《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第13章 广义积分和含参变量积分（4/5）

Fresnel积分Dirichlet积分Laplace积分$13.4含参变量积分的应用几个重要的广义积分13.4.1+8sin&1°Dirichlet积分dc.a0由Dirichlet判别法可知这个积分收敛，但不绝对收敛.引进收敛因子e一ur并考虑含参变量的积分+8sin a-urI(u) :dc.e&2由于当 u≥ 0时,此积分是一致收敛的.而被积函数在区域[0,+)×[0,+8)上连续,因而I(u)就在[0,+o）上连续.特别在点 u=0连续,可推得sin alim I(u) = I(0) =dru-70+a返回全屏关闭退出II1/15

Dirichlet È© Laplace È© Fresnel È© §13.4 ¹ëCþÈ©A^ 13.4.1 A‡­‡2ÂÈ© 1 ◦ Dirichlet È© Z +∞ 0 sin x x dx. d Dirichlet O{Œù‡È©Âñ, ØýéÂñ. Ú?ÂñÏf e −ux , ¿ĹëCþÈ© I(u) = Z +∞ 0 e −ux sin x x dx. du u > 0ž, dÈ©´Âñ. ȼê3« [0, +∞)×[0, +∞) þëY, Ï I(u) Ò3 [0, +∞) þëY. AO3: u = 0 ëY, Œí lim u→0+ I(u) = I(0) = Z +∞ 0 sin x x dx. 1/15 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Laplace积分Fresnel积分Dirichlet积分另一方面，将I(u)微商又得ur sin da,I'(u)O0其中在积分号下对 u微商的合理性是因为 u≥uo >o 时,积分+8e-u sin dacJo是一致收敛的.由分部积分法+8+8ua cos dcI'(u) = e-u cos c+ue0Jo+8+8e-u sin da=-1+usin&+u00= -1 -uI'(u),从而得到1I'(u)1+u2I返回全屏关闭退出2/15

Dirichlet È© Laplace È© Fresnel È© ,¡, ò I(u) ‡ûq I 0 (u) = − Z +∞ 0 e −ux sin xdx, Ù¥3È©Òeé u ‡ûÜn5´Ï u > u0 > 0 ž, È© Z +∞ 0 e −ux sin xdx ´Âñ. d©ÜÈ©{ I 0 (u) = e −ux cos x    +∞ 0 + u Z +∞ 0 e −ux cos x dx = −1 + u  e −ux sin x    +∞ 0 + u Z +∞ 0 e −ux sin x dx = −1 − u 2 I 0 (u), l  I 0 (u) = − 1 1 + u2 , 2/15 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Laplace积分Fresnel积分Dirichlet积分两边积分求得I(u) = -arctan u + c,当u>o时,我们有sin&uae-urdc[(u)| =1aeua1可知当u→+oo时I(u)→0,由此定出常数c=.故有元I(u)(u > 0).arctan u,2令u趋于零即得fαsin&元d =I(0)2cJo注比较级数Xsinn元>2nn=1返回全屏关闭退出II3/15

Dirichlet È© Laplace È© Fresnel È© ü>È©¦ I(u) = − arctan u + c,  u > 0 ž, ·‚k |I(u)| =     Z +∞ 0 e −ux sin x x dx     6 Z +∞ 0 e −uxdx = 1 u , Œ u → +∞ ž I(u) → 0, dd½Ñ~ê c = π 2 . k I(u) = π 2 − arctan u, (u > 0). - u ªu"= Z +∞ 0 sin x x dx = I(0) = π 2 . 5 '?ê X ∞ n=1 sin n n = π − 1 2 . 3/15 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Fresnel积分Dirichlet积分Laplace积分2°Laplace 积分-XcosβaI(β)(α > 0, β ≥ 0);daα? + α20-8 sin BcJ(β) =(α > 0, β > 0).daα? + ?因为对任意的 β ≥ 0 和 α > 0, 有1I cos βalQ2 + 2α2 + α2故 I(β) 在 β E[0, +8) 上一致收敛另外, 由 Dirichlet 判别法知, J(β) 对任意的 β ≥ βo > 0 一致收敛. 显然I(β)与 J(β)都在 β ≥ β。> 0 上一致收敛. 由积分号下求导的可微性定理知，Iβ）对β的微商可在积分号下进行，并有0cosβa sin BaI'(β) =d =dc = -J(β).ap(2+2α2 + ?101II-返回全屏关闭退出4/15

Dirichlet È© Laplace È© Fresnel È© 2 ◦ Laplace È© I(β) = Z +∞ 0 cos βx α2 + x2 dx (α > 0, β > 0), J(β) = Z +∞ 0 x sin βx α2 + x2 dx (α > 0, β > 0). Ϗé?¿ β > 0 Ú α > 0, k | cos βx| α2 + x2 6 1 α2 + x2 ,  I(β) 3 β ∈ [0, +∞) þÂñ. , , d Dirichlet O{, J(β) é?¿ β > β0 > 0 Âñ. w, I(β) † J(β) Ñ3 β > β0 > 0 þÂñ. dÈ©Òe¦Œ‡5½n , I(β) é β ‡ûŒ3È©Òe?1, ¿k I 0 (β) = Z +∞ 0 ∂ ∂β  cos βx α2 + x2  dx = − Z +∞ 0 x sin βx α2 + x2 dx = −J(β). 4/15 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Dirichlet积分Laplace积分Fresnel积分当β>0时,有fαsinβac元da2aJo于是有fX&sinBa元34I'(β) +dc+da2α2 + 2aJoJo+8sinβa= Q2dc(α2 + α2)Jo上式又可对β在积分号下求微商，于是又有+8cosβaI"(β) = α2da=α"I(β)α2 + α2Jo这是一个二阶常系数线性微分方程，求得通解为I(β) = Ceaβ + Ce-ap,返回全屏关闭退出二P5/15

Dirichlet È© Laplace È© Fresnel È©  β > 0 ž, k π 2 = Z +∞ 0 sin βx x dx, u´k I 0 (β) + π 2 = − Z +∞ 0 x sin βx α2 + x2 dx + Z +∞ 0 sin βx x dx = α 2 Z +∞ 0 sin βx x(α2 + x2) dx, þªqŒé β 3È©Òe¦‡û, u´qk I 00(β) = α 2 Z +∞ 0 cos βx α2 + x2 dx = α 2 I(β), ù´‡~Xê‚5‡©§, ¦Ï) I(β) = c1e αβ + c2e −αβ , 5/15 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Fresnel积分Dirichlet积分Laplace积分其中C1,C2为任意常数由于对β>0有+8da元[I(B)I≤Q2+220可知I(β）有界，又因为α0,所以C1必须为零，故有I(β) = Cze-αp,注意，到此为止，运算都是在β>0的假设下进行的下面来确定c2的值，由于积分I(β在βE[0,+）上一致收敛，故I(β)在[0,+8）上连续，特别在β=0处右连续，于是有+8da元C2=lim I(β)=I(0)=Q2+22αB0+0故得到+8cosBa元-aBI(β) =dc(α>0,β≥0)eQ2+22α返回全屏关闭退出I=-6/15

Dirichlet È© Laplace È© Fresnel È© Ù¥ c1, c2 ?¿~ê. dué β > 0 k |I(β)| 6 Z +∞ 0 dx α2 + x2 = π 2α , Œ I(β) k., qϏ α > 0, ¤± c1 7L", k I(β) = c2e −αβ . 5¿, dŽ, $ŽÑ´3 β > 0 be?1. e¡5(½ c2 Š, duÈ© I(β) 3 β ∈ [0, +∞) þÂñ,  I(β) 3 [0, +∞) þëY, AO3 β = 0 ?mëY, u´k c2 = lim β→0+ I(β) = I(0) = Z +∞ 0 dx α2 + x2 = π 2α .  I(β) = Z +∞ 0 cos βx α2 + x2 dx = π 2α e −αβ (α > 0, β > 0). 6/15 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Fresnel积分Dirichlet积分Laplace积分最后,对α>0,β>0,有元2-03J(β) = -I'(β)三e一，2于是得到+8asinBr元-α3dr(α > 0, β> 0).e二2+α22Jo返回全屏关闭退出7/15

Dirichlet È© Laplace È© Fresnel È© ￾, é α > 0, β > 0, k J(β) = −I 0 (β) = π 2 e −αβ , u´ Z +∞ 0 x sin βx α2 + x2 dx = π 2 e −αβ (α > 0, β > 0). 7/15 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Dirichlet积分Laplace积分Fresnel积分sin?8aa例 1 求积分 I(α) =dc.1 + 201-cos2ar所以解因为 sinαc：-2+811cos 2aaI(α)da21 +α20+8tx111cos2aadada21 + 221 + α2JoJo1元元-20e422元204返回全屏关闭退出II8/15

Dirichlet È© Laplace È© Fresnel È© ~ 1 ¦È© I(α) = Z +∞ 0 sin2 αx 1 + x2 dx. ) Ϗ sin2 αx = 1−cos 2αx 2 , ¤± I(α) = 1 2 Z +∞ 0 1 − cos 2αx 1 + x2 dx = 1 2 Z +∞ 0 1 1 + x2 dx − 1 2 Z +∞ 0 cos 2αx 1 + x2 dx = π 4 − 1 2 · π 2 e −2α = π 4 ￾ 1 − e −2α
. 8/15 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Laplace积分Fresnel积分Dirichlet积分3°Fresnel积分+8+8cos a?da.sin 'dac,JoJo作积分变换可得+α-X1sintsin 'dcdt.2 J。VtJo该积分是条件收敛的.当t>0时.由+812e-tu' du,-Vt一元可得2+αsint237sintdtdteuV元tJo10交换积分次序就得到+8e+82αsinte-(u°+v)t sin tdtvtdtdueV元VtJo10+82duV元1 + (u? + v)2I-I返回全屏关闭退出9/15

Dirichlet È© Laplace È© Fresnel È© 3 ◦ Fresnel È© Z +∞ 0 sin x 2dx, Z +∞ 0 cos x 2dx. ŠÈ©C†Œ Z +∞ 0 sin x 2dx = 1 2 Z +∞ 0 sin t √ t dt, TÈ©´^‡Âñ.  t > 0 ž, d 1 √ t = 2 √ π Z +∞ 0 e −tu2 du, Œ Z +∞ 0 sin t √ t e −vtdt = 2 √ π Z +∞ 0 e −vt sin tdt Z +∞ 0 e −tu2 du, †È©gSÒ Z +∞ 0 sin t √ t e −vtdt = 2 √ π Z +∞ 0 du Z +∞ 0 e −(u 2+v)t sin tdt = 2 √ π Z +∞ 0 du 1 + (u2 + v) 2 . 9/15 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Dirichlet积分Laplace积分Fresnel积分等式+8+αdusint2-utdt =eVt1 + (u2+)2V元0右端的积分关于在[0,十）上一致收敛，而左端的积分关于在[0,+)上一致收敛因此当一→0+时，可以在等式两端的积分号下取极限值，即有++8sintdu2元2元dt ==元02Vt1+4V元2V210所以+8元sin ada二81类似可得+8下18cos a"dac1还需验证上面交换几分次序的合理性返回退出全屏关闭-l10/15

Dirichlet È© Laplace È© Fresnel È© ª Z +∞ 0 sin t √ t e −vtdt = 2 √ π Z +∞ 0 du 1 + (u2 + v) 2 . màÈ©'u v 3 [0, +∞) þÂñ, †àÈ©'u v 3 [0, +∞) þÂñ. Ïd v → 0 + ž, Œ±3ªüàÈ©Òe4Š, =k Z +∞ 0 sin t √ t dt = 2 √ π Z +∞ 0 du 1 + u4 = 2 √ π π 2 √ 2 = r π 2 . ¤± Z +∞ 0 sin x 2dx = r π 8 . aqŒ Z +∞ 0 cos x 2dx = r π 8 . „Iyþ¡†A©gSÜn5. 10/15 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ