《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第11章 曲线积分和曲面积分（4/7）

双侧曲面曲面定向边界定向有向曲面积分曲面积分性质$11.4第二型曲面积分曲面的定向11.4.1通常我们所见到的具有边界的曲面都有正侧和反侧、或（对于没有边界的封闭曲面来说）有里侧和外侧之分，对于这样有双侧的曲面，如果一个油漆匠油漆曲面的某一侧，只要他不越过曲面的边界，是无论如何也不会油漆到另一侧的返回全屏关闭退出11/19

Vý­¡ ­¡½• >.½• k•­¡È© ­¡È©5Ÿ §11.4 1.­¡È© 11.4.1 ­¡½• Ï~·‚¤„äk>.­¡Ñkýڇý!½ (éuvk>. µ4­¡5`) kpýÚ ýƒ©. éuùkVý­¡, XJ‡hÖ úhÖ­¡,ý, ‡¦ØL­¡>., ´ÃØXۏجhÖ ,ý. x y z P O P' 1/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

双侧曲面曲面定向边界定向有向曲面积分曲面积分性质然而，并非所有的曲面都是如此.一个典型的例子叫做“Mobius带”，将长方形纸条ABCD扭转180°.再沿AB和CD两边粘起来.使A和C重合，B和D重合，就得到了这种带形的模型.这时，如果油漆匠从任意一点开始油漆，他不需要越过边界就可将Mobius带的所有地方连续地油漆一遍即这种曲面只有一个侧面！因此，我们需要在数学上刻划曲面的双侧性或单测性，明确曲面的定向返回全屏关闭退出2/19

Vý­¡ ­¡½• >.½• k•­¡È© ­¡È©5Ÿ , , ¿š¤k­¡Ñ´Xd. ‡;.~f‰/M¨obius ‘0. ò /’^ ABCD Û= 180◦ , 2÷ AB Ú CD ü>Êå5, ¦ A Ú C ­Ü, B Ú D ­Ü, Ò ù«‘/. ùž, XJhÖúl?¿: m©hÖ, ¦ØI‡L>.Ҍò M¨obius ‘¤k/ëY/hÖH, =ù«­¡k‡ý¡œÏd, ·‚I‡3êÆþy­¡Vý5½ü ÿ5, ²(­¡½•. A B D C 2/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

双侧曲面曲面定向边界定向有向曲面积分曲面积分性质设S光滑曲面，因此在每一点M都有非零的法向量π(M).显然与π(M)指向相反的向量一π(M)也是S在M的法向量，它们都与曲面的切平面垂直.对任一点 M。E S,取定 S在 M。的法向量中的一个,记为 n(Mo)任作一条S上过M.的闭曲线L.让点M从M出发沿L移动.在M经过的每一点取一个法向量 n(M)使π(M)为连续变化,如果当 M 回到 Mo时,取到的法向量总是 π(Mo),就称 Mo是曲面 S 的双侧点,如果曲面上每一点都是双侧的，则称曲面是一张双侧曲面.否则，就称S是一张单侧曲面返回全屏关闭退出3/19

Vý­¡ ­¡½• >.½• k•­¡È© ­¡È©5Ÿ  S 1w­¡, Ïd3z: M Ñkš"{•þ ~n(M). w,† ~n(M) •ƒ‡•þ −~n(M) ´ S 3 M {•þ, §‚ц­¡ƒ ²¡R†. é?: M0 ∈ S, ½ S 3 M0 {•þ¥‡, P ~n(M0). ?Š^ S þL M0 4­‚ L. 4: M l M0 Ñu÷ L £Ä, 3 M ² Lz:‡{•þ ~n(M) ¦ ~n(M) ëYCz, XJ M £ M0 ž, {•þo´ ~n(M0), Ò¡ M0 ´­¡ S Vý:, XJ­¡þz :Ñ´Vý, K¡­¡´ÜVý­¡. ÄK, Ò¡ S ´Üüý­¡. 3/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

双侧曲面曲面定向边界定向有向曲面积分曲面积分性质双侧曲面的定向设S是三维空间中一个双侧光滑曲面：对于S上任一点M有两个单位法方向n(Mo)和一π(Mo)，只要指定其中一个n(Mo),则通过连续滑动，就可以确定曲面上所有的点M处相对应的π(M)这样曲面上的所有点和通过上面的方法所得到的法方向就是S的一侧.相反的侧就是曲面上所有点 M都取法方向一π(M)当曲面S在直角坐标系下具有参数方程表示r= (c(u,u),y(u, ), z(u,v))(u,v) E D时，它的两个法向量是(y, z) (z,α) o(,y)×=±0(u, v)'(u, v)'(u, v)这时可以指定其中一个代表正侧方向，另一个就代表负侧方向.习惯上，我们选择TuxTn=Iu ×l作为正方向的单位法向量返回全屏关闭退出I4/19

Vý­¡ ­¡½• >.½• k•­¡È© ­¡È©5Ÿ Vý­¡½•  S ´n‘m¥‡Vý1w­¡. éu S þ?: M0 kü‡ü {• ~n(M0) Ú −~n(M0), ‡½Ù¥‡ ~n(M0), KÏ LëYwÄ, Ҍ±(½­¡þ¤k: M ?ƒéA ~n(M). ù­¡ þ¤k:ÚÏLþ¡{¤{•Ò´ S ý. ƒ‡ýÒ ´­¡þ¤k: M Ñ{• −~n(M). ­¡ S 3†‹IXeäkëꐧL« ~r = ￾ x(u, v), y(u, v), z(u, v)
(u, v) ∈ D ž, §ü‡{•þ´ ±~r0 u × ~r0 v = ±  ∂(y, z) ∂(u, v) , ∂(z, x) ∂(u, v) , ∂(x, y) ∂(u, v)  ùžŒ±½Ù¥‡Lý•, ,‡ÒLKý•. S.þ, ·‚ ÀJ ~n = ~r0 u × ~r0 v |~r0 u × ~r0 v | Š•ü {•þ. 4/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

双侧曲面曲面定向边界定向有向曲面积分曲面积分性质特别当曲面的表示S: z=f(a,y) (c,y)ED为显式表示时，取(-f"，-fy, 1)n=V(fl)2+ (f,)2+1它与O轴正方向的夹角为锐角，因此所指向的一侧称为曲面的上侧，而另一侧称为下侧对于封闭曲面，法向量指向外面的那一侧称为外侧，另一侧称为内侧.例如以原点为圆心的球α2+y?+z?=R,其指向外侧的法向量为(α, y,z)n=RR返回全屏关闭退出-A5/19

Vý­¡ ­¡½• >.½• k•­¡È© ­¡È©5Ÿ AO­¡L« S : z = f(x, y) (x, y) ∈ D wªL«ž,  ~n = ￾ −f 0 x , −f 0 y , 1
q (f 0 x ) 2 + (f 0 y ) 2 + 1 §† Oz ¶•Yb. Ïd¤•ý¡­¡þý, , ý¡eý. éuµ4­¡, {•þ• ¡@ý¡ ý, ,ý¡Sý. ~ X±:%¥ x 2 + y 2 + z 2 = R2 , ٍ• ý{•þ ~n = (x, y, z) R = ~r R . 5/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

双侧曲面曲面定向边界定向有向曲面积分曲面积分性质双侧曲面边界的定向，有时，我们需要将曲面的取向与其边缘曲线的方向相协调，协调的原则是曲面的取向与边界曲线的方向构成右手系，即当右手拇指与法向量保持一致时，其他四个指头弯曲的方向与边界曲线的方向一致这样，确定了曲面的方向就可以确定边界的方向：反过来确定了边界的方向以后，也就确定了曲面的方向如果曲面S是由双侧曲面Si和S2拼接而成.当Si的边界方向确定后则应取S2的正方向使S.和S2的公共边界两侧有相反的走向，这就是拼接曲面方向的协调.由多张双侧曲面拼接成的曲面S的定向也应按上述原则在有公共边界的子曲面之间协调返回全屏关闭退出6/19

Vý­¡ ­¡½• >.½• k•­¡È© ­¡È©5Ÿ Vý­¡>.½• kž, ·‚I‡ò­¡•†Ù>­‚•ƒ N, NK´­¡•†>.­‚•¤mÃX, =mÃ- †{•þ±ž, Ù¦o‡Þ­•†>.­‚•. ù, (½ ­¡•ÒŒ±(½>.•; ‡L5(½ >.• ±￾, Ò(½ ­¡•. S1 S2 XJ­¡ S ´dVý­¡ S1 Ú S2 © ¤.  S1 >.•(½￾, KA S2 •¦ S1 Ú S2 ú
>.üýkƒ‡r•, ùÒ´© ­¡•N. dõÜVý­¡©¤­¡ S ½•AUþãK3 kú
>.f­¡ƒmN. 6/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

双侧曲面曲面定向边界定向有向曲面积分曲面积分性质第二型曲面积分11.4.2流通量的计算设S是流速场中一张定向光滑曲面求单位时间内流过S的流量.为此，将S分割成有限个充分小的有面积的小曲面片Si,S2，Sn.在每个曲面片S上，流速场近似为一个常向量=u（M）（MESi)，Si上的单位法向π也近似为单位常向量ni=n（Mi).记S的面积为ASi，则单位时间内流过S的流量近似为（M）n（M）ASi.因而单位时间内流过S的流量近似为T(M).n(M)ASi.i=1Di如果当对S的分割的宽度趋于零时-ni上面的和式有极限A，则这个极限应该就是所求的流速场中单位时间内流过S的流量返回全屏关闭退出7/19

Vý­¡ ­¡½• >.½• k•­¡È© ­¡È©5Ÿ 11.4.2 1.­¡È© 6ÏþOŽ  S ´6„| ~v ¥Ü½•1w­¡. ¦ü žmS 6L S 6þ. d, ò S ©¤k‡¿©k¡È­¡¡ S1, S2, · · · , Sn. 3z‡­¡¡ Si þ, 6„|Cq‡~•þ ~vi = ~v(Mi) (Mi ∈ Si), Si þü {• ~n Cqü ~•þ ~ni = ~n(Mi). P Si ¡ ȏ ∆Si, Kü žmS6L Si 6þCq ~v(Mi) · ~n(Mi)∆Si. Ï ü  žmS6L S 6þCq X n i=1 ~v(Mi) · ~n(Mi)∆Si. XJé S ©°Ýªu"ž, þ¡Úªk4 A, Kù‡4A TÒ´¤¦6„|¥ü žmS6 L S 6þ. S S i ~ni ~vi 7/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

双侧曲面曲面定向边界定向有向曲面积分曲面积分性质定义1设S是三维空间向量场F中一张定向光滑曲面.π是S上的单位法向.将S分割成有限个充分小的有面积的小曲面片S1,·，Sn.在每个曲面片S；上取一点M.作和式nF(M) . n(M)ASi,i-1其中AS，为S的面积.如果当分割的宽度（小曲面片直径中的最大者）趋于零时，不论M，在S中如何选，上面的和式都有固定的极限A，那么这个极限A就称为向量场F在有向曲面S上的第二型曲面积分，记为F.ds=F.nds,(11.1)SS其中ds=πdS称为有向面积微元在物理中电通量、磁通量等都是第二型曲面积分返回全屏关闭退出II8/19

Vý­¡ ­¡½• >.½• k•­¡È© ­¡È©5Ÿ ½Â 1  S ´n‘m•þ| F~ ¥Ü½•1w­¡, ~n ´ S þü  {•. ò S ©¤k‡¿©k¡È­¡¡ S1, · · · , Sn. 3z‡ ­¡¡ Si þ: Mi , ŠÚª X n i=1 F~(Mi) · ~n(Mi)∆Si, Ù¥ ∆Si  Si ¡È. XJ©°Ý (­¡¡†»¥Œö) ªu "ž, ØØ Mi 3 Si ¥XÛÀ, þ¡ÚªÑk½4 A, @où‡4  A Ò¡•þ| F~ 3k•­¡ S þ1.­¡È©, P ZZ S F~ · dS~ = ZZ S F~ · ~ndS, (11.1) Ù¥ dS~ = ~ndS ¡k•¡È‡. 3Ôn¥>Ïþ!^ÏþÑ´1.­¡È©. 8/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

双侧曲面曲面定向边界定向有向曲面积分曲面积分性质设 F=(P,Q,R),法向π与 轴,y轴,z轴的夹角分别为 α,β,,因而 π = (cos α, cos β, cos ). 此时F.ndS = Pcos αdS + Q cos βdS + Rcos ds.令dy ^ dz := cos ads.(11.2)dz ^ da := cos βdS,da ^ dy := cos dS,(dy^dz是有向曲面微元ds在yz平面上的投影)则F在 S上的第二型曲面积分可写表为F.ds:Pdy ^ dz + Qdz Λ dc + Rda Λ dy.(11.3)SS这是第二型曲面积分的另一个常用表达方式，有时符号入不写出返回全屏关闭退出I4-9/19

Vý­¡ ­¡½• >.½• k•­¡È© ­¡È©5Ÿ  F~ = (P, Q, R), {• ~n † x ¶, y ¶, z ¶Y©O α, β, γ, Ï ~n = (cos α, cos β, cos γ). dž F~ · ~ndS = P cos αdS + Q cos βdS + R cos γdS. -    dy ∧ dz := cos αdS, dz ∧ dx := cos βdS, dx ∧ dy := cos γdS, (11.2) (dy ∧ dz ´k•­¡‡ dS~ 3 yz ²¡þÝK) K F~ 3 S þ1.­ ¡È©ŒL ZZ S F~ · dS~ = ZZ S P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy. (11.3) ù´1.­¡È©,‡~^Lˆª, kžÎÒ ∧ ØÑ. 9/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

双侧曲面曲面定向边界定向有向曲面积分曲面积分性质当曲面S是一张光滑曲面，并且具有参数方程表示时(u,v) EDr=r(u, v) = (c(u, v),y(u, v), z(u,)),面积微元为dS=lr,×r,dudu.如果设曲面指定侧的单位法向量为Tuxr,亢二X则有向面积元为XRds= ndsdS= (r x r,)dudu.拉二xTds的分量形式如下：a(z,)a(c,y)(y,z)dsdudvdudv,duda(u, )a(u,v)a(u, v)即有向面积微元在三个坐标平面上的投影为o(z,c)a(a,y)o(y, z)dudv,dudv,dudv.dyΛdzdz^ddAdy福I二a(u,v)a(u,v)a(u,v)返回全屏退出1I-I关闭A10/19

Vý­¡ ­¡½• >.½• k•­¡È© ­¡È©5Ÿ ­¡ S ´Ü1w­¡, ¿…äkëꐧL«ž ~r = ~r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ D. ¡È‡ dS = |~r0 u × ~r0 v |dudv. XJ­¡½ýü {•þ ~n = ~r0 u × ~r0 v |~r0 u × ~r0 v | . Kk•¡È dS~ = ~ndS = ~r0 u × ~r0 v |~r0 u × ~r0 v | dS = (~r0 u × ~r0 v )dudv. dS~ ©þ/ªXe: dS~ =  ∂(y, z) ∂(u, v) dudv, ∂(z, x) ∂(u, v) dudv, ∂(x, y) ∂(u, v) dudv , =k•¡È‡3n‡‹I²¡þÝK dy ∧dz = ∂(y, z) ∂(u, v) dudv, dz ∧dx = ∂(z, x) ∂(u, v) dudv, dx∧dy = ∂(x, y) ∂(u, v) dudv. 10/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ