《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第5章 单变量函数的积分学 §5.2 函数的可积性

零测集 振幅 Lebesgue 定理 §5.2函数的可积性 5.2.1零测集 定义1设A是一个实数集合.如果对任意给定的ε>0，存在有限个或一 列开区间{In,n∈N}使得 AcUIlnl≤e n∈N n=1 (这里|In|表示In的长度)，那么称A为零测度集，简称零测集. 显然，有 1°空集是零测集. 2°零测集的子集还是零测集. 11 返回全屏关闭退出 1/19

"ÿ8 Ì Lebesgue ½n §5.2 ¼êŒÈ5 5.2.1 "ÿ8 ½Â 1  A ´‡¢ê8Ü. XJé?¿‰½ ε > 0, 3k‡½ m«m {In, n ∈ N} ¦ A ⊂ [ n∈N In, X ∞ n=1 |In| 6 ε, (ùp |In| L« In Ý), @o¡ A "ÿÝ8, {¡"ÿ8. w, k 1 ◦ 8´"ÿ8. 2 ◦ "ÿ8f8„´"ÿ8. 1/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

零测集振幅Lebesgue定理例1任何长度不为0的区间都不是零测集证明不妨设该区间是(a,b),a 0.k=1因此，(a,b)不可能是零测集返回全屏关闭退出I42/19

"ÿ8 Ì Lebesgue ½n ~ 1 ?ÛÝ؏ 0 «mÑØ´"ÿ8. y² ØT«m´ (a, b), a b − a > 0. Ïd, (a, b) ،U´"ÿ8. 2/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

零测集振幅Lebesgue定理例2可数个零测集的并仍是零测集证明设有可数个零测集A1, A2,... ?An.:因为Ak是零测集,所以对于任意 ε>0,存在开区间列Ikl, Ik2,.., Ikj,..使得XEZIAk cUIkj,[Ikil ≤2kj=1 j=1于是，有881X8EZZZUAr c UUIhi,|Iki/ <=E.2kk=1k=1k=1 j=1k=1 j=1这就说明U-,Ak是零测集返回全屏关闭退出3/19

"ÿ8 Ì Lebesgue ½n ~ 2 Œê‡"ÿ8¿E´"ÿ8. y² kŒê‡"ÿ8 A1, A2, · · · , An, · · · . Ϗ Ak ´"ÿ8, ¤±éu?¿ ε > 0, 3m«m Ik1, Ik2, · · · , Ikj, · · · ¦ Ak ⊂ [ ∞ j=1 Ikj, X ∞ j=1 |Ikj| 6 ε 2 k . u´, k [ ∞ k=1 Ak ⊂ [ ∞ k=1 [ ∞ j=1 Ikj, X ∞ k=1 X ∞ j=1 |Ikj| 6 X ∞ k=1 ε 2 k = ε. ùÒ`² S∞ k=1 Ak ´"ÿ8. 3/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

零测集振幅Lebesgue定理例3如果A是至多可数集.那么A是零测集证明设 A=[α1,a2,……·,an,·….].对任意给定的ε>0,令EEIn = (an -n=1,2,.2n+i, an +2n+1则显然有 A C Unen In,而且E(n/ ==E2n+1n=ln=l由此可知，有理数全体是零测集例4非空开区间（a，b）上的无理数全体不是零测集证明由于有理数全体是零测集，因此若(α,b)上的无理数全体是零测集，则（a，b）也是零测集，这是不可能的返回全屏关闭退出4/19

"ÿ8 Ì Lebesgue ½n ~ 3 XJ A ´õŒê8, @o A ´"ÿ8. y²  A = {a1, a2, · · · , an, · · · }. é?¿‰½ ε > 0, - In =  an − ε 2 n+1 , an + ε 2 n+1 , n = 1, 2, · · · Kw,k A ⊂ S n∈N In, … X ∞ n=1 |In| = X ∞ n=1 2 ε 2 n+1 = ε. ddŒ, knêN´"ÿ8. ~ 4 šm«m (a, b) þÃnêNØ´"ÿ8. y² duknêN´"ÿ8, Ïde (a, b) þÃnêN´"ÿ 8, K (a, b) ´"ÿ8. ù´ØŒU. 4/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

零测集振幅Lebesgue定理5.2.2振幅定义2设f（α）是区间I上的有界函数.称wf(I) = sup If(y) - f(α)/ = sup f(y) - inf f(c)CEIr,yelyeI为 f(α) 在区间 I 上的振幅定义 3 设 f(α)是区间 I上的有界函数。对于 α E I,> 0,记 I()=(α-8,a+)nI.称Wf(c) = lim wf(Ir(8))8-0+为f(α)在点&EI的振幅显然,当EICJ时,有wf(α)≤wf(I)≤wf(J)返回全屏关闭退出II5/19

"ÿ8 Ì Lebesgue ½n 5.2.2 Ì ½Â 2  f(x) ´«m I þk.¼ê. ¡ ωf (I) = sup x,y∈I |f(y) − f(x)| = sup y∈I f(y) − inf x∈I f(x)  f(x) 3«m I þÌ. ½Â 3  f(x) ´«m I þk.¼ê. éu x ∈ I, δ > 0, P Ix(δ) = (x − δ, x + δ) ∩ I. ¡ ωf (x) = lim δ→0+ ωf (Ix(δ))  f(x) 3: x ∈ I Ì. w,  x ∈ I ⊂ J ž, k ωf (x) 6 ωf (I) 6 ωf (J). 5/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

零测集振幅Lebesgue定理引理1设f是区间I上的有界函数.则f在点CoEI连续的充分必要条件是wf(aco)= 0.证明（必要性）设f在Co连续则对于任意>0,存在>0，当aEIa()时，有EIf(α) -f(co)I<2因此当a，yEIa（o）时，有f(α) -f(y)l≤lf(α)-f(o)/ +lf(y)-f(co)l<.由此可得wf(Iro(0)) ≤ e.此式蕴含wf(co)≤e.令e→0+,就得到wr(o)=0返回全屏关闭退出6/19

"ÿ8 Ì Lebesgue ½n Ún 1  f ´«m I þk.¼ê. K f 3: x0 ∈ I ëY¿©7‡^ ‡´ ωf (x0) = 0. y² (7‡5)  f 3 x0 ëY. Kéu?¿ ε > 0, 3 δ > 0,  x ∈ Ix0 (δ) ž, k |f(x) − f(x0)| < ε 2 . Ïd x, y ∈ Ix0 (δ) ž, k |f(x) − f(y)| 6 |f(x) − f(x0)| + |f(y) − f(x0)| < ε. ddŒ ωf (Ix0 (δ)) 6 ε. dª%¹ ωf (x0) 6 ε. - ε → 0 + , Ò ωf (x0) = 0. 6/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

零测集振幅Lebesgue定理（充分性）设CoEI且wf（ao）=0.注意到wf(co)=limwf(Iro(o)80+可知对任意>0,存在>0使得wf(I())<.因此，当EI()时有If(α)-f(Co)/<.这说明在Co连续证毕返回全屏关闭退出7/19

"ÿ8 Ì Lebesgue ½n (¿©5)  x0 ∈ I … ωf (x0) = 0. 5¿ ωf (x0) = lim δ→0+ ωf (Ix0 (δ)) Œé?¿ ε > 0, 3 δ > 0, ¦ ωf (Ix0 (δ)) < ε. Ïd,  x ∈ Ix0 (δ) ž, k |f(x) − f(x0)| < ε. ù`² f 3 x0 ëY. y. 7/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

振幅零测集Lebesgue定理5.2.3Lebesgue定理设f是区间[a,b]上的有界函数，>0.记Ds(f) =[α E [a,b] : wf(α) ≥ 8]即,区间[a,b] 中f 的振幅不小于的那些点的全体显然有,当 0<1<2时,有Ds2(f) C Dsi(f).再记D(f)为区间[a,b]中f的不连续点全体,即D(f) =[α E[a,b] : f 在 α 处不连续]我们有下面的引理返回全屏关闭退出8/19

"ÿ8 Ì Lebesgue ½n 5.2.3 Lebesgue ½n  f ´«m [a, b] þk.¼ê, δ > 0. P Dδ(f) = {x ∈ [a, b] : ωf (x) > δ}, =, «m [a, b] ¥ f ÌØu δ @ :N. w,k,  0 < δ1 < δ2 ž, k Dδ2 (f) ⊂ Dδ1 (f). 2P D(f) «m [a, b] ¥ f ØëY:N, =, D(f) = {x ∈ [a, b] : f 3 x ?ØëY}. ·‚ke¡Ún. 8/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

零测集振幅Lebesgue定理引理2设f是区间[a,b]上的有界函数我们有D(f) = UD1/n(f),n=1证明因为振幅大于零的点都是不连续点，所以对任意自然数n，有D1/n(f) C D(f). 因而 UJ D1/n(f) C D(f).n=1设 α E D(f). 即, f 在 不连续,根据引理 1, 有 wf(α) > 0. 因此存在自然数 n 使得 wf(a) >.这就是说 α E D1/n(f).因而D(f) c UD1/n(f).n=1证毕返回全屏关闭退出I4-l9/19

"ÿ8 Ì Lebesgue ½n Ún 2  f ´«m [a, b] þk.¼ê. ·‚k D(f) = [ ∞ n=1 D1/n(f). y² Ϗ̌u":Ñ´ØëY:, ¤±é?¿g,ê n, k D1/n(f) ⊂ D(f). Ï [ ∞ n=1 D1/n(f) ⊂ D(f).  x ∈ D(f). =, f 3 x ØëY, ŠâÚn 1, k ωf (x) > 0. Ïd3g ,ê n ¦ ωf (x) > 1 n . ùÒ´` x ∈ D1/n(f). Ï D(f) ⊂ [ ∞ n=1 D1/n(f). y. 9/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

振幅零测集Lebesgue定理引理 3 设 f 是区间 I =[a,b]上的有界函数. 设 Ij =(αj,β;),=1,2，··，是一列开区间．记8K = [a, b] \U Ijj=18如果 D(f) C (JIj,那么对任意 ε> 0,一定存在>0, 使得j=1If(y) -f(α)l 0，使得对任意自然数n，存在 an EK,及yn E Ian(),满足If(cn)-f(yn)l≥ E0根据Bolzano-Weierestrass 定理，(an}有子列(an}收敛到 ao E[a,b].因为yn,到an,的距离小于，所以{yn}也收敛于ao.返回退出1I全屏关闭10/19

"ÿ8 Ì Lebesgue ½n Ún 3  f ´«m I = [a, b] þk.¼ê.  Ij = (αj, βj), j = 1, 2, · · · , ´m«m. P K = [a, b] \ [ ∞ j=1 Ij. XJ D(f) ⊂ [ ∞ j=1 Ij, @oé?¿ ε > 0, ½3 δ > 0, ¦ |f(y) − f(x)| 0, ¦é?¿g,ê n,  3 xn ∈ K, 9 yn ∈ Ixn ( 1 n ), ÷v |f(xn) − f(yn)| > ε0. Šâ Bolzano-Weierestrass ½n, {xn} kf {xni} Âñ x0 ∈ [a, b]. Ϗ yni  xni ålu 1 ni , ¤± {yni} Âñu x0. 10/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ