《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第10章 多变量函数的重积分（2/4）

面积元素和换元公式广义二重积分$10.2二重积分的换元在计算单变量定积分时，换元法发挥过重要作用.那时，一个积分区间被换成另一个积分区间，积分区域不会变得更简单，因此，换元的自的是要把被积函数变得简单一些二重积分也有换元法，此时换元有两个目的第一是把被积函数变得简单一些第二是把积分区域变得简单一些由于在计算二重积分时，复杂的积分区域更难于应付，所以第二个目的就显得更重要一些，有时为了积分区域变得简单而把被积函数变得复杂了一些也是值得的，返回全屏关闭退出II1/18

¡ÈƒÚ†úª 2­ȩ §10.2 ­È©† 3OŽüCþ½È©ž, †{užL­‡Š^. @ž, ‡È©«m †¤,‡È©«m, È©«Ø¬C{ü, Ïd, †8´‡r ȼêC{ü . ­È©k†{, dž†kü‡8. 1´rȼêC{ü . 1´rÈ©«C{ü . du3OŽ­È©ž, E,È©«JuAG, ¤±1‡8 Òw­‡ , kž È©«C{ü rȼêCE, ´Š. 1/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

面积元素和换元公式广义二重积分10.2.1面积元素和换元公式设D是Oay平面上一个有面积的区域，f(α,y)是定义在D上的一个可积函数.设D'是O'uV平面上一个有面积的区域.变换（映射）β : = r(u,v), y =y(u, v), (u,u) E D'(10.1)将 D'映成 D.我们假设映射 是正则的,即, E CI(D'),且满足IJl ≠ 0,也即ararJua(a,y)du# 0.(10.2)Qya(u,)ayau之所以要假设S是正则的，是因为我们希望在映射之下，有面积的区域总被变成有面积的区域，两条相交的曲线仍被变成相交（而不是相切）的曲线返回全屏关闭退出I42/18

¡ÈƒÚ†úª 2­ȩ 10.2.1 ¡ÈƒÚ†úª  D ´ Oxy ²¡þ‡k¡È«, f(x, y) ´½Â3 D þ‡ ŒÈ¼ê.  D0 ´ O0uv ²¡þ‡k¡È«. C† (N) ϕ : x = x(u, v), y = y(u, v), (u, v) ∈ D0 (10.1) ò D0 N¤ D. ·‚bN ϕ ´K, =, ϕ ∈ C1 (D0 ), …÷v |Jϕ| 6= 0, = ∂(x,y) ∂(u,v) =      ∂x ∂u ∂x ∂v ∂y ∂u ∂y ∂v      6= 0. (10.2) ƒ¤±‡b ϕ ´K, ´Ï·‚F"3Nƒe, k¡È«o C¤k¡È«, ü^ƒ­‚EC¤ƒ ( Ø´ƒƒ) ­‚. 2/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

面积元素和换元公式广义二重积分为了计算f(α,y)在区域D上的积分，先将区域D'进行矩形分割：T': uo < ui<...<un;Vo<Vi<... < Vm此时D'被分成许多小区域.其中典型的小区域是矩形小区域D'j = [ui-1, ui] × [uj-1, vi].11可ou,对于与(D）相交非空的那些小区域当分割T加细时,这些小区域的面积总和趋于零.因此非矩形小区域可忽略不计返回全屏关闭退出I3/18

¡ÈƒÚ†úª 2­ȩ  OŽ f(x, y) 3« D þÈ©, kò« D0 ?1Ý/©: T 0 : u0 < u1 < · · · < un; v0 < v1 < · · · < vm. dž D0 ©¤Nõ«, Ù¥;.«´Ý/«: D0 ij = [ui−1, ui ] × [vj−1, vj]. u v u v O x y O' i j D'ij Dij éu† ∂(D0 ) ƒš@ «© T 0 \[ž, ù « ¡ÈoÚªu". ÏdšÝ/«ŒÑØO. 3/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

面积元素和换元公式广义二重积分在变换 之下,对应于u = ui(i= 1,2,...,n), v= vj (j = 1,2..., m)的坐标曲线形成 Oay 平面上的区域 D 的一个分割 T.假设 Dii是 D,在映射下的像. 在 Di, 中取点(ui, Ui),此点被映成 Di 中的点 Pi =(Sij, Ni),即Eij = (ui, Vj),nij = y(ui, Vi).作函数 f(ac,y)关于分割 T 的 Riemann 和mEf(Pi)o(Dis),i=1 j=1这里 α(Di）是 Dii 的面积.当分割的宽度充分小时,Di 近似于一个小平行四边形.如下图所示，其中(uo, vo) = (ui-1, Vj-1), h = ui - ui-1, k = Vj - Vj-1.返回全屏关闭退出4/18

¡ÈƒÚ†úª 2­ȩ 3C† ϕ ƒe, éAu u = ui (i = 1, 2, · · · , n), v = vj (j = 1, 2 · · · , m) ‹I­‚/¤ Oxy ²¡þ« D ‡© T . b Dij ´ D0 ij 3N e. 3 D0 ij ¥: (ui, vj), d:N¤ Dij ¥: Pij = (ξij, ηij), = ξij = x(ui, vj), ηij = y(ui, vj). Š¼ê f(x, y) 'u© T  Riemann Ú X n i=1 X m j=1 f(Pij)σ(Dij), ùp σ(Dij) ´ Dij ¡È. ©°Ý¿©ž, Dij Cqu‡²1 o>/. Xe㤫, Ù¥ (u0, v0) = (ui−1, vj−1), h = ui − ui−1, k = vj − vj−1. 4/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

面积元素和换元公式广义二重积分(uo, vo + k)p(uo,vo+k)(ue+h,vo+k)p(uo+h,uo+k)SD'ijDij0(uo + h, vo)p(uo,vo)(uo,v)(uo +h, vo)因此有o(Di) ~ Il(p(uo + h, vo) - (uo, vo)) × ((uo, Vo + k) - (uo, vo))Il因为映射是可微的，所以有(uo + h, vo) - p(uo, vo) = %(uo, vo)h + o(h)p(uo, vo + k) - (uo, vo) = %(uo, vo)k + o(k)返回全屏关闭退出-5/18

¡ÈƒÚ†úª 2­ȩ (u0, v0) (u0, v0 + k) (u0 + h, v0) (u0 + h, v0 + k) ϕ D0 ij Dij ϕ(u0, v0) ϕ(u0, v0 + k) ϕ(u0 + h, v0) ϕ(u0 + h, v0 + k) Ïdk σ(Dij) ≈ k￾ ϕ(u0 + h, v0) − ϕ(u0, v0)
× ￾ ϕ(u0, v0 + k) − ϕ(u0, v0)
k. ϏN ϕ ´Œ‡, ¤±k ϕ(u0 + h, v0) − ϕ(u0, v0) = ∂ϕ ∂u(u0, v0)h + o(h) ϕ(u0, v0 + k) − ϕ(u0, v0) = ∂ϕ ∂v (u0, v0)k + o(k) 5/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

面积元素和换元公式广义二重积分因而有(Di) ~ l%(uo, vo) ×%(uo, o)ll hk + o(hk)[(u ) , (u )(10.3)?于是有nmm[ (ui, ) Au;A0.EEf(Pu)o(Du) ~EEf 0 d(ui, v)i=l j=l1 j-1当T→0时，有T→0由上式可得如下定理返回全屏关闭退出6/18

¡ÈƒÚ†úª 2­ȩ Ï k σ(Dij) ≈ ∂ϕ ∂u(u0, v0) × ∂ϕ ∂v (u0, v0) hk + o(hk) =    ∂(x,y) ∂(u,v) (u0, v0)    ∆ui∆vj + o(∆ui∆vj) (10.3) u´k X n i=1 X m j=1 f(Pij)σ(Dij) ≈ X n i=1 X m j=1 f ◦ ϕ(ui, vj)    ∂(x,y) ∂(u,v) (ui, vj)    ∆ui∆vj.  kT 0k → 0 ž, k kT k → 0, dþªŒXe½n. 6/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

面积元素和换元公式广义二重积分定理 1 设D,D'是由分段光滑曲线围成的区域.映射 (u,)=(α(u,u),y(u,)) 将 D 映为 D,且 是正则的, 即 E C'(D'),且c)(u,0) 0. 若 于(g, ) 在 D 上可积,则有/ f(a, y)da =[( (u, ) dudv.f(r(u, v), y(u, )(10.4)这就是二重积分的换元公式，可简写为[en fda = J/pf o plJpldudy.(10.5)oDD近似式（10.3）在极限状态下可写为a(u,)(10.6)do=dudv.o(u,w)这是变换前区域D上的面积微元与变换后区域D上面积微元之间的关系[( (u, )]/它们相差一个膨胀率（伸缩因子从形式上看，二重积分换元公式与单变量积分换元公式没有太多不同返回全屏关闭退出?7/18

¡ÈƒÚ†úª 2­ȩ ½ n 1  D, D0 ´ d © ã 1 w ­ ‚ Œ ¤  « . N  ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) ò D0 N D, … ϕ ´K, = ϕ ∈ C1 (D0 ), … ∂(x,y) ∂(u,v) (u, v) 6= 0. e f(x, y) 3 D þŒÈ, Kk ZZ D f(x, y)dσ = ZZ D0 f(x(u, v), y(u, v))    ∂(x,y) ∂(u,v) (u, v)    dudv. (10.4) ùÒ´­È©†úª, Œ{ ZZ ϕ(D0) fdσ = ZZ D0 f ◦ ϕ|Jϕ|dudv. (10.5) Cqª (10.3) 34GeŒ dσ =    ∂(x,y) ∂(u,v) (u, v)    dudv. (10.6) ù´C†c« D0 þ¡È‡†C†￾« D þ¡È‡ƒm'X, §‚ƒ‡)äÇ ( Ïf)    ∂(x,y) ∂(u,v) (u, v)   . l/ªþw, ­È©†úª†üCþÈ©†úªvkõØÓ. 7/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

面积元素和换元公式广义二重积分2y?2例 1求椭球≤1 的体积 VXa2c2b2解椭球上半部分的函数是y2a2a2(c, y) E D = ((c,y) :11,Z=C162'a262a2所以y2α2V =2cdcdy.62a2a(a,y)令 = as, y= bt, 则(s,t) E D' = {(s,t) : s? + t? < 1), 所ab.a(s,t)以1- s2 - t2dsdt.V = 2abcD8(s,t) s=cos, t=rsin,则今D" : 0 ≤r≤ 1, 0 ≤ 4≤2元r:0(r,)4/1-r2rdrdg=2abcV = 2abcdu二元abcr2rdr =3000<r≤100≤2元II返回全屏关闭退出8/18

¡ÈƒÚ†úª 2­ȩ ~ 1 ¦ý¥ x 2 a2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 6 1 NÈ V . ) ý¥þŒÜ©¼ê´ z = c r 1 − x2 a2 − y2 b 2 , (x, y) ∈ D = {(x, y) : x 2 a2 + y 2 b 2 6 1}, ¤± V = 2c ZZ D r 1 − x2 a2 − y2 b 2 dxdy. - x = as, y = bt, K    ∂(x,y) ∂(s,t)    = ab, (s, t) ∈ D0 = {(s, t) : s 2 + t 2 6 1}, ¤ ± V = 2abc ZZ D0 p 1 − s 2 − t 2dsdt. - s = r cos ϕ, t = r sin ϕ, K    ∂(s,t) ∂(r,ϕ)    = r; D00 : 0 6 r 6 1, 0 6 ϕ 6 2π V = 2abc ZZ 06r61 06ϕ62π p 1 − r 2rdrdϕ = 2abc Z 2π 0 dϕ Z 1 0 p 1 − r 2rdr = 4 3 πabc. 8/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

面积元素和换元公式广义二重积分例2求球体2+y2+z2≤ aα2被圆柱面 2+y2=ay所截下的体积V解由对称性可知Va2-a2-y2dacdy其中区域D：2＋y2≤ay,α≥0.化成极坐标形式为元D': 0<r≤asin,0≤S<12故casingdpr2rdra24(0三41(1)dyaCOS342元Qs1323返回全屏关闭退出I9/18

¡ÈƒÚ†úª 2­ȩ ~ 2 ¦¥N x 2 + y 2 + z 2 6 a 2 Ρ x 2 + y 2 = ay ¤eNÈ V . ) dé¡5Œ V = 4 ZZ D p a2 − x2 − y2dxdy, Ù¥« D : x 2 + y 2 6 ay, x > 0. z¤4‹I/ª D0 : 0 6 r 6 a sin ϕ, 0 6 ϕ 6 π 2 .  V = 4 Z π 2 0 dϕ Z a sin ϕ 0 p a2 − r 2rdr = 4 3 a 3 Z π 2 0 (1 − cos3 ϕ)dϕ = 4 3  π 2 − 2 3  a 3 . x y z O 9/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

广义二重积分面积元素和换元公式例3求双纽线（α2+y2)2=2a2(α2-y)所围成的面积解用极坐标表示，双纽线方程为r2=2a2cos20.所围图形在第一象限部分为区域元D:0≤50≤r≤aV2cos2p4故由对称性，双纽线围成的面积为S=dady4JDra2cos24rdrDds+XJo04a2=cos2pdyJo2a2.三退出返回全屏关闭10/18

¡ÈƒÚ†úª 2­ȩ ~ 3 ¦V݂ (x 2 + y 2 ) 2 = 2a 2 (x 2 − y 2 ) ¤Œ¤¡È. ) ^4‹IL«, V݂§ r 2 = 2a 2 cos 2ϕ. ¤Œã/31Ü©« D : 0 6 ϕ 6 π 4 , 0 6 r 6 a p 2 cos 2ϕ. dé¡5, V݂Œ¤¡È S = 4 ZZ D dxdy = 4 Z π 4 0 dϕ Z a √ 2 cos 2ϕ 0 rdr = 4a 2 Z π 4 0 cos 2ϕdϕ = 2a 2 . x y D 10/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ