《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第6章 微分方程 §6.1 微分方程基本概念

基本概念 分离变量法 齐次方程 可化齐次方程 一阶线性方程 第6章微分方程 §6.1微分方程基本概念 联系着一个自变量x与（未知）函数y及其微商y',y",.·,y(n)的关系 式（方程） F(x,y,y',y",…,y(n))=0 称为（常）微分方程.方程中所含未知函数微商的最高阶数n,称为这个方程的 阶.若方程关于 y,y',·,y(n)均是一次的，且不含它们之间的乘积，即方程 形式是 an(x)y(n)+an-1(x)y(n-1)+..+a1(x)y'+ao(x)y=b(x),an(x)≠0. 则称其为(n阶)线性微分方程，特别当b(x)≡0时，方程称为齐次线性微分 方程.一个函数y=y(x)称为微分方程的解，如果它能满足该方程.因此当 给定方程后，最基本的事情当然是求出方程的解，即未知函数y=y(x) ‖‖返回全屏关闭退出 1/22

ÄVg ©lCþ{ àg§ Œzàg§ ‚5§ 1 6 Ù ‡©§ §6.1 ‡©§ÄVg éXX‡gCþ x † (™) ¼ê y 9هû y 0 , y00 , · · · , y(n) 'X ª (§) F(x, y, y0 , y00 , · · · , y(n) ) = 0 ¡(~)‡©§. §¥¤¹™¼ê‡ûpê n, ¡ù‡§ . e§'u y, y0 , · · · , y(n) þ´g, …ع§‚ƒm¦È, =§ /ª´ an(x)y (n) + an−1(x)y (n−1) + · · · + a1(x)y 0 + a0(x)y = b(x), an(x) 6≡ 0. K¡Ù (n ) ‚5‡©§, AO b(x) ≡ 0 ž, §¡àg‚5‡© §. ‡¼ê y = y(x) ¡‡©§), XJ§U÷vT§. Ïd ‰½§￾, Ä¯œ,´¦Ñ§), =™¼ê y = y(x). 1/22 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

基本概念分离变量法齐次方程可化齐次方程一阶线性方程微分方程在数学和其他自然科学（物理学、化学、生物学、天文学）中是普遍存在的.因为自然世界中变量及其变化率之间往往是彼此相联系的，将这种联系用数学方式表达出来，就产生一个（或几个）微分方程Newton基本定律质点的质量m乘以运动的加速度等于质点所受的外力.如果选定坐标，设质点在时刻t时距离（或位置）为(t)，所受的外力为F(ac(t)),则 a(t)满足 Newton 方程F(r(t)) = mi(t)通常，在力学中用i，é分别表示对时间t的一阶和二阶导数最简单的例子是自由落体的运动，它满足ε(t) =一g (g 是重力加速度)以及质点沿轴被弹性力拉向原点的运动，此时质点的位置函数&(t）满足mi(t)=一ka(t)(k 是弹性系数)二返回全屏关闭退出2/22

ÄVg ©lCþ{ àg§ Œzàg§ ‚5§ ‡©§3êÆÚÙ¦g,‰Æ (ÔnÆ!zÆ!)ÔÆ!U©Æ) ¥´ ÊH3. Ϗg,­.¥Cþ9ÙCzǃm ´*dƒéX, ò ù«éX^êƐªLˆÑ5, Ò)‡ (½A‡) ‡©§. Newton Ä½Æ Ÿ:Ÿþ m ¦±$Ä\„ÝuŸ:¤É å. XJÀ½‹I, Ÿ:3ž t žål (½ )  x(t), ¤É å F(x(t)), K x(t) ÷v Newton § F(x(t)) = mx¨(t) Ï~, 3åÆ¥^ x,˙ x¨ ©OL«éžm t Úê. {ü~f´gdáN$Ä, §÷v x¨(t) = −g (g ´­å\„Ý) ±9Ÿ:÷ x ¶5å.•:$Ä, džŸ: ¼ê x(t) ÷v mx¨(t) = −kx(t) (k ´5Xê) 2/22 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

基本概念分离变量法齐次方程可化齐次方程一阶线性方程例1贷款问题假设某家庭从银行贷款50万元购房，设银行年利率5%.该家庭选择每月等额还款并计划10年还请贷款.试问每月需还款多少？解设该家庭在t个月时欠款W（t）元，假设t是连续变量，将年利率转化为月利率 r =0.05.设每月还款 k 元,则单位时间内(每个月内)W(t)的变化量等于欠款产生的利息与当月还款之差，即dwrw- k.dt由该问题的实际情况知，W(t）应满足条件两个Wlt-0 = 500 000,，Wlt=120 = 0此方程的一般解为k(C 为常数)W(t) = Cert +r代入两个条件就可求得re120r～5294.78元.k=500000e120r1返回全屏关闭退出II3/22

ÄVg ©lCþ{ àg§ Œzàg§ ‚5§ ~ 1 ±¯K b,[ÌlÕ1± 50  ’, Õ1c|Ç 5%, T[ÌÀJz„±, ¿Oy 10 c„ž±. Á¯zI„±õ? ) T[Ì3 t ‡žj± W(t) , b t ´ëYCþ. òc|Ç= z|Ç r = 0.05 12 . z„± k , Kü žmS (z‡S) W(t) C zþuj±)|E†„±ƒ, = dW dt = rW − k. dT¯K¢Sœ¹, W(t) A÷v^‡ü‡ W   t=0 = 500 000, W   t=120 = 0 d§„) W(t) = Cert + k r (C ~ê). \ü‡^‡ÒŒ¦ k = 500 000 re120r e 120r − 1 ≈ 5294.78. 3/22 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

基本概念齐次方程分离变量法可化齐次方程一阶线性方程一般来说微分方程解的个数不唯一，有多个解的方程称为泛定方程．例如，最简单的一阶方程y' = f(α)它的解一定是下列形式f(α)d = F(α) + C,其中 F(α)是 f(α)任一个确定的原函数,C 是任意常数.即对任意的常数F(c)+C都是方程的解.故称这样形式的解为方程的通解.如果事先要求所求的解在一个特定的点 co满足 y(co)= α,则符合要求的解是唯一的y(α) = / f(α)da +α称为方程的一个特解返回全屏关闭退出4/22

ÄVg ©lCþ{ àg§ Œzàg§ ‚5§ „5`‡©§)‡ê؍. kõ‡)§¡½§. ~ X, {ü§ y 0 = f(x) §)½´e/ª y = Z f(x)dx = F(x) + C, Ù¥ F(x) ´ f(x) ?‡(½¼ê, C ´?¿~ê. =é?¿~ê, F(x) + C Ñ´§). ¡ù/ª)§Ï). XJ¯k‡¦¤ ¦)3‡A½: x0 ÷v y(x0) = α, KÎ܇¦)´ y(x) = Z x x0 f(x)dx + α ¡§‡A). 4/22 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

基本概念分离变量法齐次方程可化齐次方程一阶线性方程对于一般形式的一阶微分方程F(c,y,y) = 0如果没有任何要求，它的解一般也含有一个任意常数C，通常表示为隐式d(α, y, C) = 0称为方程的通积分.若从通积分中可解出 y的一个显函数y= y(c,C)就得到方程的通解对于一般形式的n阶微分方程F(ac,y,y',y", ...,y(n)) = 0通积分或通解的含义与上面的类似，其中包含着n个独立，即彼此不能合并的任意常数，而下列初始条件(n-1)y(co) = yo, y'(co) = yo, ... , y(n-1)(ao) = yo一般来说决定了方程的一个特解返回全屏关闭退出二5/22

ÄVg ©lCþ{ àg§ Œzàg§ ‚5§ éu„/ª‡©§ F(x, y, y0 ) = 0 XJvk?ۇ¦, §)„¹k‡?¿~ê C, Ï~L«Ûª Φ(x, y, C) = 0 ¡§ÏÈ©. elÏÈ©¥Œ)Ñ y ‡w¼ê y = y(x, C) Ò §Ï). éu„/ª n ‡©§ F(x, y, y0 , y00 , · · · , y(n) ) = 0 ÏÈ©½Ï)¹Â†þ¡aq, Ù¥¹X n ‡Õá, =*dØUÜ¿ ?¿~ê. eЩ^‡ y(x0) = y0, y0 (x0) = y 0 0 , · · · , y(n−1)(x0) = y (n−1) 0 . „5`û½ §‡A). 5/22 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

基本概念分离变量法齐次方程可化齐次方程一阶线性方程微分方程与定解条件（初始条件或其它条件）联立就得到一个定解问题但在实际问题中，微分方程的建立，都是在抓住问题的本质忽略了一些次要因素后得到的数学模型，可以说是实际问题的理想化或简化所得到的解也仅是对问题的一种近似描述，通常考虑定解问题需要确定以下三个问题（1）定解问题是否至少存在一个解，即存在性（2）定解问题是否至多只有一个解，即唯一性：（3）解是否连续依赖于所给初始条件和参数，即连续依赖性求微分方程的解，是一个相当困难和复杂的问题，但从上面的一些具体例子看出，求解的过程就是一个积分的过程，所以当微分方程的通积分（或通解）能够用初等函数及初等函数的不定积分来表示，则称方程为可积微分方程，而导出这种解的方法称为初等积分法返回全屏关闭退出6/22

ÄVg ©lCþ{ àg§ Œzàg§ ‚5§ ‡©§†½)^‡ (Щ^‡½Ù§^‡) éáÒ‡½)¯K. 3¢S¯K¥, ‡©§ïá, Ñ´384¯KŸÑ g‡ σ￾êÆ., Œ±`´¢S¯KnŽz½{z. ¤) =´é¯K«Cq£ã. Ï~Ľ)¯KI‡(½±en‡¯K: (1) ½)¯K´Ä3‡), =35; (2) ½)¯K´Äõk‡), =5; (3) )´ÄëY6u¤‰Ð©^‡Úëê, =ëY65. ¦‡©§), ´‡ƒ(JÚE,¯K. lþ¡ äN ~fwÑ, ¦)L§Ò´‡È©L§. ¤±‡©§ÏÈ© (½Ï )) U ^мê9мêؽȩ5L«, K¡§ŒÈ‡© §, Ñù«){¡ÐÈ©{. 6/22 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

基本概念分离变量法齐次方程可化齐次方程一阶线性方程86.2一阶微分方程分离变量法6.2.1我们考虑形如dy=f(a,y)(6.1)da的一阶方程，即便是这样简单的方程，求解也是一个困难的事情，当方程具有某种特殊类型时，则易于用初等积分法解决若 f(a,y)= g(α)h(y),这里 g,h分别是α和 y的连续函数,且 h(y)不恒为零，则方程为dy(6.2)= g(α)h(y).dr这可（分离变量）化为dy(6.3)g(c)dc.h(y)返回全屏关闭退出?7/22

ÄVg ©lCþ{ àg§ Œzàg§ ‚5§ §6.2 ‡©§ 6.2.1 ©lCþ{ ·‚Ä/X dy dx = f(x, y) (6.1) §. =B´ù{ü§, ¦)´‡(J¯œ. §äk ,«AÏa.ž, K´u^ÐÈ©{)û. e f(x, y) = g(x)h(y), ùp g, h ©O´ x Ú y ëY¼ê, … h(y) Ø ð". K§ dy dx = g(x)h(y). (6.2) ùŒ (©lCþ) z dy h(y) = g(x)dx. (6.3) 7/22 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

基本概念齐次方程分离变量法可化齐次方程一阶线性方程我们注意，根据一阶微分形式的不变性，若u为自变量时有dy= H(y) + C,h(y)则当y是的可微函数时，等式仍然成立：所以，在（6.3）式两边分别求关于y和α的不定积分，得出H(y) :(6.4)g(α) da = G(α) + C,其中G(α)是g(α)的一个原函数,C是任意常数.这就是方程(6.2)的通积分注意,对 h(y)的任一零点：h(a)= 0,常值函数 y= a显然是方程(6.2)的解.这些解，往往在分离变量（即（6.2）化为（6.3)）时丢失，且有时不能包含在通积分（6.4）中，故应将这样的解补上我们看到,方程（6.2)中，可将其中a的函数与dc置于等式一边，而将y的函数与dy置于等式的另一边，从而两边可各自求不定积分，这样的方程称为可分离变量的方程，这一解法也称为分离变量法返回全屏关闭退出8/22

ÄVg ©lCþ{ àg§ Œzàg§ ‚5§ ·‚5¿, Šâ‡©/ªØC5, e y gCþžk Z dy h(y) = H(y) + C, K y ´ x Œ‡¼êž, ªE,¤á. ¤±, 3 (6.3) ªü>©O¦'u y Ú x ؽȩ, Ñ H(y) = Z g(x) dx = G(x) + C, (6.4) Ù¥ G(x) ´ g(x) ‡¼ê, C ´?¿~ê. ùÒ´§ (6.2) ÏÈ©. 5¿, é h(y) ?":: h(a) = 0, ~Š¼ê y = a w,´§ (6.2) ). ù ), 3©lCþ (= (6.2) z (6.3)) ž¿, …kžØU¹ 3ÏÈ© (6.4) ¥, Aòù)Öþ. ·‚w, § (6.2) ¥, ŒòÙ¥ x ¼ê† dx uª>, ò y ¼ê† dy uª,>, l ü>Œˆg¦Ø½È©. ù§ ¡Œ©lCþ§, ù){¡©lCþ{. 8/22 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

基本概念分离变量法齐次方程可化齐次方程一阶线性方程例2求解方程dyaday解将方程分离变量后，有ydy=-adc.两端求（不定）积分，得方程的通积分y? = -α? +C,即,α2+y2=C(C为任意非负常数)该方程的积分曲线，在Ocy坐标系中，表示的是以原点为圆心的同心圆族返回全屏关闭退出I49/22

ÄVg ©lCþ{ àg§ Œzàg§ ‚5§ ~ 2 ¦)§ dy dx = − x y . ) ò§©lCþ￾, k ydy = −xdx. üঠ(ؽ) È©, §ÏÈ© y 2 = −x 2 + C, =, x 2 + y 2 = C (C ?¿šK~ê), T§È©­‚, 3 Oxy ‹IX¥, L«´±:%Ó%x. 9/22 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

基本概念分离变量法齐次方程可化齐次方程一阶线性方程例3求解方程(1+ a)ydy + V1-y?da = 0解当1－y0时，分离变量后，方程可改写成为daydy1+α2Vi-y?两边积分，得方程的通积分为V1-y?=arctana+C(C为任意常数).又y=士1都是原方程的解，故应补上.因此这个方程的解是V1 - y? - arctan a = C 及 y = ±1.返回退出全屏关闭10/22

ÄVg ©lCþ{ àg§ Œzàg§ ‚5§ ~ 3 ¦)§ (1 + x 2 )ydy + p 1 − y2dx = 0. )  1 − y 2 6= 0 ž, ©lCþ￾, §ŒU¤ − ydy p 1 − y2 = dx 1 + x2 . ü>È©, §ÏÈ© p 1 − y2 = arctan x + C (C ?¿~ê). q y = ±1 Ñ´§), AÖþ. Ïdù‡§)´ p 1 − y2 − arctan x = C 9 y = ±1. 10/22 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ