《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第1章 实数与极限 §1.2 数列极限

1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7 1.2.8 1.2.9 1.2.10 §1.2数列极限 1.2.1数列极限的定义 什么是数列 数列就是一个接一个且永无尽头的数的排列.例如， 1,2, 3， .. ， n, ... 2,… 特点是有头无尾，有限个数不称为数列. 数列的表示 一般地，数列可以表示为 a1,a2,a3,..., an,... 也可简单表示为{an},其中an称为数列的通项，n称为下标，下标不具有实 11 返回 全屏 关闭 退出 1/47

1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7 1.2.8 1.2.9 1.2.10 §1.2 ê4 1.2.1 ê4½Â Ÿo´ê êÒ´‡‡…[æÞêü. ~X, 1, 2, 3, · · · , n, · · · 1, 1 2 , 1 2 2 , · · · , 1 2 n , · · · A:´kÞÃ, k‡êØ¡ê. êL« „/, ꌱL« a1, a2, a3, · · · , an, · · · Œ{üL« {an}, Ù¥ an ¡êϑ, n ¡eI, eIØäk¢ 1/47 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

1.2.101.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2.61.2.71.2.81.2.9质意义，它只是表明αm为数列的第n项，下标应从小到天顺序跑遍所有自然数，下标可以用其它字母替代，象这种可以用其它字母替代的符号称为哑符号.重要的是数列的通项表达式，它给出了数列的排列规律，知道了通项也就知道了整个数列收敛数列和发散数列有一类数列具有特别重要的意义，它的项的值随着下标增大而趋于一个特定的数.这种数列称为收敛数列.例如n个(1.1)0.3, 0.33, 0.333,·.·,0.33...3,(1.2)3.1,3.14，3.141,3.1415,..另一类数列是通项不趋向于一个数，例如(1.3)返回全屏关闭退出I42/47

1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7 1.2.8 1.2.9 1.2.10 Ÿ¿Â, §´L² an ê1 n ‘, eIAlŒ^SH¤kg ,ê, eIŒ±^Ù§i1O. ù«Œ±^Ù§i1OÎÒ¡ å ÎÒ. ­‡´êϑLˆª, §‰Ñ êü5Æ,  ϑ Ò ‡ê. ÂñêÚuÑê kaêäkAO­‡¿Â, §‘Š‘XeIOŒ ªu‡ A½ê. ù«ê¡Âñê. ~X, 0.3, 0.33, 0.333, · · · , 0. n ‡ z }| { 33 · · · 3, · · · (1.1) 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, · · · (1.2) ,aê´Ï‘ت•u‡ê, ~X, 1, 1 2 , 1, 1 3 , · · · , 1, 1 n , · · · (1.3) 2/47 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

1.2.61.2.101.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2.71.2.81.2.9定义1设an}是给定的数列.如果有一个实数a具有下列性质：对任意给定的一个正数 e,总存在一个自然数 N = N(e),使得当 n>N 时,不等式Jan al <e成立,则称a是数列【an}的极限,或数列[an}以a为极限,也称数列[an}收敛于a.记成lim an =a, 或 liman = a,n→也可以记成an→a(n→),称为“当n趋于无穷时,an趋于a”一个数列若不是收敛数列，就称为发散数列，或称数列是发散的返回全屏关闭退出II3/47

1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7 1.2.8 1.2.9 1.2.10 ½Â 1  {an} ´‰½ê. XJk‡¢ê a äke5Ÿ: é?¿ ‰½‡ê ε, o3‡g,ê N = N(ε), ¦ n > N ž, Ø ª |an − a| < ε ¤á, K¡ a ´ê {an} 4, ½ê {an} ± a 4, ¡ê {an} Âñu a. P¤ lim n→∞ an = a, ½ lim an = a, Œ±P¤ an → a (n → ∞), ¡/ n ªuáž, an ªu a 0. ‡êeØ´Âñê, Ò¡uÑê, ½¡ê´uÑ. 3/47 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

1.2.101.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2.61.2.71.2.81.2.9对于 (1.1)中的数列,因为1333.311-110nan10 1023×10n110n1031-10所以, 对于任意正数 e, 可取 N =[1/e] + 1, 当 n > N 时,就有11111Ean3N10n3 × 10nn这就说明,iman=1n-α两点说明1.定义中ε必须是任意给定的正数，而不是某个正数，任意性强调的是“任意地小”的方面，而不是“任意大”的方面2.当ε给定后，再来寻求满足条件的N.因而N通常与有关.一般来说,当 ε 变小时, N 会变大. 例如上面的 N =[1/e] + 1. 当 N 满足要求时,N+1，N+1等都满足要求，并不需要找出满足要求最小的N，实际上只要指出N的存在性返回全屏关闭退出4/47

1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7 1.2.8 1.2.9 1.2.10 éu (1.1) ¥ê, Ϗ an = 3 10 + 3 102 + · · · + 3 10n = 3 10 · 1 − 1 10n 1 − 1 10 = 1 3 − 1 3 × 10n , ¤±, éu?¿ê ε, Œ N = [1/ε] + 1,  n > N ž, Òk     an − 1 3     = 1 3 × 10n < 1 10n < 1 n < 1 N < ε. ùÒ`² lim n→∞ an = 1 3 . ü:`²: 1. ½Â¥ ε 7L´?¿‰½ê, Ø´,‡ê, ?¿5rN ´“?¿/”¡, Ø´ “?¿Œ”¡. 2.  ε ‰½￾, 25Ϧ÷v^‡ N, Ï N Ï~† ε k'. „5 `,  ε Cž, N ¬CŒ. ~Xþ¡ N = [1/ε] + 1.  N ÷v‡¦ž, N + 1, N + 1 Ñ÷v‡¦, ¿ØI‡éÑ÷v‡¦ N, ¢Sþ‡ Ñ N 35. 4/47 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

1.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2.61.2.71.2.81.2.91.2.10几何解释数列[an收敛于a的几何描述是：对于任意的正数ε,都存在自然数N,使得当n>N时，在实数轴上与[an}对应的点都落在以a为中心以e为半径的开区间(a一,a+)中aNaN!-XIaaEaa3a2aia4返回全屏关闭退出5/47

1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7 1.2.8 1.2.9 1.2.10 AÛ)º: ê {an} Âñu a AÛ£ã´: éu?¿ê ε, Ñ3g,ê N, ¦ n > N ž, 3¢ê¶þ† {an} éA:Ñá3± a ¥%± ε Œ»m«m (a − ε, a + ε) ¥. x ( . . . . . ) . 1 a4 − εa a a + εa a3 a2 aN aN+1 5/47 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

1.2.51.2.61.2.11.2.21.2.31.2.41.2.71.2.81.2.91.2.10I例1若α>0,则lim=0.nan-a证明分析：希望-00,N=[()/] +1,当n>N时,有<NQna-=E1于是lim= 0.nan-→返回全屏关闭退出?6/47

1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7 1.2.8 1.2.9 1.2.10 ~ 1 e α > 0, K lim n→∞ 1 nα = 0. y² ©Û: F" | 1 nα − 0| 1 ε n >  1 ε 1/α , ‡ N = [(1 ε ) 1/α] + 1. Ö: ∀ ε > 0, ∃ N = [(1 ε ) 1/α] + 1,  n > N ž, k     1 nα − 0     < 1 Nα < 1 1/ε = ε, u´ lim n→∞ 1 nα = 0. 6/47 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

1.2.51.2.61.2.91.2.101.2.11.2.21.2.31.2.41.2.71.2.8例2求证：lim(Vn+i-Vn)=0.证明因为1an=Vn+i-Vn=Vn+i+Vnr所以>0,N=[]+1,当n>N时,有lan-E.这说明 lim (vn+i-Vn)=0.nx返回全屏关闭退出7/47

1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7 1.2.8 1.2.9 1.2.10 ~ 2 ¦y: lim n→∞ ( √ n + 1 − √ n) = 0. y² Ϗ an = √ n + 1 − √ n = 1 √ n + 1 + √ n 0, ∃ N = [ 1 ε 2 ] + 1,  n > N ž, k |an − 0| < 1 √ n < 1 √ N < 1 p 1/ε2 = ε, ù`² lim n→∞ ( √ n + 1 − √ n) = 0. 7/47 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

1.2.61.2.101.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2.71.2.81.2.9lim ai+a2+...+an例3设数列{an1收敛于a.求证：a.n?8证明：因为lim an=a，根据数列收敛的定义，对任意正数e，存在自然数 ni使得当 n >ni时，有lan-alE于是当 n> N =n1+nz时,有a1+a2+..+an十an-aa1+a一a+nnal+...+lan-aa-la2-a+..ai+7ani+1-aiala2一a+++an-ani+11n2n-niEE22a1+a2+.+an根据极限的定义知，有lim=a.nnα返回全屏关闭退出8/47

1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7 1.2.8 1.2.9 1.2.10 ~ 3 ê {an} Âñu a. ¦yµ lim n→∞ a1+a2+···+an n = a. y²µÏ lim n→∞ an = a, ŠâêÂñ½Â§é?¿ê ε, 3g ,ê n1 ¦ n > n1 ž§k |an − a| 2(|a1 − a| + |a2 − a| + · · · + |an1 − a|) ε . u´ n > N = n1 + n2 ž§k     a1 + a2 + · · · + an n − a     =     a1 − a + a2 − a + · · · + an − a n     6 |a1 − a| + |a2 − a| + · · · + |an1 − a| n + |an1+1 − a| + · · · + |an − a| n 6 |a1 − a| + |a2 − a| + · · · + |an1 − a| n2 + |an1+1 − a| + · · · + |an − a| n − n1 6 ε 2 + ε 2 = ε. Šâ4½Â§k lim n→∞ a1+a2+···+an n = a. 8/47 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

1.2.61.2.81.2.91.2.101.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2.7数列an不以a为极限的陈述若存在一个正数ε0.使得对任意自然数N,都可以找到自然数n>N满足|an一al≥Eo,则[an}不以a为极限从几何上说就是存在一个以a为中心的开区间，使得这个开区间之外有无穷多个与该数列对应的点anaN+1XEaa4ea3a2a4aai返回全屏关闭退出I49/47

1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7 1.2.8 1.2.9 1.2.10 ê {an} ر a 4ã e3‡ê ε0, ¦é?¿g,ê N, ь±ég,ê n > N ÷v |an − a| > ε0, K {an} ر a 4. lAÛþ`Ò´3‡± a ¥%m«m, ¦ù‡m«mƒ k áõ‡†TêéA:. x ( . . . . . ) . 1 a4 − εa a a + εa a3 a2 aN aN+1 9/47 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

1.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2.61.2.71.2.91.2.101.2.8收敛数列的性质1.2.2性质1（极限的唯一性）收敛数列的极限是唯一的证明如果【an】有两个极限值α和b.根据极限的定义可知，对于任意的正数ε.对应两个极限值.分别存在正整数N.和N.使得当En>Ni时有[an-al12012n > N2 时有 Jan - bl因此,当 n>max(Ni，N2)时（即 n 同时满足 n> Ni，n> N2），上面两个不等式都满足，所以EE[a-bl =l(a-an)+(an-b)l≤ lan-al+lan-bl<=E22两个数的距离要小于任意一个数，这两个数必须相等，即α=b.证毕退出返回全屏关闭-10/47

1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7 1.2.8 1.2.9 1.2.10 1.2.2 Âñê5Ÿ 5Ÿ 1 (45) Âñê4´. y² XJ {an} kü‡4Š a Ú b. Šâ4½ÂŒ, éu?¿ ê ε, éAü‡4Š, ©O3ê N1 Ú N2, ¦ n > N1 žk |an − a| N2 žk |an − b| max(N1, N2) ž£= n Ӟ÷v n > N1, n > N2¤, þ ¡ü‡ØªÑ÷v, ¤± |a − b| = |(a − an) + (an − b)| 6 |an − a| + |an − b| < ε 2 + ε 2 = ε. ü‡êål‡u?¿‡ê, ùü‡ê7Lƒ, = a = b. y. 10/47 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ