《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第2章 函数的连续性 §2.1 连续函数的基本概念

2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 第2章函数的连续性 §2.1连续函数的基本概念 2.1.1连续的定义 直观上讲，函数连续，就是指函数的图象是一条“没有断开”的“连续” 的曲线.首先观察以下几个例子.第一个例子是符号函数： y 1, x>0 1 sgn x= 0, x=0 x -1,x<0 中 1 从图形上看，它在x=0处是断开的.而在“间断点”x=0处的显著特点是， 当x→0时，函数没有极限（因为左右极限分别为-1和1，两者不相等）. ‖‖返回全屏关闭退出 1/17

2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 1 2 Ù ¼êëY5 §2.1 ëY¼êÄVg 2.1.1 ëY½Â †*þù, ¼êëY, Ò´¼êã´^/vkäm0/ëY0 ­‚. Äk* ±eA‡~f. 1‡~f´ÎÒ¼ê: sgn x =    1, x > 0 0, x = 0 −1, x < 0 x y ◦ ◦ • −1 1 lã/þw, §3 x = 0 ?´äm. 3/mä:0 x = 0 ?wÍA:´,  x → 0 ž, ¼êvk4£Ï†m4©O −1 Ú 1, üö؃¤. 1/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

2.1.12.1.22.1.32.1.4第二个例子是如下函数V#0f(a-Xα=00显然,它在=0处是断开的,原因是函数虽然在0以1为极限,但极限值与函数本身在这一点的函数值（f(0)=0）不相符如果改变这个函数在=0的定义，使得函数在=0的值等于函数在=0的极限值，那么它在=0处就连续了，改变后的函数是f(α) = 1, c E (-8, +8)返回全屏关闭退出II2/17

2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 1‡~f´Xe¼ê: f(x) =    1, x 6= 0 0, x = 0 x y 1 w, §3 x = 0 ?´äm, Ï´¼ê,3 x = 0 ± 1 4, 4Š†¼ê3ù:¼êŠ£f(0) = 0¤ØƒÎ. XJUCù‡¼ê3 x = 0 ½Â, ¦¼ê3 x = 0 Šu¼ ê3 x = 0 4Š, @o§3 x = 0 ?ÒëY . UC￾¼ê´ f(x) = 1, x ∈ (−∞, +∞). 2/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

2.1.12.1.22.1.32.1.4根据观察，函数在一点0处如果连续，应该具备两个要素：其一是函数在这一点o处应该有极限，其二是极限值应该等于函数在这一点的值定义1 设 y=f(α)在 αo的邻域内（包含 o的一个开区间）有定义,如果lim f(α) = f(co)就称y=f(）在o处连续，o是f(α)的连续点，否则称f(α)在点o处不连续，或o是f(α）的间断点。如果f(α）在区间I中的任一点连续，则称f(aα）在区间I上连续，也称f(α）是I上的连续函数根据上述定义，函数f(α）在点o处的连续性，取决于f在这点附近的值和在这点的值，这个事实表明（在一点的）连续性，是一种“局部性质”如果用“一”语言叙述，就是：称函数在定义域内的一点o连续，如果对于任意给定的正数ε,总存在一个>0,使得当一ol<时,有If(α) - f(αo)I < 返回全屏关闭退出3/17

2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 Šâ* , ¼ê3: x0 ?XJëY, ATäü‡‡ƒ: Ù´¼ê 3ù: x0 ?ATk4, Ù´4ŠATu¼ê3ù:Š. ½Â 1  y = f(x) 3 x0 S£¹ x0 ‡m«m¤k½Â, XJ lim x→x0 f(x) = f(x0) Ò¡ y = f(x) 3 x0 ?ëY, x0 ´ f(x) ëY:, ÄK¡ f(x) 3: x0 ? ØëY, ½ x0 ´ f(x) mä:. XJ f(x) 3«m I ¥?:ëY, K ¡ f(x) 3«m I þëY, ¡ f(x) ´ I þëY¼ê. Šâþã½Â, ¼ê f(x) 3: x0 ?ëY5, ûu f 3ù:NC ŠÚ3ù:Š, ù‡¯¢L²£3:¤ëY5, ´«/ÛÜ5Ÿ0. XJ^/ ε − δ0ŠóQã, Ò´: ¡¼ê3½ÂS: x0 ëY, X Jéu?¿‰½ê ε, o3‡ δ > 0, ¦ |x − x0| < δ ž, k |f(x) − f(x0)| < ε. 3/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

2.1.42.1.12.1.22.1.3从以前的例子可知,sin,a"，ln,n等都是连续函数sina±02问题 1 函数 f(α) =在=0是否连续？=01,& sin !.c #0a问题 2 函数 f(α) =在=0是否连续？(0,= 0[ 1,α 是有理数有没有连续点？问题 3 函数 D(α) =0，是无理数α，是有理数问题4函数f(α）=有没有连续点？是无理数0,问题5能不能构造一个只在0和1连续的函数？返回全屏关闭退出14/17

2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 l±c~fŒ, sin x, a x , ln x, xn Ñ´ëY¼ê. ¯K 1 ¼ê f(x) =    sin x x , x 6= 0 1, x = 0 3 x = 0 ´ÄëY? ¯K 2 ¼ê f(x) =    x sin 1 x , x 6= 0 0, x = 0 3 x = 0 ´ÄëY? ¯K 3 ¼ê D(x) =    1, x ´knê 0, x ´Ãnê kvkëY:? ¯K 4 ¼ê f(x) =    x 2 , x ´knê 0, x ´Ãnê kvkëY:? ¯K 5 UØUE‡3 0 Ú 1 ëY¼ê? 4/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

2.1.12.1.22.1.32.1.42.1.2左（右）连续与间断定义2 设f(α)在 ao的一个邻域内有定义.如果f(aco+0)=f(co)就称 f(aα)在 ao右连续;如果 f(aco 一0)= f(aco),就称 f(aα)在 ao左连续例如下面的函数在二0右连续Y1≥0f-X<00.f(α）在ao连续的充分必要条件是f(a）在co左连续同时也右连续f(α）在一个包含端点的区间上连续，是指f(α）在区间内部每一点都连续，并且在端点上有相应的单侧连续性返回全屏关闭退出二-5/17

2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.2 †(m)ëY†mä ½Â 2  f(x) 3 x0 ‡Sk½Â. XJ f(x0 + 0) = f(x0) Ò ¡ f(x) 3 x0 mëY; XJ f(x0 − 0) = f(x0), Ò¡ f(x) 3 x0 †ëY. ~Xe¡¼ê3 x = 0 mëY. f(x) =    1, x > 0 0, x < 0 x y 1 f(x) 3 x0 ëY¿©7‡^‡´ f(x) 3 x0 †ëYӞmëY. f(x) 3‡¹à:«mþëY, ´ f(x) 3«mSÜz:Ñë Y, ¿…3à:þkƒAüýëY5. 5/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

2.1.12.1.22.1.32.1.4函数在一点Co发生间断会有下列三种方式1°（可去间断点）函数在一点Co左右极限都存在且相等（所以在这一点有极限），但不等于f（Co），即f(o+0)=f(Co-0)≠f(Co)例如：V20f(a)X=00返回全屏关闭退出6/17

2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 ¼ê3: x0 u)mä¬ken«ª: 1 ◦ (Œmä:) ¼ê3: x0 †m4Ñ3…ƒ£¤±3ù: k4¤, Øu f(x0), =, f(x0 + 0) = f(x0 − 0) 6= f(x0). ~X: f(x) =    1, x 6= 0 0, x = 0 x y 1 6/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

2.1.12.1.22.1.32.1.42°（跳跃点）函数在一点Co左右极限都存在，但是不相等，即f(ao+0)≠f(aco-0)称[f(co+0)一f(co-0)I为跳跃度.例如：y>0sgnc=0,C=0a-1,<0返回全屏关闭退出+7/17

2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2 ◦ (a:) ¼ê3: x0 †m4Ñ3, ´Øƒ, = f(x0 + 0) 6= f(x0 − 0). ¡ |f(x0 + 0) − f(x0 − 0)| aÝ. ~X: sgn x =    1, x > 0 0, x = 0 −1, x < 0 x y ◦ ◦ • −1 1 7/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

2.1.12.1.22.1.32.1.43°（第二类间断点）函数在一点Co左右极限至少有一个不存在.例如0sin(-)Tf(α)=00.显然f(α）在定义区间的端点就只有两种间断情况：可去间断（在该端点f（α）的相应单侧极限存在但与函数值不等）和第二类间断点（在该端点f(α）的相应单侧极限不存在）返回全屏关闭退出8/17

2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 3 ◦ (1amä:) ¼ê3: x0 †m4k‡Ø3. ~X: f(x) =    sin( 1 x ), x 6= 0 0, x = 0 x y w, f(x) 3½Â«mà:Ґkü«m䜹: Œmä£3Tà : f(x) ƒAüý43†¼êŠØ¤Ú1amä:£3Tà: f(x) ƒAüý4Ø3¤. 8/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

2.1.12.1.22.1.32.1.4连续函数的运算2.1.3性质 1（局部有界性）如果函数 f(α)在 o连续,则f(α)在 o 附近有界性质2（保号性）如果函数 f(α)在 o 连续且 f(aco)> 0,则 f(α)在 o附近为正性质3（连续函数的四则运算）设f(ac）和g(α）都在ao连续，则函数f(c)±g(a), f(a)g(a), f 在 co 处也连续(当然,对于最后一个函数,必须假定g(co)≠0）.性质 4(连续函数的复合）设u=g(α)在区间I上有定义,函数y=f(u)在区间J上有定义,且g(I)CJ.若u=g()在 co EI连续,y=f(u)在uo = g(ao)处连续（即 f(u)在 uo 连续,uo = g(aco)）,则复合函数 f(g(aα))也在Co连续返回全屏关闭退出I49/17

2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.3 ëY¼ê$Ž 5Ÿ 1 (ÛÜk.5) XJ¼ê f(x) 3 x0 ëY, K f(x) 3 x0 NCk. 5Ÿ 2 (Ò5) XJ¼ê f(x) 3 x0 ëY… f(x0) > 0, K f(x) 3 x0 N C. 5Ÿ 3 (ëY¼êoK$Ž)  f(x) Ú g(x) Ñ3 x0 ëY, K¼ê f(x) ± g(x), f(x)g(x), f(x) g(x) 3 x0 ?ëY£, éu￾‡¼ê, 7L b½ g(x0) 6= 0¤. 5Ÿ 4 (ëY¼êEÜ)  u = g(x) 3«m I þk½Â, ¼ê y = f(u) 3«m J þk½Â, … g(I) ⊆ J. e u = g(x) 3 x0 ∈ I ëY, y = f(u) 3 u0 = g(x0) ?ëY£= f(u) 3 u0 ëY, u0 = g(x0)¤, KEܼê f(g(x)) 3 x0 ëY. 9/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

2.1.12.1.22.1.32.1.4证明对于任意给定的正数e，因为f在uo连续，则存在一个正数n>0, 使得当 lu-uol 0.又因为g在ao连续,所以存在>0,使得当lα一col<时,有Ig(α) -g(co)/ = lu- uol < n于是，当一ol<时，从上面两个不等式得到f(g(a))-f(g(o))/=f(u)-f(uo)/<E即函数 f(g(ac))在 ao连续.证毕此性质也可以表示为下面形式lim f(g(α)) = f(lim g(αc)) = f(g(aco))rao即在连续的条件下，可将复合函数的极限运算移到内层函数来运算关闭退出返回全屏=10/17

2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 y² éu?¿‰½ê ε, Ϗ f 3 u0 ëY, K3‡ê η > 0, ¦ |u − u0| 0, qϏ g 3 x0 ëY, ¤±3 δ > 0, ¦ |x − x0| < δ ž, k |g(x) − g(x0)| = |u − u0| < η u´,  |x − x0| < δ ž, lþ¡ü‡Øª |f(g(x)) − f(g(x0))| = |f(u) − f(u0)| < ε =¼ê f(g(x)) 3 x0 ëY. y. d5ŸŒ±L«e¡/ª lim x→x0 f(g(x)) = f( lim x→x0 g(x)) = f(g(x0)) =3ëY^‡e, ŒòEܼê4$Ž£S￾¼ê5$Ž. 10/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ