《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第3章 一元函数的微分学 §3.4 Cauchy中值定理和未定式的极限

3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 问题 §3.4Cauchy 中值定理和未定式的极限 3.4.1 Cauchy值 定理 1(Cauchy 中值定理)设 f(x)和 g(x)在 [a,b]上连续，在 (a,b)内可 微.而且对任一点x∈(a,b),g'(x)≠0.则在(a,b)内，必存在一点ξ，使得 证明设辅助函数 F(x)=f(x)-f(a)-(g(x)-g(a)) 易知，F(x)在 [a,b]上连续，在(a,b)内可微，且 F(b)- F(a)=0.即，F(x) 满足 Rolle 定理的三个条件. ‖返回全屏关闭退出 1/30

3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 ¯K §3.4 Cauchy ¥Š½nڙ½ª4 3.4.1 Cauchy ¥Š½n ½n 1 (Cauchy ¥Š½n)  f(x) Ú g(x) 3 [a, b] þëY, 3 (a, b) SŒ ‡. …é?: x ∈ (a, b), g0 (x) 6= 0. K3 (a, b) S, 73: ξ, ¦ f(b) − f(a) g(b) − g(a) = f 0 (ξ) g 0(ξ) . y² 9ϼê F(x) = f(x) − f(a) − f(b) − f(a) g(b) − g(a)  g(x) − g(a)  ´, F(x) 3 [a, b] þëY, 3 (a, b) SŒ‡, … F(b) − F(a) = 0. =, F(x) ÷v Rolle ½nn‡^‡. 1/30 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

问题3.4.13.4.33.4.43.4.2根据 Rolle 定理, 存在一点 E (a,b), 使得 F'(s)= 0, 即f(b) - f(a)f'(E)(≤) = 0.g(b) - g(a)根据条件有 g'(s) ≠ 0, 及 g(a) g(b). 于是有f()f(b) - f(a)g'(E)g(b) 一 g(a)此即定理的结论，证毕返回全屏关闭退出I42/30

3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 ¯K Šâ Rolle ½n, 3: ξ ∈ (a, b), ¦ F 0 (ξ) = 0, = f 0 (ξ) − f(b) − f(a) g(b) − g(a) g 0 (ξ) = 0. Šâ^‡k g 0 (ξ) 6= 0, 9 g(a) 6= g(b). u´k f(b) − f(a) g(b) − g(a) = f 0 (ξ) g 0(ξ) . d=½n(Ø. y. 2/30 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

问题3.4.43.4.13.4.23.4.3Cauchy中值定理的几何意义设 f(t) 和 g(t) 在 t E [a,b] 上连续, 在 (a,b) 内可微. 考察参数方程 = g(t), y = f(t), (t E [a,bl)所确定的曲线L，该曲线的两个y端点是 A = (g(a),f(a)) 和 B =(g(b),f(b)),连接这两个端点的直线的斜率是 ()-f(.根据条件知在曲线g(b)-g(a)L上除端点外的每一点都是有切线的BCauchy中值定理的几何意义就是曲线上有一点 C = (g(s),f(s)) 的切线斜-XO率恰好等于-g(E)g(b)-g(a)返回全屏关闭退出-3/30

3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 ¯K Cauchy ¥Š½nAÛ¿Â  f(t) Ú g(t) 3 t ∈ [a, b] þëY, 3 (a, b) SŒ‡.  ëꐧ x = g(t), y = f(t), (t ∈ [a, b]) ¤ ( ½  ­ ‚ L, T ­ ‚  ü ‡ à : ´ A = (g(a), f(a)) Ú B = (g(b), f(b)), ëùü‡à:†‚ Ç´ f(b)−f(a) g(b)−g(a) . Šâ^‡3­‚ L þØà: z:Ñ´kƒ‚. Cauchy ¥Š½nAÛ¿ÂÒ´­‚ þk: C = (g(ξ), f(ξ)) ƒ‚ Ç f 0 (ξ) g 0(ξ) TÐu f(b)−f(a) g(b)−g(a) . x y A B C O 3/30 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

问题3.4.13.4.23.4.33.4.4例 1 设o < a < b, 函数 f(α) 在[a,b] 连续, 在 (a,b) 可导. 求证: 存在 E (a,b) 使得af(b) - bf(a)= f() -εf'().a-b证明所要证明的式子可以写成f(a)f(b)f(a)ba11()6aT=E因此只要对函数 f(α) 和 ！应用 Cauchy 中值定理,即可得到结论2返回全屏关闭退出4/30

3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 ¯K ~ 1  0 < a < b, ¼ê f(x) 3 [a, b] ëY, 3 (a, b) Œ. ¦y: 3 ξ ∈ (a, b) ¦ af(b) − bf(a) a − b = f(ξ) − ξf0 (ξ). y² ¤‡y²ªfŒ±¤ f(b) b − f(a) a 1 b − 1 a =  f(x) x 0 ￾ 1 x
0        x=ξ . Ïd‡é¼ê f(x) x Ú 1 x A^ Cauchy ¥Š½n, =Œ(Ø. 4/30 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

问题3.4.13.4.23.4.33.4.4例 2 设 f(α),g(α)在[a,b] 上连续,在 (a,b) 上可微,其中 g(α)在区间(a,b)中无零点. 求证:存在 E (a,b),使得f'() _ f(E) - f(a)g(s) - g(b) - g() 证明考察函数F(α) = (f(α) - f(a)(g(b) -g(α)).根据条件可知,F(c)在[a,b] 上连续,在(a,b)上可微,且显然有 F(a)=F(b)= 0. 由 Rolle 定理,存在 ≤ E (a,b),使得 F"(s)= 0,即,f'(E)(g(b) - g()) - g'(E)(f() - f(a)) = 0.由于 g(α) 在区间 (a, b) 中无零点, 有 g(s) ≠ 0, 及 g(b) 一 g(s) ≠ 0. 因而f'(E) _ f(E) 一 f(a)g'(E) g(b) - g()二返回全屏关闭退出-5/30

3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 ¯K ~ 2  f(x), g(x) 3 [a, b] þëY, 3 (a, b) þŒ‡, Ù¥ g 0 (x) 3«m (a, b) ¥Ã":. ¦y: 3 ξ ∈ (a, b), ¦ f 0 (ξ) g 0(ξ) = f(ξ) − f(a) g(b) − g(ξ) . y²  ¼ê F(x) = ￾ f(x) − f(a)
￾g(b) − g(x)
. Šâ^‡Œ, F(x) 3 [a, b] þëY, 3 (a, b) þŒ‡, …w,k F(a) = F(b) = 0. d Rolle ½n, 3 ξ ∈ (a, b), ¦ F 0 (ξ) = 0, =, f 0 (ξ) ￾ g(b) − g(ξ)
− g 0 (ξ) ￾ f(ξ) − f(a)
= 0. du g 0 (x) 3«m (a, b) ¥Ã":, k g 0 (ξ) 6= 0, 9 g(b) − g(ξ) 6= 0. Ï f 0 (ξ) g 0(ξ) = f(ξ) − f(a) g(b) − g(ξ) . 5/30 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

问题3.4.13.4.23.4.33.4.4定理2（Cauchy中值定理的推广）设f(α)和g(aα)在[a,b]上有n阶导函数, 且对任意 α E (a,b) 有 g(n)(α) ≠ 0. 则在 ε E (a,b) 内, 使得f(6) - Zr= (b - a) _ fn(s)g(6) - (b - a) = g(e)证明构造两个函数f(k)(a)F(a) = f(a) -(-a)kk!k=0n-(k)(a)G(a) = g(a) -k!k=0则F（a）和G(a）在[a,b]上有n阶导函数，且F(a) = F(a) = ... = F(n-1)(a) = 0,G(a) = G'(a) =... = G(n-1)(a) = 0.返回全屏关闭退出二6/30

3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 ¯K ½n 2 (Cauchy ¥Š½ní2)  f(x) Ú g(x) 3 [a, b] þk n ¼ ê, …é?¿ x ∈ (a, b) k g (n) (x) 6= 0. K3 ξ ∈ (a, b) S, ¦ f(b) − Pn−1 k=0 f (k) (a) k! (b − a) k g(b) − Pn−1 k=0 g (k) (a) k! (b − a) k = f (n) (ξ) g (n)(ξ) . y² Eü‡¼ê F(x) = f(x) − X n−1 k=0 f (k) (a) k! (x − a) k G(x) = g(x) − X n−1 k=0 g (k) (a) k! (x − a) k . K F(x) Ú G(x) 3 [a, b] þk n ¼ê, … F(a) = F 0 (a) = · · · = F (n−1)(a) = 0, G(a) = G0 (a) = · · · = G(n−1)(a) = 0. 6/30 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

问题3.4.13.4.23.4.33.4.4由于g(n)(aα）≠0,反复应用Rolle定理可知G(k)(ac）(k=0,1,.,n）在(a，b）内无零点.再反复应用Cauchy中值定理，有F(b)F'($1)F(bF(aG(b)G'($1)G(b)G(a)F"(E2)F'(SIF'(a)G"($2)G'(E1)-G(a)F(n-1)(n-1) - F(n-1)(a)F(n)(E)G(n-1)(n-1) -G(n-1)(a)G(n)(E)f(n)(E)g(n)()其中a<E<En-1<...<E2<i<b.返回全屏关闭退出7/30

3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 ¯K du g (n) (x) 6= 0, ‡EA^ Rolle ½nŒ G(k) (x) (k = 0, 1, · · · , n) 3 (a, b) SÃ":. 2‡EA^ Cauchy ¥Š½n, k F(b) G(b) = F(b) − F(a) G(b) − G(a) = F 0 (ξ1) G0(ξ1) = F 0 (ξ1) − F 0 (a) G0(ξ1) − G0(a) = F 00(ξ2) G00(ξ2) = · · · = F (n−1)(ξn−1) − F (n−1)(a) G(n−1)(ξn−1) − G(n−1)(a) = F (n) (ξ) G(n)(ξ) = f (n) (ξ) g (n)(ξ) Ù¥ a < ξ < ξn−1 < · · · < ξ2 < ξ1 < b. 7/30 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

问题3.4.13.4.33.4.23.4.4"型未定式3.4.2定理 3（型 L'Hospital 法则）设 f(α)和 g(c)在 co 附近可微,g(α)≠ 0,且满足lim f(c) = lim g(αc) = 0.C→T如果 lim =l,那么有 lim =l,这里 1 可以是一个有限实数,也可a-aog'(a)aog(a)以是 80.证明 由于 lim f(a) = lim g(α) = 0, 而且当 α → ao 时, 白的极限TTTOc与函数 f 和 g在 ao 的值无关,因此我们不妨假设 f(co)= g(aco)= 0,这样函数f和g在Co都连续设是区间（αo一,o＋)中的任意一点（≠o），在以和 o为端点的闭区间上，f和g满足 Cauchy中值定理的一切条件，于是存在介于 a返回全屏关闭退出8/30

3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 ¯K 3.4.2 0 0 .™½ª ½n 3 ( 0 0 . L’Hospital {K)  f(x) Ú g(x) 3 x0 NCŒ‡, g 0 (x) 6= 0, …÷v lim x→x0 f(x) = lim x→x0 g(x) = 0. XJ lim x→x0 f 0 (x) g 0(x) = l, @ok lim x→x0 f(x) g(x) = l, ùp l Œ±´‡k¢ê, Œ ±´ ∞. y² du lim x→x0 f(x) = lim x→x0 g(x) = 0, … x → x0 ž, f(x) g(x) 4 †¼ê f Ú g 3 x0 ŠÃ', Ïd·‚Øb f(x0) = g(x0) = 0, ù, ¼ê f Ú g 3 x0 ÑëY.  x ´«m (x0 − δ, x0 + δ) ¥?¿:£x 6= x0¤, 3± x Ú x0  à:4«mþ, f Ú g ÷v Cauchy ¥Š½nƒ^‡, u´30u x 8/30 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

问题3.4.13.4.33.4.43.4.2和之间的一点.使得f(α)f'()f(α) f(αo)g'(s)g(α)g(α) - g(co)因为 一 aol<[α- ol,所以当 →o时,→ o. 由定理的假设,即得到f(α)f'(E)limliml.ao g'(s)a→o g(α)注1：定理中的极限过程可改为单测极限（即α→o士0），此时结论同样成立,另一方面对于极限过程 →+α，→一或→时的型未定式,也有类似的L'Hospital法则以 a → αo 时为例, 如果 lim f(ac) = lim g(a) = 0, lim = I, 则→g(r)lim = 1.a-0 g(a)II返回全屏关闭退出9/30

3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 ¯K Ú x0 ƒm: ξ, ¦ f(x) g(x) = f(x) − f(x0) g(x) − g(x0) = f 0 (ξ) g 0(ξ) . Ϗ |ξ − x0| < |x − x0|, ¤± x → x0 ž, ξ → x0. d½nb, = lim x→x0 f(x) g(x) = lim ξ→x0 f 0 (ξ) g 0(ξ) = l. 51: ½n¥4L§ŒUüÿ4£=x → x0 ± 0¤, dž(ØÓ ¤á, ,¡éu4L§ x → +∞, x → −∞ ½ x → ∞ ž 0 0 . ™½ª, kaq L’Hospital {K. ± x → ∞ ž~, XJ lim x→∞ f(x) = lim x→∞ g(x) = 0, lim x→∞ f 0 (x) g 0(x) = l, K lim x→∞ f(x) g(x) = l. 9/30 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

问题3.4.13.4.23.4.43.4.3证明的过程中只要设y=,则c→时,y→0,而且1()()f'f'(α)f(α)limlimlimlim1g()g(α)y-→0y-0g'(α)福T→09r-→f()注2在使用L'Hospital法则时，如果还是只型未定式，即不但福ga)lim f(α) = lim g(α) = 0, 而且 lim f'(α) = lim g(α) = 0, 则可以继T→TOT→TOT→TOT→TO续考虑二阶导数,如果 =1. 则 m,指 =1. 不管使用几次,前提条E-r0g(E)E→Co9件一是前者必须是型未定式，二是后者的极限一定存在，两者缺一不可注3:在使用LHospital法则之前，最好先用等价无穷小替换的方法将分子或分母换成简单的函数返回全屏退出关闭-10/30

3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 ¯K y²L§¥‡ y = 1 x , K x → ∞ ž, y → 0, … lim x→∞ f(x) g(x) = lim y→0 f  1 y  g  1 y  = lim y→0 1 y2f 0  1 y  1 y2g 0  1 y  = lim x→∞ f 0 (x) g 0(x) = l. 52: 3¦^ L’Hospital {Kž, XJ f 0 (x) g 0(x) „´ 0 0 .™½ª, =Ø lim x→x0 f(x) = lim x→x0 g(x) = 0, … lim x→x0 f 0 (x) = lim x→x0 g 0 (x) = 0, KŒ±U YÄê, XJ lim ξ→x0 f 00(ξ) g 00(ξ) = l, K lim ξ→x0 f(ξ) g(ξ) = l. Ø+¦^Ag, cJ^ ‡´cö7L´ 0 0 .™½ª, ´￾ö4½3, üö"،. 53: 3¦^ L’Hospital {Kƒc, Ðk^dáO†{ò© f½©1†¤{ü¼ê. 10/30 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ