《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第7章 无穷级数 §7.3 幂级数与泰勒级数展开

收敛区域 收敛半径 幂级数的性质 Abel第二定理 幂级数的运算 Taylor 展开 §7.3幂级数与泰勒级数展开 本节我们将讨论一种简单的函数项级数“幂级数”： ∑anx”=a0+a1x+a2x2+…+anxn+…. n=0 幂级数的形式虽然简单，但它和后面要讨论的三角级数是应用最广泛也最重 要的两类函数项级数. 我们首先要研究清楚它的和函数的性质：定义域、连续性、可微性和可 积性. 返回 全屏 关闭 退出 1/17

Âñ« ÂñŒ» ?ê5Ÿ Abel 1½n ?ê$Ž Taylor Ðm §7.3 ?ê†V?êÐm !·‚ò?Ø«{ü¼ê‘?ê/?ê0 µ X ∞ n=0 anx n = a0 + a1x + a2x 2 + · · · + anx n + · · · . ?ê/ª,{ü, §Ú￾¡‡?Øn?ê´A^2­ ‡üa¼ê‘?ê. ·‚Äk‡ïÄÙ§Ú¼ê5Ÿµ½Â!ëY5!Œ‡5ڌ È5. 1/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

收敛区域收敛半径Abel第二定理幕级数的运算Taylor展开幕级数的性质7.3.1幂级数的收敛区域定理1 如果幂级数在 o（≠0)处收敛,则在所有[αl|acol时发散证明如果幂级数在 ao≠o收敛,则对于任意满足αl<[col的 α,有ana" = ancn0Co因为 lim anan =o（这是因为幂级数在ao收敛），所以Jananl<M（有7X界）,即[ana"|< M}=n而[|< 1,α=。l[n 收敛；因此n=lanan| 收敛.证毕返回全屏关闭退出I42/17

Âñ« ÂñŒ» ?ê5Ÿ Abel 1½n ?ê$Ž Taylor Ðm 7.3.1 ?êÂñ« ½n 1 XJ?ê3 x0 (6= 0) ?Âñ, K3¤k |x| |x0| žuÑ. y² XJ?ê3 x0 6= 0 Âñ, Kéu?¿÷v |x| < |x0|  x, k anx n = anx n 0  x x0 n Ϗ lim n→∞ anx n 0 = 0£ù´Ï?ê3 x0 Âñ¤, ¤± |anx n 0 | < M£k .¤, = |anx n | 6 M| x x0 | n , | x x0 | < 1, P∞ n=0 | x x0 | n Âñ¶Ïd P∞ n=0 |anx n| Âñ. y. 2/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

收敛区域收敛半径Taylor展开幕级数的性质Abel第二定理幕级数的运算分析一下，幂级数的收敛域E有三种可能：1°仅在α=0处收敛：E=[0]2°在E=（一00，+0）上处处收敛3°有不为零的收敛点和发散点，所以E有界定理2如果幂级数有非零的收敛点和发散点，则有正数R.使的幂级数在(-R,R)中绝对收敛,而当[αl>R时,幂级数发散证明由于有发散点，所以E是非空有界集，故E有上确界，记为R.又由于有非零的收敛点，所以R>0.根据前面的分析就得到本定理的结论称上面的R为幂级数的收敛半径；（-R,R)称为级数的收敛区间.现在基本明白了，幂级数的收敛区域E基本上是一个以原点为中心的区间，在这个区间内部，幂级数不但收敛而且绝对收敛.只是区间的端点尚不确切，需要具体问题具体对待返回全屏关闭退出?3/17

Âñ« ÂñŒ» ?ê5Ÿ Abel 1½n ?ê$Ž Taylor Ðm ©Ûe, ?êÂñ E kn«ŒUµ 1 ◦ =3 x = 0 ?ÂñµE = {0}; 2 ◦ 3 E = (−∞, +∞) þ??Âñ; 3 ◦ k؏"Âñ:ÚuÑ:, ¤± E k. ½n 2 XJ?êkš"Âñ:ÚuÑ:, Kkê R, ¦?ê3 (−R, R) ¥ýéÂñ,  |x| > R ž, ?êuÑ. y² dukuÑ:, ¤± E ´šk.8,  E kþ(., P R. q dukš"Âñ:, ¤± R > 0, Šâc¡©ÛÒ½n(Ø. ¡þ¡ R ?êÂñŒ»¶(−R, R) ¡?êÂñ«m. y 3IJx , ?êÂñ« E Äþ´‡±:¥%«m, 3 ù‡«mSÜ, ?êØÂñ …ýéÂñ. ´«mà:ÿØ(ƒ, I ‡äN¯KäNé. 3/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

收敛区域收敛半径幕级数的运算Taylor展开幕级数的性质Abel第二定理收敛半径的计算7.3.2定理 3如果 lim|at|= L；或 lim sup V/anl= L,则幂级数 n=oanan的收敛半径为0,L=+80;1ARL 有限;L'LL = 0.+8,证明根据D'Alembert判别法从an+1an+1an+1limlim[α| = L[α].anann→0n→αan故可知当 L|al 1,即|αl>R时,幂级数发散.所以,级数的收敛半径为 R.第二个公式可根据Cauchy判别法证明返回全屏关闭退出4/17

Âñ« ÂñŒ» ?ê5Ÿ Abel 1½n ?ê$Ž Taylor Ðm 7.3.2 ÂñŒ»OŽ ½n 3 XJ lim | an+1 an | = L; ½ lim sup pn |an| = L, K?ê P∞ n=0 anx n ÂñŒ» R = 1 L =    0, L = +∞; 1 L , L k; +∞, L = 0. y² Šâ D’Alembert O{l lim n→∞     an+1x n+1 anxn     = lim n→∞     an+1 an     |x| = L|x|. Œ L|x| 1, = |x| > R ž, ?êuÑ. ¤±, ?êÂñŒ» R. 1‡ú ªŒŠâ Cauchy O{y². 4/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

收敛区域收敛半径幕级数的性质Abel第二定理幕级数的运算Taylor展开例1求级数-,nαn的收敛半径Rm ) = lim ()° = 1, 故 R = 1; 解因为 lim-当α=0：αn在α=±1发散,所以E=（-1,1)（不含端点）.当 α=-1:Z,αn 在α= 1发散,在α=-1 收敛. 所以E =[-1,1)(含左端点，不含右端点）当α=-2：an在α=±1都收敛。所以E=[-1,1]（含左右端点）.上面的例子说明在收敛区间的端点，各种情况都可能发生例2求级数m=1元a"的收敛半径R.解 因为 lim = lim=0,故 R= +0.返回全屏关闭退出--5/17

Âñ« ÂñŒ» ?ê5Ÿ Abel 1½n ?ê$Ž Taylor Ðm ~ 1 ¦?ê P∞ n=1 n αx n ÂñŒ» R. ) Ϗ lim n α (n+1)α = lim ￾ n n+1
α = 1,  R = 1;  α = 0µ P x n 3 x = ±1 uÑ, ¤± E = (−1, 1)£Ø¹à:¤.  α = −1µ P 1 n x n 3 x = 1 uÑ, 3 x = −1 Âñ. ¤± E = [−1, 1)£¹ †à:, عmà:¤.  α = −2µ P 1 n2x n 3 x = ±1 ÑÂñ. ¤± E = [−1, 1]£¹†mà :¤. þ¡~f`²3Âñ«mà:, ˆ«œ¹ÑŒUu). ~ 2 ¦?ê P∞ n=1 1 n! x n ÂñŒ» R. ) Ϗ lim n! (n+1)! = lim 1 n+1 = 0,  R = +∞. 5/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

收敛区域收敛半径幕级数的性质Abel第二定理幕级数的运算Taylor展开7.3.3幕级数的性质设幂级数n=anan在I=（-R,R）中收敛于Sac)定理 4 幂级数在 I =（-R,R)内任何闭子区间上一致收敛,因而,和函数S(α) 在 I 内连续证明任给0<r<R，则n=lanr收敛，而当lal≤r时lana"|≤lanr"],所以m=anan在[一r,r]上一致收敛。对于I中任意闭区间J,一定存在r，使JC[一r,rlC（-R,R)，所以在J上一致收敛而和函数的连续性则是显然的返回全屏关闭退出6/17

Âñ« ÂñŒ» ?ê5Ÿ Abel 1½n ?ê$Ž Taylor Ðm 7.3.3 ?ê5Ÿ ?ê P∞ n=0 anx n 3 I = (−R, R) ¥Âñu S(x). ½n 4 ?ê3 I = (−R, R) S?Û4f«mþÂñ, Ï , Ú¼ê S(x) 3 I SëY. y² ?‰ 0 < r < R, K P∞ n=0 |anr n|Âñ,  |x| 6 rž |anx n | 6 |anr n |, ¤± P∞ n=0 anx n 3 [−r, r] þÂñ. éu I ¥?¿4«m J, ½3 r, ¦ J ⊂ [−r, r] ⊂ (−R, R), ¤±3 J þÂñ. Ú¼êëY5K´ w,. 6/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

收敛区域收敛半径幕级数的运算Taylor展开幕级数的性质Abel第二定理定理5幂级数的和函数 S(c)在收敛区间 I=（-R,R)中可微,并有8 nanan-1S'(α) =n=1且求导后的幂级数的收敛半径仍为R证明先求n=nanan-1 的收敛半径。任取 co E（-R,R),存在r：lacolR,则存在co:R>co>R,nann-l<o.因为lana|≤Inananl=colnanan-l]所以ananl收敛，这是不可能的，所以R=R返回全屏关闭退出II7/17

Âñ« ÂñŒ» ?ê5Ÿ Abel 1½n ?ê$Ž Taylor Ðm ½n 5 ?êÚ¼ê S(x) 3Âñ«m I = (−R, R) ¥Œ‡, ¿k S 0 (x) = X ∞ n=1 nanx n−1 , …¦￾?êÂñŒ»E R. y² k¦ P∞ n=1 nanx n−1 ÂñŒ». ? x0 ∈ (−R, R), 3 r : |x0| R. XJ R0 > R, K3 x0µR0 > x0 > R, P |nanx n−1 0 | < ∞. Ϗ |anx n 0 | 6 |nanx n 0 | = x0|nanx n−1 0 | ¤± P |anx n 0 | Âñ, ù´ØŒU, ¤± R0 = R. 7/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

收敛区域收敛半径幕级数的运算Taylor展开幕级数的性质Abel第二定理定理 6 幂级数的和函数 S(α) 在收敛区间 I = (-R,R) 内可积, 且对CE(-R,R)有8anan+1T1antndt =ant" dt =S(t) dt :n+1Jo0n=0n=0n=0并且积分后得到的幂级数的收敛半径仍为R例 3 已知幂级数 S(a)=m=。 %在整个数轴上收敛，则8an-1ZS(α) =S(c)(-8 <α<+8),(n - 1)!n=解此微分方程得S(c) = Ae*.由于 S(0) = 1, 故 S(α) = ea, 即8an=Zec(8<c<+8)n!n=0II4-返回全屏关闭退出8/17

Âñ« ÂñŒ» ?ê5Ÿ Abel 1½n ?ê$Ž Taylor Ðm ½n 6 ?êÚ¼ê S(x) 3Âñ«m I = (−R, R) SŒÈ, …é x ∈ (−R, R) k Z x 0 S(t) dt = Z x 0 X ∞ n=0 ant n ! dt = X ∞ n=0 Z x 0 ant n dt = X ∞ n=0 an n + 1 x n+1 , ¿…È©￾?êÂñŒ»E R. ~ 3 ®?ê S(x) = P∞ n=0 x n n! 3‡ê¶þÂñ, K S 0 (x) = X ∞ n=1 x n−1 (n − 1)! = S(x) (−∞ < x < +∞), )d‡©§ S(x) = Aex . du S(0) = 1,  S(x) = e x , = e x = X ∞ n=0 x n n! (−∞ < x < +∞). 8/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

收敛区域收敛半径幕级数的运算Taylor展开幕级数的性质Abel第二定理8Z例 4求级数na" 的和n=0解容易知道这个幂级数的收敛半径为1.但在=土1都发散，故收敛区间为(-1, 1). 令 S(a) = α m=1 nan-1, 再令 f(a) = m=1 nan-1,在区间[0,α]上逐项积分，得8af(a)da = an1-αn=1再将等式两端对 α 求微商就得到 f()=(l-)，所以原级数的和函数是aS(α) =[α/<1(1 - α)2′由此又可求出一些数项级数的和.例如分别令=和=,得883nnZZ= 2,43n2nn=1n=11I-返回全屏关闭退出9/17

Âñ« ÂñŒ» ?ê5Ÿ Abel 1½n ?ê$Ž Taylor Ðm ~ 4 ¦?ê X ∞ n=0 nxn Ú. ) N´ù‡?êÂñŒ» 1, 3 x = ±1 ÑuÑ, Âñ «m (−1, 1). - S(x) = x P∞ n=1 nxn−1 , 2- f(x) = P∞ n=1 nxn−1 , 3«m [0, x] þőȩ,  Z x 0 f(x)dx = X ∞ n=1 x n = x 1 − x , 2òªüàé x ¦‡ûÒ f(x) = 1 (1−x) 2 , ¤±?êÚ¼ê´ S(x) = x (1 − x) 2 , |x| < 1 ddqŒ¦Ñ ê‘?êÚ. ~X©O- x = 1 2 Ú x = 1 3 ,  X ∞ n=1 n 2 n = 2, X ∞ n=1 n 3 n = 3 4 . 9/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

收敛区域收敛半径幕级数的运算Taylor展开幕级数的性质Abel第二定理X(-1)nN-α2n+1 例 5 求级数的和函数2n + 1n=0解 因为8XZ(-1)"α2n2)n一1+r2, E(-1, 1),一n=0n=0在区间[0,】上逐项积分可得(-1)n?Z2n+1, a E(-1,1).arctan&=2n+1n=0返回全屏关闭退出10/17

Âñ« ÂñŒ» ?ê5Ÿ Abel 1½n ?ê$Ž Taylor Ðm ~ 5 ¦?ê X ∞ n=0 (−1)n 2n + 1 x 2n+1 Ú¼ê. ) Ϗ X ∞ n=0 (−1)nx 2n = X ∞ n=0 (−x 2 ) n = 1 1 + x2 , x ∈ (−1, 1), 3«m [0, x] þőȩŒ arctan x = X ∞ n=0 (−1)n 2n + 1 x 2n+1, x ∈ (−1, 1). 10/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ