《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第13章 广义积分和含参变量积分（2/5）

保连续性交换积分号积分号下求导积分限含参数$13.2含参变量常义积分含参变量的常义积分及其性质13.2.1设二元函数 f(α,u)在区间[a,b] ×[α,β] 上连续,对于任给定的 u E[α,β],函数 f(c,u) 对变量 α 在[a,b] 上 Riemann 可积,这时称积分f(α, u)da是含参变量u的常义积分.它定义了一个函数Fu→(u) =f(a, u)dc.这一节主要目的，就是要讨论含参变量的常义积分的性质返回全屏关闭退出1/20

ëY5 †È©Ò È©Òe¦ È©¹ëê §13.2 ¹ëCþ~ÂÈ© 13.2.1 ¹ëCþ~ÂÈ©9Ù5Ÿ ¼ê f(x, u) 3«m [a, b] × [α, β] þëY, éu?‰½ u ∈ [α, β], ¼ê f(x, u) éCþ x 3 [a, b] þ Riemann ŒÈ, ùž¡È© Z b a f(x, u)dx ´¹ëCþ u ~ÂÈ©. §½Â ‡¼ê u 7−→ ϕ(u) = Z b a f(x, u)dx. ù!̇8, Ò´‡?عëCþ~ÂÈ©5Ÿ. 1/20 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

保连续性交换积分号积分号下求导积分限含参数定理1如果二元函数f(a,u)在I=[a,b]×[α,]上连续,则p(u) =f(c, u)da在[α,β]上连续证明在区间[α,β]上任取一点uo,于是Yf(a, uo)dap(u) - p(uo)l =f(c, u)dc -.bIf(c, u) - f(c, uo)ldc,由于f(c,u)在闭区域I上连续,必一致连续.故对任意ε>0,存在正数,只要I中两点（α1,ui）与（2,2)的距离小于8,就有[f(1, u1) - f(2, u2)/ < EI返回全屏关闭退出2/20

ëY5 †È©Ò È©Òe¦ È©¹ëê ½n 1 XJ¼ê f(x, u) 3 I = [a, b] × [α, β] þëY, K ϕ(u) = Z b a f(x, u)dx 3 [α, β] þëY. y² 3«m [α, β] þ?: u0, u´ |ϕ(u) − ϕ(u0)| =     Z b a f(x, u)dx − Z b a f(x, u0)dx     6 Z b a |f(x, u) − f(x, u0)|dx, du f(x, u) 34« I þëY, 7ëY. é?¿ ε > 0, 3ê δ, ‡ I ¥ü: (x1, u1) † (x2, u2) ålu δ, Òk |f(x1, u1) − f(x2, u2)| < ε. 2/20 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

保连续性交换积分号积分号下求导积分限含参数特别当 lu - uol < 时, 对任意 E [a,b] 都有If(c, u) - f(α, uo)l < e,从而得到lp(u) - p(uo)l < (b -a)e.这就证明了 (u)在点 uo 处连续,由 uo的任意性可知, (u)在[α,β] 上连续V由于lim p(u) = p(uo)u→uo可写成hlimlim f(c, u)da,f(α, u)da =u-→uou→uo也就是说极限运算与积分运算的次序可以交换返回全屏关闭退出3/20

ëY5 †È©Ò È©Òe¦ È©¹ëê AO |u − u0| < δ ž, é?¿ x ∈ [a, b] Ñk |f(x, u) − f(x, u0)| < ε, l  |ϕ(u) − ϕ(u0)| < (b − a)ε. ùÒy² ϕ(u) 3: u0 ?ëY, d u0 ?¿5Œ, ϕ(u) 3 [α, β] þë Y. du lim u→u0 ϕ(u) = ϕ(u0) Œ¤ lim u→u0 Z b a f(x, u)dx = Z b a lim u→u0 f(x, u)dx, Ò´`4$Ž†È©$ŽgSŒ±†. 3/20 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

保连续性积分限含参数交换积分号积分号下求导例 1 设 f(α) 是区间 [0,1] 上的连续函数, 讨论函数tf(α)F(t) =daα2 + t2的连续性解 对每一个固定的 t E R,二元函数tf(α)h(a,t)=$+r都是关于连续函数，因此，F(t)是一个定义好的函数，且是奇函数设 0 < α < β. 因为 h(α,t) 在[0,1] ×[α,β] 上连续,所以 F(t) 在[α,β]连续, 从而 F(t) 在 t ≠ 0 处都是连续的. 对于 0 < t< 1, 有et1/3tf(α)tf(c)tf(α)daddc +2 + t2/t1/3 α2 + t22+t2因 f 在[0,1] 上连续, 可设 [f(c)] ≤ M. 因而t1/3ttf(α)MM → 0, (t → 0+).dr1+t4/3Jt1/32+t2t2/3 + t2I返回全屏关闭退出4/20

ëY5 †È©Ò È©Òe¦ È©¹ëê ~ 1  f(x) ´«m [0, 1] þëY¼ê, ?ؼê F(t) = Z 1 0 tf(x) x2 + t 2 dx ëY5. ) éz‡½ t ∈ R, ¼ê h(x, t) = tf(x) x2 + t 2 Ñ´'u x ëY¼ê, Ïd, F(t) ´‡½Âмê, …´Û¼ê.  0 < α < β. Ϗ h(x, t) 3 [0, 1] × [α, β] þëY, ¤± F(t) 3 [α, β] ëY, l F(t) 3 t 6= 0 ?Ñ´ëY. éu 0 < t < 1, k Z 1 0 tf(x) x2 + t 2 dx = Z t 1/3 0 tf(x) x2 + t 2 dx + Z 1 t 1/3 tf(x) x2 + t 2 dx. Ï f 3 [0, 1] þëY, Œ |f(x)| 6 M. Ï     Z 1 t 1/3 tf(x) x2 + t 2 dx     6 t t 2/3 + t 2 M = t 1/3 1 + t 4/3 M → 0, (t → 0 + ). 4/20 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

保连续性交换积分号积分号下求导积分限含参数根据第一积分中值定理的推广，存在E(0,t1/3）使得rt1/3ct1/3ttf(α)da = f()da2+ t22+t2002/=1/31= f()arctan=f()arctant2/3t la=0因而et1/3tf(a)元dc =lim=f(0)αc2 + t22t-→0+ Jo于是元lim F(t) ==f(0).2t→0+同理元lim F(t) =2 f(0).t-0-由此可知当 f(O) = 0 时, F(t)在 t = 0 连续, 但当 f(O) ≠ 0 时, F(t) 在 t = 0不连续返回全屏关闭退出-45/20

ëY5 †È©Ò È©Òe¦ È©¹ëê Šâ1È©¥Š½ní2, 3 ξ ∈ (0, t1/3 ) ¦ Z t 1/3 0 tf(x) x2 + t 2 dx = f(ξ) Z t 1/3 0 t x2 + t 2 dx = f(ξ) arctan x t    x=t 1/3 x=0 = f(ξ) arctan 1 t 2/3 . Ï lim t→0+ Z t 1/3 0 tf(x) x2 + t 2 dx = π 2 f(0). u´ lim t→0+ F(t) = π 2 f(0). Ón lim t→0− F(t) = − π 2 f(0). ddŒ f(0) = 0 ž, F(t) 3 t = 0 ëY,  f(0) 6= 0 ž, F(t) 3 t = 0 ØëY. 5/20 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

保连续性交换积分号积分号下求导积分限含参数在确定了p（u）是u的连续函数之后，就有可能来考察它在区间[α，β]上的积分Bf(a,u)dc du.p(u)du =当函数f（a,u）在I上连续时，上式右端积分等于f（a,u）在I上的二重积分，故也可写成f(ar,u)da du =f(a,u)du da这便是定理 2 如果函数 f(αc,u) 在 I =[a,b] ×[α,β] 上连续,则f(ac,u)da 在[α,β] 可积,并有p(u) :=Gf(r, u)da du =f(a,u)du一p(u)du :.da返回全屏关闭退出146/20

ëY5 †È©Ò È©Òe¦ È©¹ëê 3(½ ϕ(u) ´ u ëY¼êƒ￾, ÒkŒU5 §3«m [α, β] þÈ© Z β α ϕ(u)du = Z β α Z b a f(x, u)dx du. ¼ê f(x, u) 3 I þëYž, þªmàÈ©u f(x, u) 3 I þ­È ©, Œ¤ Z β α Z b a f(x, u)dx du = Z b a Z β α f(x, u)du dx. ùB´ ½n 2 XJ¼ê f(x, u) 3 I = [a, b] × [α, β] þëY, K ϕ(u) = Z b a f(x, u)dx 3 [α, β] ŒÈ, ¿k Z β α ϕ(u)du = Z β α Z b a f(x, u)dx du = Z b a Z β α f(x, u)du dx. 6/20 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

保连续性交换积分号积分号下求导积分限含参数a1例2计算dc, 0< a<b.IncJo解早注意到.b26raaudu,Ina0且二元函数hc,u)=acu在[0,1]×[a,b]连续，因而有Or"duaudrdudrS0h11au+1duduu+lu+l0b+1Im二a+l返回全屏关闭退出7/20

ëY5 †È©Ò È©Òe¦ È©¹ëê ~ 2 OŽ Z 1 0 x b − x a ln x dx, 0 < a < b. ) 5¿ x b − x a ln x = Z b a x u du, …¼ê h(x, u) = x u 3 [0, 1] × [a, b] ëY, Ï k I = Z 1 0 Z b a x udu dx = Z b a Z 1 0 x u dx du = Z b a 1 u + 1 x u+1    1 0 du = Z b a 1 u + 1 du = ln b + 1 a + 1 . 7/20 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

保连续性交换积分号积分号下求导积分限含参数现在进一步研究函数u）的可微性定理 3 设函数 f(α,u)在 I =[a,b] ×[α,β] 上连续,且对 u有连续偏导数则函数p(u) =f(a, u)dac在[α,β]上可导,并有af(α,u)pudaau令证明rb af(c,u)dc = g(u),au则 g(u)是[α,β]上的连续函数,根据定理 2,当α≤≤β时有返回全屏关闭退出118/20

ëY5 †È©Ò È©Òe¦ È©¹ëê y3?Úïļê ϕ(u) Œ‡5. ½n 3 ¼ê f(x, u) 3 I = [a, b] × [α, β] þëY, …é u këY ê, K¼ê ϕ(u) = Z b a f(x, u)dx 3 [α, β] þŒ, ¿k ϕ 0 (u) = Z b a ∂f(x, u) ∂u dx. y² - Z b a ∂f(x, u) ∂u dx = g(u), K g(u) ´ [α, β] þëY¼ê, Šâ½n 2,  α 6 v 6 ⠞k 8/20 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

保连续性交换积分号积分号下求导积分限含参数af(c, u)dadug(uduauh[f(c, v) - f(c, α)]d = (u) - (α),由定理 1 知, g(u) 是[α,β] 上的连续函数, 可见 p(u)是 g() 的原函数, 因此p'(u) = g(u).这就是所要证明的公式一返回全屏关闭退出9/20

ëY5 †È©Ò È©Òe¦ È©¹ëê Z v α g(u)du = Z b a Z v α ∂f(x, u) ∂u du dx = Z b a [f(x, v) − f(x, α)]dx = ϕ(v) − ϕ(α). d½n 1 , g(u) ´ [α, β] þëY¼ê, Œ„ ϕ(v) ´ g(v) ¼ê, Ïd ϕ 0 (v) = g(v). ùÒ´¤‡y²úª. 9/20 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

保连续性交换积分号积分号下求导积分限含参数n(1+c)da的值例3试求积分1+2n解考虑含参变量的积分In(1 + uc)I(u)dr.1+2JoIn(1+ur)T这个积分的被积函数及其关于u的偏微商都在[0, 1]2 上1+2(1+r2)(1+u）连续，由定理3就有aI'(u) =dr(1+2)(1+uc)auudac2c21+ucln2TIn(1 ++u224将此式的两端关于u从0到1积分得返回全屏退出关闭?10/20

ëY5 †È©Ò È©Òe¦ È©¹ëê ~ 3 Á¦È© Z 1 0 ln(1 + x) 1 + x2 dx Š. ) ĹëCþÈ© I(u) = Z 1 0 ln(1 + ux) 1 + x2 dx. ù‡È©ȼê ln(1+ux) 1+x2 9Ù'u u  ‡û x (1+x2)(1+ux) Ñ3 [0, 1]2 þ ëY, d½n 3 Òk I 0 (u) = Z 1 0 x (1 + x2)(1 + ux) dx = 1 1 + u2 Z 1 0  x 1 + x2 + u 1 + x2 − u 1 + ux dx = 1 1 + u2  ln 2 2 + π 4 u − ln(1 + u)  . òdªüà'u u l 0  1 È© 10/20 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ