《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第10章 多变量函数的重积分（3/4）

概念累次积分换元三重积分$10.3三重积分的概念10.3.1设 V = [a1,bi] × [a2, b2] × [a3,b3] 是 R3 中的三维闭区间。 分别作I;=[ai,bil (i=1,2,3)上的分割Ti : ai = o<ai<...<Cn = bi;T2 : a2 = Yo < Y1 < . . . < Ym = b2;T3 : a3 = Zo < Z1 < : < Z1 = b3.三族平行平面 = αi, (i = 0,1,..·,n), y = yj, (j = 0,1,·,m) z = zk(k = 0,1, ,l) 把 V 分成 n × m × l 个子区间:Viik = [ci-1, ci] × [Yj-1, yi] × [zk-1, zk](i = 1,2, ..,n; j = 1, 2, ...,m; k = 1, 2,..,l.)这些子区间组成 V的一个分割T= T ×Ti × T.对于在 V上定义的函数返回全屏关闭退出1/25

Vg \gÈ© † §10.3 n­È© 10.3.1 n­È©Vg  V = [a1, b1] × [a2, b2] × [a3, b3] ´ R3 ¥n‘4«m. ©OŠ Ii = [ai, bi ] (i = 1, 2, 3) þ©: T1 : a1 = x0 < x1 < · · · < xn = b1; T2 : a2 = y0 < y1 < · · · < ym = b2; T3 : a3 = z0 < z1 < · · · < zl = b3. nx²1²¡ x = xi, (i = 0, 1, · · · , n), y = yj, (j = 0, 1, · · · , m) z = zk (k = 0, 1, · · · , l) r V ©¤ n × m × l ‡f«m: Vijk = [xi−1, xi ] × [yj−1, yj] × [zk−1, zk] (i = 1, 2, · · · , n; j = 1, 2, · · · , m; k = 1, 2, · · · , l.) ù f«m|¤ V ‡© T = T1 × T1 × T3. éu3 V þ½Â¼ê 1/25 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

概念累次积分换元f(a,y,z),在每个 Vijk 中取一点 sik,作和式 (Riemann 和)S(f,T) := Z f(sijk)o(Vijk),(10.1)i=1 j-1 k=1其中 α(Vik) 是 Vijk 的体积. 记 ITll = max[diam(Vijk)),这里 diam(Vijk)是i.i.kViik的对角线长度，称ITl为分割T的宽度.称Eik为值点定义 1 设 f(αc,y,z)是定义在 V 上的函数.如果存在数 A,使得对任意给定的0,存在>0, 当 JTIl<时,不论值点 siik在Vik 中如何选都有1ZZf(sijk)o(Vik) - A <e,i=1j=1k=1则称函数f在区间 V上可积.并将A写作[门f(α, y, z)dadydz 或fdo,称为f在区间V上的三重积分I返回全屏关闭退出-l2/25

Vg \gÈ© † f(x, y, z), 3z‡ Vijk ¥: ξijk, ŠÚª (Riemann Ú) S(f, T ) := X n i=1 X m j=1 X l k=1 f(ξijk)σ(Vijk), (10.1) Ù¥ σ(Vijk) ´ Vijk NÈ. P kT k = max i,j,k {diam(Vijk)}, ùp diam(Vijk) ´ Vijk é‚Ý, ¡ kT k © T °Ý. ¡ ξijk Š:. ½Â 1  f(x, y, z) ´½Â3 V þ¼ê. XJ3ê A, ¦é?¿ ‰½ ε > 0, 3 δ > 0,  kT k < δ ž, Ø؊: ξijk 3 Vijk ¥XÛÀ, Ñk       X n i=1 X m j=1 X l k=1 f(ξijk)σ(Vijk) − A       < ε, K¡¼ê f 3«m V þŒÈ, ¿ò A Š ZZZ V f(x, y, z)dxdydz ½ Z V fdσ, ¡ f 3«m V þn­È©. 2/25 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

概念累次积分换元定义2设VC IR3是一个集合.如果对任意给定的ε>0,存在有限个或一列三维区间{In，nEN)使得XVc U In, o(In)≤e,n=1nEN这里α(In）表示In的体积)，那么称V为（三维）零测度集，简称零测集.若上面的In只需要有限个，则V称为零体积集定理1（1）至多可数集是零测集，至多可数个零测集的并集还是零测集（2）有限个零体积集的并集还是零体积集(3）B是零体积集等价于B是零体积集(4)设BCIR3是有界闭集.则B是零测集等价于B是零体积集5）IR3中光滑曲面片是零体积集定理 2（Lebesgue定理）设 f(a,y,z）是三维闭区间IC R3上的有界函数，那么f在I上可积的充分必要条件是：f的间断点全体是一个零测集返回全屏关闭退出3/25

Vg \gÈ© † ½Â 2  V ⊂ R3 ´‡8Ü. XJé?¿‰½ ε > 0, 3k‡ ½n‘«m {In, n ∈ N} ¦ V ⊂ [ n∈N In, X ∞ n=1 σ(In) 6 ε, (ùp σ(In) L« In NÈ), @o¡ V  (n‘) "ÿÝ8, {¡"ÿ8. e þ¡ In I‡k‡, K V ¡"NÈ8. ½n 1 (1) õŒê8´"ÿ8, õŒê‡"ÿ8¿8„´"ÿ8; (2) k‡"NÈ8¿8„´"NÈ8; (3) B ´"NÈ8du B ´"NÈ8; (4)  B ⊂ R3 ´k.48. K B ´"ÿ8du B ´"NÈ8; (5) R3 ¥1w­¡¡´"NÈ8. ½n 2 (Lebesgue ½n)  f(x, y, z) ´n‘4«m I ⊂ R3 þk.¼ ê, @o f 3 I þŒÈ¿©7‡^‡´: f mä:N´‡"ÿ8. 3/25 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

概念累次积分换元设 f(c,y,z)是定义在有界集 V C R3上的函数. 按下面的方式将它延拓到R3的函数：令f(a,y,z), (α,y, z) E V;fv(c,y, z) =(0,(c, y,z) @ V,定义 3 设 f(α,y,z)是定义在有界集 VC R3上的函数I是一个三维区间,且 V I. 若 fv(α,y,z)在 I 上可积, 则称 f 在 V 上可积. 积分值就是 fv(αc,y,z)在 I 上的积分值, 记为JJf(α, y, z) dadydz 或fdo.1三重积分的几何意义不直观.可以考虑物理意义：设空间中一个物体占有区域 V C R3,物体的密度函数是 p(c,,z),因而体积微元 da 的质量是p(a,,z)da.于是物理总质量就是积分pda.返回全屏关闭退出4/25

Vg \gÈ© †  f(x, y, z) ´½Â3k.8 V ⊂ R3 þ¼ê. Ue¡ªò§ò ÿ R3 ¼ê: - fV (x, y, z) =    f(x, y, z), (x, y, z) ∈ V ; 0, (x, y, z) 6∈ V, ½Â 3  f(x, y, z) ´½Â3k.8 V ⊂ R3 þ¼ê. I ´‡n‘ «m, … V ⊂ I. e fV (x, y, z) 3 I þŒÈ, K¡ f 3 V þŒÈ. È©ŠÒ ´ fV (x, y, z) 3 I þÈ©Š, P ZZZ V f(x, y, z) dxdydz ½ Z V fdσ. n­È©AÛ¿Â؆*. Œ±ÄÔn¿Â: m¥‡ÔNÓ k« V ⊂ R3 , ÔNÝ¼ê´ ρ(x, y, z), Ï Nȇ dσ Ÿþ´ ρ(x, y, z)dσ. u´ÔnoŸþÒ´È© Z V ρdσ. 4/25 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

换元概念累次积分定义4（有界集的体积）设VCR3是有界集.若取值为1的常值函数在V上可积，则称V是一个有体积的集，其体积定义为α(V)=Jv1dg.定理3设VCR3是有界集.则V是零体积集当且仅当V有体积且体积为零, 即 α(V)= / 1dg = 0.V定理4设VCR3是有界集.则V有体积当且仅当aV是零体积集定理5设VCR3是有体积的集.则f在V上可积且积分等于A的充分必要条件是：对Vε>0,三>0,若将V分割为有限个互不重叠的有体积的小块Vi，·，Vn，记入为Vi的直径只要分割的宽度入=max入，满足ZST入<,那么对VpiEVi,都有nZ f(pi)o(V) - A <e.i=1返回全屏关闭退出--5/25

Vg \gÈ© † ½Â 4 (k.8NÈ)  V ⊂ R3 ´k.8. eŠ 1 ~Š¼ê 3 V þŒÈ, K¡ V ´‡kNÈ8, ÙNȽ σ(V ) = R V 1 dσ. ½n 3  V ⊂ R3 ´k.8. K V ´"NÈ8…= V kNȅNÈ ", = σ(V ) = Z V 1 dσ = 0. ½n 4  V ⊂ R3 ´k.8. K V kNÈ…= ∂V ´"NÈ8. ½n 5  V ⊂ R3 ´kNÈ8. K f 3 V þŒÈ…È©u A ¿© 7‡^‡´: é ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, eò V ©k‡pØ­UkNÈ ¬ V1, · · · , Vn, P λi  Vi †». ‡©°Ý λ = max 16i6n λi ÷v λ < δ, @oé ∀ pi ∈ Vi , Ñk      X n i=1 f(pi)σ(Vi) − A      < ε. 5/25 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

概念累次积分换元三重积分的累次积分10.3.2定理6设f(,,z)在=I1×I2×I（I=[ai,bil,=1,2,3)上可积1°如果对每个（y,z)EI2×I3,f(c,,z是I上关于的可积函数，则积分py)=bf(a,)da定义了关于变量yz)在Iz×I上的可积函数，并有bf(c, y, z)dcdydz.dydzf(cy,z)da=p(y,z)dydzJaiI2×I3I2xI32°同理，如果对每个aE[aibilf(c,y,z是I×I上关于（y,z）的可积函数，则(a)=rf(a,y，z)dy是关于a在[ai,bi]上的可积函数，并有12×13pbib1f(c, y, z)dydz =daf(a, y, z)dadydz.(α)da =JaialI2×13V返回全屏 关闭退出6/25

Vg \gÈ© † 10.3.2 n­È©\gÈ© ½n 6  f(x, y, z) 3 V = I1 × I2 × I3 (Ii = [ai, bi ], i = 1, 2, 3) þŒ È. 1 ◦ XJéz‡ (y, z) ∈ I2 × I3, f(x, y, z) ´ I1 þ'u x ŒÈ¼ê, K È© ϕ(y, z) = R b1 a1 f(x, y, z)dx ½Â 'uCþ (y, z) 3 I2 × I3 þŒÈ ¼ê, ¿k ZZ I2×I3 ϕ(y, z)dydz = ZZ I2×I3 dydz Z b1 a1 f(x, y, z)dx = ZZZ V f(x, y, z)dxdydz. 2 ◦ Ón, XJéz‡ x ∈ [a1, b1], f(x, y, z) ´ I2 × I3 þ'u (y, z) Œ ȼê, K ψ(x) = RR I2×I3 f(x, y, z)dy ´'u x 3 [a1, b1] þŒÈ¼ê, ¿k Z b1 a1 ψ(x)dx = Z b1 a1 dx ZZ I2×I3 f(x, y, z)dydz = ZZZ V f(x, y, z)dxdydz. 6/25 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

概念累次积分换元定理7（累次积分，先一后二）设VCR3是有体积的有界集，f是V上连续函数.设 V在 ay平面上的垂直投影为 D,且当（α,y) E D 时,过这一点且垂直于 acy平面的直线与 V交成一个区间[pi(c,y),P2(ac,y)],那么有42(a,y)fdaf(a,y,z)dz.(10.2)dadyDJpi(a,y)p2(a,y)pi(a,y)y(a,y)返回全屏关闭退出?7/25

Vg \gÈ© † ½n 7 (\gÈ©, k￾)  V ⊂ R3 ´kNÈk.8, f ´ V þë Y¼ê.  V 3 xy ²¡þR†ÝK D, … (x, y) ∈ D ž, Lù :…R†u xy ²¡†‚† V ¤‡«m [ϕ1(x, y), ϕ2(x, y)], @ok Z V fdσ = ZZ D dxdy Z ϕ2(x,y) ϕ1(x,y) f(x, y, z)dz. (10.2) O x y z D V (x, y) ϕ1(x, y) ϕ2(x, y) 7/25 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

概念累次积分换元证明因为f在V上连续，所以f在V上可积.作三维区间I=I×Iz×IV,其中II2和I都是R中的闭区间.则fv在I上可积.且fda =fvdo.当 (α,y) E D 时, 函数 f(αc,y,) 在区间[pi(α,y),2(c,y)] 上连续,从而是可积的.因此(p2(c,y)fv(α, y, z)dz =f(α, y, z)dz,pi(a,y)由于当 (ac,y) @ D 时, fv(α, y,z) = 0,这时 J, f(ac,y,z)dz = 0. 因此fd =dadyfv(c, y, z)dzfvdo13IixI21p2(a,y)drdyf(c, y, z)dz.pi(t,y)D返回全屏关闭退出I8/25

Vg \gÈ© † y² Ϗ f 3 V þëY, ¤± f 3 V þŒÈ. Šn‘«m I = I1 × I2 × I3 ⊃ V, Ù¥ I1, I2 Ú I3 Ñ´ R ¥4«m. K fV 3 I þŒÈ, … Z V fdσ = Z I fV dσ.  (x, y) ∈ D ž, ¼ê f(x, y, ·) 3«m [ϕ1(x, y), ϕ2(x, y)] þëY, l ´ ŒÈ. Ïd Z I3 fV (x, y, z)dz = Z ϕ2(x,y) ϕ1(x,y) f(x, y, z)dz, du (x, y) 6∈ D ž, fV (x, y, z) = 0, ùž R I3 f(x, y, z)dz = 0. Ïd Z V fdσ = Z I fV dσ = ZZ I1×I2 dxdy Z I3 fV (x, y, z)dz = ZZ D dxdy Z ϕ2(x,y) ϕ1(x,y) f(x, y, z)dz. 8/25 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

概念累次积分换元定理8（累次积分.先二后一）设VCR3是有体积的有界集.f是V上连续函数.设 V 在 z轴上的投影为区间[c,d] 且当 z E [c,d] 时,过这一点且垂直于z轴的平面与V交成的图形在&y平面上的投影为D，那么有(10.3)f(c, y, z)dcdy.fdadzJD返回全屏关闭退出19/25

Vg \gÈ© † ½n 8 (\gÈ©, k￾)  V ⊂ R3 ´kNÈk.8, f ´ V þë Y¼ê.  V 3 z ¶þÝK«m [c, d] … z ∈ [c, d] ž, Lù:… R†u z ¶²¡† V ¤ã/3 xy ²¡þÝK Dz, @ok Z V fdσ = Z d c dz ZZ Dz f(x, y, z)dxdy. (10.3) O x y z c d z V Dz 9/25 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

概念累次积分换元例1 求α"yery dadydz, 其中 D = [0, 1]3D解J22a*ydady?yery dadydzery"dzR二-JJ[0,1]20r(ery-1)dady[0,1]2厂1n1erydyadardady0010011(e21)da一205e三2返回全屏关闭退出Il10/25

Vg \gÈ© † ~ 1 ¦ ZZZ D x 2yexyzdxdydz, Ù¥ D = [0, 1]3 . ) ZZZ D x 2yexyzdxdydz = ZZ [0,1]2 x 2ydxdy Z 1 0 e xyzdz = ZZ [0,1]2 x(e xy − 1)dxdy = Z 1 0 xdx Z 1 0 e xydy − Z 1 0 xdx Z 1 0 dy = Z 1 0 (e x − 1)dx − 1 2 = e − 5 2 . 10/25 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ