《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第7章 无穷级数 7.1.2 正项级数的收敛性

基本结论 比较判别法 Cauchy 判别法 D'Alembert 判别法 Cauchy 积分判别法 Raabe 判别法 7.1.2正项级数的收敛性 定义1当通项an≥0时，称级数an2为正项级数. n=1 正项级数的部分和{Sn}是单调增加的： Sn+1= Sn+an+1≥Sn. (1)基本结论 00 (i)正项级数∑an收敛的充分必要条件是它的部分和数列{Sn}有界. n=1 (ⅱ)正项级数如果发散，一定发散到无穷. (ⅲ)收敛的正项级数，任意调换求和次序后所得到的级数也收敛，并且其 和不变. 返回全屏关闭退出 1/18

Ä(Ø 'O{ Cauchy O{ D’Alembert O{ Cauchy È©O{ Raabe O{ 7.1.2 ‘?êÂñ5 ½Â 1 ϑ an > 0 ž, ¡?ê P ∞ n=1 an ‘?ê. ‘?êÜ©Ú {Sn} ´üNO\: Sn+1 = Sn + an+1 > Sn. (1) Ä(Ø £i¤‘?ê X ∞ n=1 an Âñ¿©7‡^‡´§Ü©Úê {Sn} k. £ii¤‘?êXJuÑ, ½uÑá. £iii¤Âñ‘?ê, ?¿N†¦ÚgS￾¤?êÂñ, ¿…Ù ÚØC. 1/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

基本结论比较判别法Raabe判别法Cauchy判别法D'Alembert判别法Cauchy积分判别法X>例1证明收敛n!n=0证明这是一个正项级数，所以只须证明它的部分和有界，事实上，我们有111Sn+2!3!n!111<2+1.22.3n(n-1)2 +2331< 3.3二n因此，级数是收敛的.后面将证明的收敛的值是e返回全屏关闭退出12/18

Ä(Ø 'O{ Cauchy O{ D’Alembert O{ Cauchy È©O{ Raabe O{ ~ 1 y² X ∞ n=0 1 n! Âñ. y² ù´‡‘?ê, ¤±Ly²§Ü©Úk. ¯¢þ, ·‚ k Sn+1 = 1 + 1 + 1 2! + 1 3! · · · + 1 n! 6 2 + 1 1 · 2 + 1 2 · 3 + · · · + 1 n(n − 1) = 2 +  1 − 1 2  +  1 2 − 1 3  + · · · +  1 n − 1 − 1 n  = 3 − 1 n < 3. Ïd, ?ê´Âñ. ￾¡òy²ÂñŠ´ e. 2/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

基本结论比较判别法Cauchy判别法D'Alembert判别法Cauchy积分判别法Raabe判别法例2设an>0, Sn=ai+a2+..·+an,则(1)=1收敛(2)若m=1an收敛,则=1%也收敛.(3)若m=1an 发散,则 m=-1也发散.证明因为 Sk-11) 的收敛性如何?返回全屏关闭退出II3/18

Ä(Ø 'O{ Cauchy O{ D’Alembert O{ Cauchy È©O{ Raabe O{ ~ 2  an > 0, Sn = a1 + a2 + · · · + an, K (1) P∞ n=1 an S2 n Âñ. (2) e P∞ n=1 an Âñ, K P∞ n=1 an Sn Âñ. (3) e P∞ n=1 an uÑ, K P∞ n=1 an Sn uÑ. y² Ϗ Sk−1 1) Âñ5XÛ? 3/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

基本结论比较判别法Raabe判别法Cauchy判别法D'Alembert判别法Cauchy积分判别法88若an 收敛, 则易知也收敛.n=1n=1若之an 发散, 则 Sn 单调递增且 Sn → +oo, 所以n=1nTakakZZZak = 1.7SkSnSnk=1k=1k-1Sk1112对于 ki ≥ 1, 存在 kz > ki 使得k2使得Sk3Ski2, ki 使得Ski+1Ski1总之，存在递增自然数列【ki}使得2"Ski+1II返回全屏关闭退出-l4/18

Ä(Ø 'O{ Cauchy O{ D’Alembert O{ Cauchy È©O{ Raabe O{ e P ∞ n=1 an Âñ, K´ P ∞ n=1 an Sn Âñ. e P ∞ n=1 an uÑ, K Sn üN4O… Sn → +∞, ¤± X n k=1 ak Sk > X n k=1 ak Sn = 1 Sn X n k=1 ak = 1. éu k1 > 1, 3 k2 > k1 ¦ Sk1 Sk2 k2 ¦ Sk2 Sk3 ki ¦ Ski Ski+1 < 1 2 , · · · · · · oƒ, 34Og,ê {ki} ¦ Ski Ski+1 < 1 2 ,. 4/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

基本结论比较判别法Cauchy判别法D'Alembert判别法Cauchy积分判别法Raabe判别法因而ki+1ki+11anZSkanSnSki+1CSki+1n=ki+1n=ki+11Sk=1VSkitl2由此,kik2kmkmananananTZZZ++SnS,SSnYn=1n=ki+1n=km-1+1n=111>+++222m→+8, (m → 8),28因而发散ZS.3n=1返回全屏关闭退出14-I5/18

Ä(Ø 'O{ Cauchy O{ D’Alembert O{ Cauchy È©O{ Raabe O{ Ï X ki+1 n=ki+1 an Sn > 1 Ski+1 X ki+1 n=ki+1 an = 1 Ski+1 (Ski+1 − Ski ) = 1 − Ski Ski+1 > 1 2 . dd, X km n=1 an Sn = X k1 n=1 an Sn + X k2 n=k1+1 an Sn + · · · + X km n=km−1+1 an Sn > 1 2 + 1 2 + · · · + 1 2 = m 2 → +∞, (m → ∞), Ï P ∞ n=1 an Sn uÑ. 5/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

基本结论比较判别法Cauchy判别法D'Alembert判别法Cauchy积分判别法Raabe判别法（2）正项级数收敛判别法定理 1（比较判别法）设n=1 an 和 n=, bn 是两个正项级数,从某项开始有 an ≤ bn，则1°m=,bn收敛Em=1an收敛;2°Znm=1an发散→n=,bn发散证明不妨假定an≤bn对所有的n都成立.于是nar<Ebk.k=1k=11°若-,bn收敛，则=bk有界，因而h=ak也有界，所以En=1an收敛；2°若,an发散，则n=,ak无界，因而h=,bk无界，所以m=,bn发散.证毕返回全屏关闭退出II6/18

Ä(Ø 'O{ Cauchy O{ D’Alembert O{ Cauchy È©O{ Raabe O{ (2) ‘?êÂñO{ ½n 1 ('O{)  P∞ n=1 an Ú P∞ n=1 bn ´ü‡‘?ê, l,‘m ©k an 6 bn, K 1 ◦ P∞ n=1 bn Âñ =⇒ P∞ n=1 an Âñ; 2 ◦ P∞ n=1 an uÑ =⇒ P∞ n=1 bn uÑ. y² Øb½ an 6 bn é¤k n Ѥá. u´ X n k=1 ak 6 X n k=1 bk. 1 ◦ e P∞ n=1 bn Âñ, K Pn k=1 bk k., Ï Pn k=1 ak k., ¤± P∞ n=1 an Âñ; 2 ◦ e P∞ n=1 an uÑ, K Pn k=1 ak Ã., Ï Pn k=1 bk Ã., ¤± P∞ n=1 bn uÑ. y. 6/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

基本结论比较判别法Cauchy判别法D'Alembert判别法Cauchy积分判别法Raabe判别法8Z例3称为p级数，讨论它的敛散性npn=1解当p≤1时，因为D故在此情况下，p级数发散当p>1时，命p=1+α(α>0).对函数f(）=利用微分中值定理可得ao(n-0)a+1nanp(n - 1)a其中01时.p级数收敛返回全屏关闭退出7/18

Ä(Ø 'O{ Cauchy O{ D’Alembert O{ Cauchy È©O{ Raabe O{ ~ 3 X ∞ n=1 1 np ¡ p ?ê, ?اñÑ5. )  p 6 1ž, Ϗ 1 np > 1 n , 3dœ¹e, p ?êuÑ.  p > 1ž, · p = 1 + α (α > 0). é¼ê f(x) = 1 xα |^‡©¥Š½n Œ 1 (n − 1)α − 1 nα = α (n − θ) α+1 > α np , Ù¥ 0 1 ž, p ?êÂñ. 7/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

基本结论比较判别法Cauchy判别法D'Alembert判别法Cauchy积分判别法Raabe判别法推论1（比较判别法的极限形式）设n=1an和=,bn是正项级数lim = A. 则1° 若 0 < A< +00, 则n=1an 与 n=,bn 同敛散;2°若A=0,则当m=1bn收敛时,n=1an也收敛；3°若 A =+80,则当 n=,bn发散时,m=ian也发散n+3收敛例 4 求证D%=1 Vm*+1)(mn+2)证明由1n+3n3/2/(n2 + 1)(n3 + 2)及N1n3/2n=1的收敛性，可知原级数收敛返回全屏关闭退出II-8/18

Ä(Ø 'O{ Cauchy O{ D’Alembert O{ Cauchy È©O{ Raabe O{ íØ 1 ('O{4/ª)  P∞ n=1 an Ú P∞ n=1 bn ´‘?ê, lim an bn = A. K 1 ◦ e 0 < A < +∞, K P∞ n=1 an † P∞ n=1 bn ÓñÑ; 2 ◦ e A = 0, K P∞ n=1 bn Âñž, P∞ n=1 an Âñ; 3 ◦ e A = +∞, K P∞ n=1 bn uў, P∞ n=1 an uÑ. ~ 4 ¦y P∞ n=1 √ n+3 (n2+1)(n3+2) Âñ. y² d n + 3 p (n2 + 1)(n3 + 2) ∼ 1 n3/2 9 X ∞ n=1 1 n3/2 Âñ5, Œ?êÂñ. 8/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

基本结论比较判别法Cauchy判别法D'Alembert判别法Cauchy积分判别法Raabe判别法定理2（Cauchy判别法）设n=1an是正项级数(i)如果从某项起有anq1时,级数发散，当g=1时，还无法判断级数收敛还是发散证明 不妨设对所有的 n 都有 an≤ qq-1. 大家可自行完成证明返回全屏关闭退出9/18

Ä(Ø 'O{ Cauchy O{ D’Alembert O{ Cauchy È©O{ Raabe O{ ½n 2 (Cauchy O{)  P∞ n=1 an ´‘?ê. (i) XJl,‘åk √n an 6 q 1, K?êuÑ; (iii) XJ limn→∞ √n an = q, K q 1 ž, ?ê uÑ,  q = 1 ž, „Ã{ä?êÂñ„´uÑ. y² Øé¤k n Ñk √n an 6 q 1,  {an} ر"4, ¤± P∞ n=1 an uÑ. éu4/ª, ‡5¿½3‡ê ε, ¦éu¿©Œ n, k √n an q − ε > 1. Œ[Œg1¤y². 9/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

基本结论比较判别法Raabe判别法Cauchy判别法D'Alembert判别法Cauchy积分判别法定理3(D'Alembert判别法）设o=,an是正项级数有an+1≤g 1 时,级数发散,当 g = 1 时,还不能判断an+1≤<1,故有证明 不妨设对所有的 n 都有ana3a2an<≤q,q,q,aia2an-1把这些不等式两端相乘，就得到aan<.q由于 是一个常数, 而 n=1q" 收敛,所以 n=1an 收敛如果 antl≥1,则 an+1≥an,即 ai≤a2≤.·≤an≤.,此时级数的通项an不会趋于零，因此级数发散返回关闭退出全屏=10/18

Ä(Ø 'O{ Cauchy O{ D’Alembert O{ Cauchy È©O{ Raabe O{ ½n 3 (D’Alembert O{)  P∞ n=1 an ´‘?ê. (i) XJl,‘åk an+1 an 6 q 1, K?êuÑ; (iii) XJc￾‘ƒ'äk4 lim n→∞ an+1 an = q, K q 1 ž, ?êuÑ,  q = 1 ž, „ØUä. y² Øé¤k n Ñk an+1 an 6 q 1, K an+1 > an, = a1 6 a2 6 · · · 6 an 6 · · · , dž?ê ϑ an جªu", Ïd?êuÑ. 10/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ