ρ(M1, M2) = p (x1 − x2) 2 + (y1 − y2) 2 ½Â£a'u†‚þý銤, ù½Âål, ÷våln‡ƒ, = 1 ◦ ½5: ρ(M1, M2) > 0, Ò¤á…= M1 = M2. 2 ◦ é¡5: ρ(M1, M2) = ρ(M2, M1). 3 ◦ nت: ρ(M1, M2) 6 ρ(M1, M3) + ρ(M3, M2). 2/13 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

平面点集开集闭集连通性Bolzano定理(2）邻域有了距离，就可以定义一点的邻域(或附近)B(Mo, r) = [MI p(M, Mo) < r)这是一个以r为半径的园盘.如果去掉圆心，这样的点集记为B_(Mo,r) = [MI 0 < p(M, Mo) < r)有时把点集[(c,y)l [c - col < r, ly-yol < r) 也叫做 Mo(co, yo) 的邻域.它是一个正方形的内部.方形邻域和圆形邻域并没有本质的差别，我们可以根据需要随意选择.这两种邻域的表示方式，都可以看成是一维情形以一点为中心的开区间的推广(3)有界集与无界集一个平面点集E称为有界的，如果存在一个正数R使ECB(O,R)（O为坐标原点).否则称为无界集.对于有界非空点集E它的直径记为diam E = supp(M', M") M', M" E E)返回全屏关闭退出3/13

²¡:8 Bolzano ½n m848 ëÏ5 (2)  k ål, Ҍ±½Â: (½NC): B(M0, r) = {M| ρ(M, M0) < r} ù´‡± r Œ» , XJK%, ù:8P B−(M0, r) = {M| 0 < ρ(M, M0) < r}. kžr:8 {(x, y)| |x − x0| < r, |y − y0| < r} ‰ M0(x0, y0)  . §´‡/SÜ. /Ú/¿vkŸO, ·‚Œ ±ŠâI‡‘¿ÀJ. ùü«L«ª, ь±w¤´‘œ/± :¥%m«mí2. (3) k.8†Ã.8 ‡²¡:8 E ¡k., XJ3‡ê R, ¦ E ⊂ B(O, R) (O ‹I:). ÄK¡Ã.8. éuk.š:8 E, §†»P diam E = sup{ρ(M0 , M00)| M0 , M00 ∈ E}. 3/13 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

平面点集连通性Bolzano定理开集闭集(4)余集 R2中不属于 E 的其余部分,称为 E 的余集,记成 Ec.显然有(Ec)c = E.(5）内点、外点和边界点根据余集的定义，平面上的点可以按照它与E的关系分成三种1° 如果存在正数 r, 使 B(M,r) C E, 则称 M 为 E 的内点2° 如果存在 r > 0. 使 B(M,r) C Ec, 则称 M 为 E 的外点3° 如果对任何 r > 0,B(M,r) 中都有 E外点和Ec的点.则称M 为E的边界点.E的全Ec体边界点的集合称为E的边界，记成E.E边界点的边界点可以在E中也可以在Ec中，E的E内点全体内点组成的集合叫E的核，记成E°返回全屏关闭退出4/13

²¡:8 Bolzano ½n m848 ëÏ5 (4) {8 R2 ¥Øáu E Ù{Ü©, ¡ E {8, P¤ Ec . w,k (E c ) c = E. (5) S:! :Ú>.: Šâ{8½Â, ²¡þ:Œ±U짆 E  'X©¤n«. 1 ◦ XJ3ê r, ¦ B(M, r) ⊂ E, K¡ M  E S:; 2 ◦ XJ3 r > 0, ¦ B(M, r) ⊂ Ec , K¡ M  E  :; 3 ◦ XJé?Û r > 0, B(M, r) ¥Ñk E Ú Ec :, K¡ M  E >.:. E  N>.:8Ü¡ E >., P¤ ∂E. E >.:Œ±3 E ¥, Œ±3 Ec ¥. E  NS:|¤8Ü E Ø, P¤ E◦ . E Ec S: : >.: 4/13 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

平面点集Bolzano定理开集闭集连通性(6孤立点与聚点设MER2,如果存在正数r使B(M,r)nE=[M),则称M是E的孤立点.显然E的孤立点必是E的边界点.如果对任意r>0，B_(M,r）中都有E中的点,则称 M为 E的聚点.注意，E的聚点可以是E中的点，也可以不是E中的点.E的内点必定是E的聚点.如果MEE但不是E的孤立点，则M必是E的聚点.由此可知边界点或是孤立点，或是聚点，聚点则包括了集合的内点和非孤立的边界点(7)平面点列的极限设Mn是平面点列.如有MoER2,使lim p(Mn, Mo) = 0,0则称点列【Mn】为收敛点列.M。称为点列的极限.记成limMn=Mo.设n-→00Mn(αn, Yn), Mo(aco, o). 因为[Cn - Col, lyn - Yol ≤ p(Mn, Mo) ≤ [Cn - Col + lyn - yol;所以limMn=M。的充要条件是liman=&o和limYn=yo返回全屏关闭退出二二5/13

²¡:8 Bolzano ½n m848 ëÏ5 (6) á:†à:  M ∈ R2 , XJ3ê r ¦ B(M, r) ∩ E = {M}, K¡ M ´ E á:. w, E á:7´ E >.:. XJé?¿ r > 0, B−(M, r) ¥Ñk E ¥:, K¡ M  E à:. 5¿, E à: Œ±´ E ¥:, Œ±Ø´ E ¥:. E S:7½´ E à:. XJ M ∈ ∂E Ø´ E á:, K M 7´ E à:. ddŒ>.:½´ á:, ½´à:. à:K) 8ÜS:ښá>.:. (7) ²¡:4  {Mn} ´²¡:. Xk M0 ∈ R2 , ¦ lim n→∞ ρ(Mn, M0) = 0, K¡: {Mn} Âñ:. M0 ¡:4. P¤ lim n→∞ Mn = M0.  Mn(xn, yn), M0(x0, y0). Ϗ |xn − x0|, |yn − y0| 6 ρ(Mn, M0) 6 |xn − x0| + |yn − y0|, ¤± lim Mn = M0 ¿‡^‡´ lim xn = x0 Ú lim yn = y0. 5/13 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

连通性平面点集Bolzano定理开集闭集与直线上的数列不同的是，平面上有极限的点可以以更自由的方式收敛于一点，例如点列Pn=（e-n/4cosn，e-n/4sinn），显然Pn→O=（00）但趋于的方式是以螺旋形式进行的平面上的有界点列满足如下性质，它是实数连续性在R2上的体现定理1（波尔查诺）平面上的有界点列有收敛的子列证明设Pn=（acn，yn）是有界点列，则【an）和【yn）都是有界数列.根据数列的波尔查诺定理，【an】有收敛子列【ank].现在考虑【yn].这还是有界的，因此也有收敛子列【ynk].令Pnk;=(ank;,Ynt)它是【Pn}的子列，且是收敛的返回全屏关闭退出6/13

²¡:8 Bolzano ½n m848 ëÏ5 ††‚þêØÓ´, ²¡þk4:Œ±±gdªÂñ u:, ~X: Pn = (e −n/4 cos n, e−n/4 sin n), w, Pn → O = (0, 0) ªuª´±Ú^/ª?1. ²¡þk.:÷vXe5Ÿ, §´¢êëY53 R2 þNy. ½n 1 (Åì) ²¡þk.:kÂñf. y²  Pn = (xn, yn) ´k.:, K {xn} Ú {yn} Ñ´k.ê. Š âêÅì½n, {xn} kÂñf {xnk}. y3Ä {ynk}. ù„´k., ÏdkÂñf {ynki }. - Pnki = (xnki , ynki ) §´ {Pn} f, …´Âñ. 6/13 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

平面点集Bolzano定理开集闭集连通性开集与闭集9.1.2设ECR2若E=E°则称E是一个开集即开集中的点都是内点若EC是开集.则称E是闭集开集和闭集相当于一维时候的开区间和闭区间.例如，整个平面R，半平面c>0邻域B（M,r),B_（M,r）等是开集.空集也是开集，因为它没有不是内点的点.但是R?和の也是闭集，空间中，只有这两个集合有这种特殊性开集和闭集有很多性质（这些性质在一维情形是显然的）：返回全屏关闭退出+7/13

²¡:8 Bolzano ½n m848 ëÏ5 9.1.2 m8†48  E ⊂ R2 , e E = E ◦ , K¡ E ´‡m8. =m8¥:Ñ´S:. e E c ´m8, K¡ E ´48. m8Ú48ƒu‘žÿm«mÚ4«m. ~X, ‡²¡ R2 , Œ ²¡ x > 0,  B(M, r), B−(M, r) ´m8. 8 ∅ ´m8, Ϗ§v kØ´S::. ´ R2 Ú ∅ ´48, m¥, kùü‡8Ükù«A Ï5. m8Ú48kéõ5Ÿ (ù 5Ÿ3‘œ/´w,)µ 7/13 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

平面点集Bolzano定理开集闭集连通性性质1两个开集的并集和交集仍是开集：两个团集的并集和交集也都还是闭集该性质可推广为：有限个开集的并集和交集仍是开集：有限个闭集的并集和交集仍是闭集，一族开集的并集仍是开集，一族闭集的交集仍是闭集性质2ECR2是开集的充分必要条件是EnE=0由于IR2恰由E的内点、边界点、外点所组成，即R2= E°UaEU(E)°因为边界点不是内点，所以当E是开集时，aEnE=0.反之，任给MEE因为E与它的边界没有公共点，所以M不是边界点故必是内点返回全屏关闭退出8/13

²¡:8 Bolzano ½n m848 ëÏ5 5Ÿ 1 ü‡m8¿8Ú8E´m8; ü‡48¿8Ú8Ñ „´48. T5ŸŒí2: k‡m8¿8Ú8E´m8; k‡48¿ 8Ú8E´48. xm8¿8E´m8, x488E´48. 5Ÿ 2 E ⊂ R2 ´m8¿©7‡^‡´ ∂E ∩ E = ∅. du R2 Td E S:!>.:! :¤|¤, =, R 2 = E ◦ ∪ ∂E ∪ (E c ) ◦ , Ϗ>.:Ø´S:, ¤± E ´m8ž, ∂E ∩ E = ∅. ‡ƒ, ?‰ M ∈ E, Ϗ E †§>.vkú
:, ¤± M Ø´>.:, 7´S:. 8/13 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

连通性平面点集Bolzano定理开集闭集性质3ECR2是闭集的充分必要条件是ECE由于aE=θEc所以当E是闭集时，Ec是开集，由性质2可知aEcnEc= O,也就是aEnE=0,所以ECE.这样的推导是完全可逆的性质4ECR2是闭集的充要条件是E包含其全部聚点这是因为一个聚点或是内点，或是边界点故闭集包含其全部聚点：反之，因为一个点集的边界点由其聚点或是孤立点组成，所以聚点在E中，就意味着E包含其全部边界点返回全屏关闭退出二-9/13

²¡:8 Bolzano ½n m848 ëÏ5 5Ÿ 3 E ⊂ R2 ´48¿©7‡^‡´ ∂E ⊂ E. du ∂E = ∂Ec ¤± E ´48ž, Ec ´m8, d5Ÿ 2 Œ, ∂Ec ∩ E c = ∅, Ò´ ∂E ∩ E c = ∅, ¤± ∂E ⊂ E. ùí´Œ_. 5Ÿ 4 E ⊂ R2 ´48¿‡^‡´ E ¹ÙÜà:. ù´Ï‡à:½´S:, ½´>.:. 48¹ÙÜà:. ‡ ƒ, Ϗ‡:8>.:dÙà:½´á:|¤, ¤±à:3 E ¥, Ò ¿›X E ¹ÙÜ>.:. 9/13 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

平面点集Bolzano定理开集闭集连通性连通性9.1.3平面曲线的参数表示设有两个连续函数a =c(t), y=y(t), (α<t≤β),称平面上的点集L={(c(t),y(t))l α≤t≤β)为一条平面曲线.α = α(t)，= y(t)称为 L 的参数方程如果 α(t),y(t)都在[α,β] 连续可导,并且 a'(t),y'(t)不同时为零,则称曲线L是光滑的如果对任意 α≤ti < t2 < β, 都有 (c(ti),y(ti) ≠ (c(t2),y(t2), 则称 L是一条简单曲线或Jordan曲线如果 M(α) = (α(α),y(α)) = M(β) = (αc(β),y(β)), 则称 L 是一条闭曲线返回退出全屏关闭-10/13

²¡:8 Bolzano ½n m848 ëÏ5 9.1.3 ëÏ5 ²¡­‚ëêL« kü‡ëY¼ê x = x(t), y = y(t), (α 6 t 6 β), ¡²¡þ:8 L = {(x(t), y(t))| α 6 t 6 β} ^²¡­‚. x = x(t), y = y(t) ¡ L ëꐧ. XJ x(t), y(t) Ñ3 [α, β] ëYŒ, ¿… x 0 (t), y0 (t) ØӞ", K¡ ­‚ L ´1w. XJé?¿ α 6 t1 < t2 < β, Ñk (x(t1), y(t1)) 6= (x(t2), y(t2)), K¡ L ´^{ü­‚½ Jordan ­‚. XJ M(α) = (x(α), y(α)) = M(β) = (x(β), y(β)), K¡ L ´^4­ ‚. 10/13 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ