《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第5章 单变量函数的积分学 §5.1 积分 5.1.1 积分的定义 5.1.2 几个例子

5.1.1 5.1.2 积分的定义 可积的必要条件 第5章单变量函数的积分学 §5.1积分 5.1.1积分的定义 曲边梯形的面积 对于多边形，定义面积时，我们接受几何直观，即承认对于每一个（平 面)多边形P都有面积，其面积是一个正数A(P),并具有下面两个性质： 1°两个全等的多边形有相同的面积； 2°整体面积是它的各部分面积之和：如果两个多边形P'与P"拼凑在 一起形成一个新的多边形P,则P的面积是 A(P)=A(P')+A(P") 所谓“拼凑”或者说“并”，即是P'与P"仅有某些边为公共部分. 返回全屏关闭退出 1/18

5.1.1 5.1.2 È©½Â ŒÈ7‡^‡ 1 5 Ù üCþ¼êÈ©Æ §5.1 È© 5.1.1 È©½Â ­>F/¡È éuõ>/, ½Â¡Èž, ·‚ÉAۆ*, =«@éuz‡£² ¡¤õ>/ P Ñk¡È, Ù¡È´‡ê A(P ), ¿äke¡ü‡5Ÿ: 1 ◦ ü‡õ>/kƒÓ¡È; 2 ◦ N¡È´§ˆÜ©¡ÈƒÚ: XJü‡õ>/ P 0 † P 00 ©n3 å/¤‡#õ>/ P , K P ¡È´ A(P ) = A(P 0 ) + A(P 00) ¤¢/©n0½ö`/¿0 , =´ P 0 † P 00 =k, >ú
Ü©. 1/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

5.1.15.1.2积分的定义可积的必要条件3°面积应连续依赖其边长4°约定边长为 1的正方形的面积为 1正方形根据面积的性质，边长为正有理数的正方形的面积为2.我们希望正方形的面积应连续依赖其边长，因此，边长为正实数α的正方形的面积为 α2.长方形由于长方形可以用正方形拼接而成，按照面积的两个性质以及连续性可以证明边长为a和b的长方形的面积为ab三角形进而可以证明三角形的面积等于：底×高：2多边形因为多边形可以用有限个三角形拼接而成，因此多边形的面积可以确定曲边图形对于一个由封闭曲线围成的平面图形，如果它是有面积的，那么我们也希望其面积是满足性质1°、性质2°和性质3°返回全屏关闭退出-2/18

5.1.1 5.1.2 È©½Â ŒÈ7‡^‡ 3 ◦ ¡ÈAëY6Ù>. 4 ◦ ½> 1 /¡È 1. / Šâ¡È5Ÿ, >knê r /¡È r 2 . ·‚ F"/¡ÈAëY6Ù>, Ïd, >¢ê a /¡ ȏ a 2 . / du/Œ±^/© ¤, Uì¡Èü‡5Ÿ±9 ëY5Œ±y²> a Ú b /¡È ab. n/ ? Œ±y²n/¡Èu: .×p÷2. õ>/ Ϗõ>/Œ±^k‡n/© ¤, Ïdõ>/¡È Œ±(½. ­>ã/ éu‡dµ4­‚Œ¤²¡ã/, XJ§´k¡È, @ o·‚F"Ù¡È´÷v5Ÿ1 ◦ !5Ÿ2 ◦ Ú5Ÿ3 ◦ . 2/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

5.1.15.1.2积分的定义可积的必要条件封闭曲线围成的平面图形可以分成以下三种图形的并图 5.1图5.2图5.3图5.2与图5.3是图5.1的蜕化情形：其中一条边或两条边缩成为一个点因此我们只要考虑如图4.1的曲边梯形的面积就可以了图5.1有三边是直线段，仅有一边是曲线，我们假定它们所围成的区域是有面积的，现在就是要求出这个面积我们将采用在小范围内“以直代曲”的方法，先求出所求面积的一个近似返回全屏关闭退出3/18

5.1.1 5.1.2 È©½Â ŒÈ7‡^‡ µ4­‚Œ¤²¡ã/Œ±©¤±en«ã/¿. ã 5.1 ã 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ã 5.3 ã5.2 †ã5.3 ´ã5.1ðzœ/: Ù¥^>½ü^> ¤‡:. Ïd, ·‚‡ÄXã4.1­>F/¡ÈҌ± . ã5.1kn>´†‚ã, =k>´­‚, ·‚b½§‚¤Œ¤«´ k¡È, y3Ò´‡¦Ñù‡¡È. ·‚òæ^3‰ŒS/±†­0 {, k¦Ñ¤¦¡È‡Cq. 3/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

5.1.1积分的定义5.1.2可积的必要条件取定一个直角坐标系Ocy,使所考虑的曲边梯形由连续曲线y=f(α)(f(α)≥ 0),与 轴, 两直线 α = α 及 = b 所围成 (如图5.4),y=f(a)hh图5.4图 5.5在 a 与 b中插入 n-1个分点 1,·,αn-1,其中 i<··< an-1, 称为区间 [a,b]的一个“分割”,若记 ao = a, an = b, 则区间 [a,b] 分成了 n 个小区间[ci-1,cil(i=1,,n)。在每一个分点上画出与 α轴垂直的直线，于是所说的曲边梯形被分成n个小“长条”（如图5.5)返回全屏关闭退出4/18

5.1.1 5.1.2 È©½Â ŒÈ7‡^‡ ½‡†‹IX Oxy, ¦¤Ä­>F/dëY­‚ y = f(x) (f(x) > 0), † x ¶, ü†‚ x = a 9 x = b ¤Œ¤ (Xã5.4). ✲ ✻ x y y=f(x) a b ã 5.4 ✲ ✻ x y a b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ã 5.5 3 a † b ¥\ n − 1 ‡©: x1, · · · , xn−1, Ù¥ x1 F/©¤ n ‡/^0(Xã5.5). 4/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

5.1.15.1.2积分的定义可积的必要条件求这些小长条的面积，难度并未降低，但可以考虑用小的矩形长条来作近似（这一过程，相当于在每个小区间上用f在其中某个点的值代替f（α））我们用Sn表示这样得到的n个小矩形面积之和.在直观上可以看出，若区间[a，bl分割得越来越细，即n无限增大时，诸小区间的最大长度趋向于零则“近似值”，S，趋向于曲边梯形的面积，这样，曲边梯形的面积表示成了这些小矩形的面积和的极限9图5.6图5.7返回全屏关闭退出5/18

5.1.1 5.1.2 È©½Â ŒÈ7‡^‡ ¦ù ^¡È, JÝ¿™ü$, Œ±Ä^Ý/^5Š Cq£ùL§, ƒu3z‡«mþ^ f 3Ù¥,‡:ŠO f(x)¤. ·‚^ Sn L«ù n ‡Ý/¡ÈƒÚ. 3†*þŒ±wÑ, e« m [a, b] ©5[, = n ÁOŒž, ëmŒݪ•u", K/CqŠ0Sn ª•u­>F/¡È. ù, ­>F/¡ÈL«¤ ù Ý/¡ÈÚ4. ✲ ✻ x y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ã 5.6 ✲ ✻ x y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ã 5.7 5/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

5.1.15.1.2积分的定义可积的必要条件现在我们不靠直观预先认定所说的曲边梯形存在面积，而是首先考虑上面定义的和Sn当分割越来越细时，如果这些和趋于一个确定的极限，我们就将这个极限值定义为曲边梯形的面积，这样我们就给出了定义面积的一种方式更确切地说，我们在每个小区间[ci-1,i中任意取一个点si，记Aci=ci一ai-1（i=1,2，，n)，则每一小块矩形的面积是f(si)Ai，它们的和式为Sn = f(si)Ari.i=1如果当maxAi→0（n→）时，无论分点a1,··，n-1及点1,···，Enl<i<n怎样选取，和Sn都有极限；这一极限值就可定义为所说的曲边梯形（图5.4）的面积返回全屏关闭退出6/18

5.1.1 5.1.2 È©½Â ŒÈ7‡^‡ y3·‚Ø‚†*ýk@½¤`­>F/3¡È, ´ÄkÄþ ¡½ÂÚ Sn, ©5[ž, XJù Úªu‡(½4, ·‚ Òòù‡4Š½Â­>F/¡È. ù·‚Ò‰Ñ ½Â¡È« ª. (ƒ/`, ·‚3z‡«m [xi−1, xi ] ¥?¿‡: ξi , P ∆xi = xi − xi−1 (i = 1, 2, · · · , n), Kz¬Ý/¡È´ f(ξi)∆xi , §‚Úª  Sn = X n i=1 f(ξi)∆xi. XJ max 16i6n ∆xi → 0 (n → ∞) ž, ÃØ©: x1, · · · , xn−1 9: ξ1, · · · , ξn NÀ, Ú Sn Ñk4; ù4ŠÒŒ½Â¤`­>F/ (ã5.4) ¡È. 6/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

5.1.15.1.2积分的定义可积的必要条件质点沿直线运动走过的路程一个质点沿直线运动，且在时间区间[a，b]内任一时刻t的速度为=w(t），我们考虑质点在这一段时间内走过的路程从物理意义上来看，所说的路程当然存在为了求出这一路程，我们用分点a=to<ti<.<tn-i<tn=b,将区间[a,b]分为n个小区间[ti-1,ti](i=1，..，n)在每个区间[ti-1,t]上任取一点i，将质点在时间区间[ti-1，ti]上的运动近似为以速度为（s）的匀速运动.由此，可得到质点从t=a到t=b走过的路程的近似值为Sh =w(si)Ati.i=-1直观上看，当maxAti→0(n→）时，近似值S便趋于所求的路程l<i<n返回全屏关闭退出7/18

5.1.1 5.1.2 È©½Â ŒÈ7‡^‡ Ÿ:÷†‚$ÄrL´§ ‡Ÿ:÷†‚$Ä, …3žm«m [a, b] S?ž t „ݏ v = v(t), ·‚ğ:3ùãžmSrL´§. lÔn¿Âþ5w, ¤`´§,3.  ¦Ñù´§, ·‚^ ©: a = t0 < t1 < · · · < tn−1 < tn = b, ò«m [a, b] © n ‡«m [ti−1, ti ](i = 1, · · · , n). 3z‡«m [ti−1, ti ] þ?: ξi , òŸ:3žm« m [ti−1, ti ] þ$ÄCq±„ݏ v(ξi) !„$Ä. dd, ŒŸ:l t = a  t = b rL´§CqŠ S 0 n = X n i=1 v(ξi)∆ti. †*þw,  max 16i6n ∆ti → 0(n → ∞) ž, CqŠ S 0 n Bªu¤¦´§. 7/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

5.1.1积分的定义5.1.2可积的必要条件定义1设函数 f(α)在闭区间[a,bl上有定义.用分点T: a=o<i<...<n-1<&n = b将区间 [a,b] 分割成 n 个小区间 [ci-1,ci](i = 1,··,n)。在每一个区间[aci-1,ci]上任取一点，并记ITll = max Aai, Aai = ci - i-1i<isn称为分割的“宽度”，和式nSn(T) = f(s:)Aai,i-1称为函数f(α)在区间[a,bl 上对应于分割T的一个Riemann（黎曼）和.如果当ITll→0(n→)时,无论分点i与点怎样选取,Sn总有极限则称函数 f(α)在区间[a,b] 上可积;并将这极限值称为f(α)在[a,b] 上的定积分，记为6f(α)da.返回全屏关闭退出I8/18

5.1.1 5.1.2 È©½Â ŒÈ7‡^‡ ½Â 1 ¼ê f(x) 34«m [a, b] þk½Â. ^©: T : a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b ò«m [a, b] ©¤ n ‡«m [xi−1, xi ](i = 1, · · · , n). 3z‡«m [xi−1, xi ] þ?: ξi , ¿P kT k = max 16i6n ∆xi, ∆xi = xi − xi−1 ¡©/°Ý0. Úª Sn(T ) = X n i=1 f(ξi)∆xi, ¡¼ê f(x) 3«m [a, b] þéAu© T ‡Riemann£iù¤Ú. X J kT k → 0 (n → ∞) ž, ÃØ©: xi †: ξi NÀ, Sn ok4, K¡¼ê f(x) 3«m [a, b] þŒÈ; ¿òù4Š¡ f(x) 3 [a, b] þ½ È©, P Z b a f(x)dx. 8/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

5.1.15.1.2积分的定义可积的必要条件例 1 区间[a,bl 上的常值函数 f(α)= c是可积的,且它的积分是n6cdc = c(b - a)0证明因为常值函数在任何点的值都是一样的，所以TSn = f(si)Aai = c Aai = c(b - a).0=1=因此当 ITI →0 时, Sn 有极限,且极限为 c(b -α). 当 c > 0 时,此例的几何意义为：长、宽分别为 c与 b一 α的矩形的面积是c(b一α),这与初等几何中的定义一致返回全屏关闭退出I49/18

5.1.1 5.1.2 È©½Â ŒÈ7‡^‡ ~ 1 «m [a, b] þ~Š¼ê f(x) = c ´ŒÈ, …§È©´ Z b a c dx = c(b − a). y² Ϗ~Š¼ê3?Û:ŠÑ´, ¤± Sn = X n i=1 f(ξi)∆xi = c X n i=1 ∆xi = c(b − a). Ïd kT k → 0 ž, Sn k4, …4 c(b − a).  c > 0 ž, d~A ۿ: !°©O c † b − a Ý/¡È´ c(b − a), ù†ÐAÛ ¥½Â. 9/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

5.1.2积分的定义可积的必要条件5.1.1例2设yoE[a,b]则函数=yo,Jy(a) =0. # yo在[a，]上可积，且积分为零证明 对于[a,b] 的任意分割T：a=αo<i<··<an=b,以及区间[ai-1,ai]中的 Ei（i=1,2,..·，n),至多有一个E;等于yo.因此nZf(Si)Ai≤ ITIl → 0.i=1由此可知Jyo（α）可积，且积分为零返回退出全屏关闭-10/18

5.1.1 5.1.2 È©½Â ŒÈ7‡^‡ ~ 2  y0 ∈ [a, b] K¼ê Jy0 (x) =    1, x = y0, 0, x 6= y0 3 [a, b]þŒÈ, …È©". y² éu [a, b] ?¿© T : a = x0 < x1 < · · · < xn = b, ±9« m [xi−1, xi ] ¥ ξi (i = 1, 2, · · · , n), õk‡ ξi u y0. Ïd      X n i=1 f(ξi)∆xi      6 kT k → 0. ddŒ Jy0 (x) ŒÈ, …È©". 10/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ