《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第7章 无穷级数 7.1.1 数项级数的基本概念

第7章无穷级数 §7.1数项级数 7.1.1数项级数的基本概念 无穷级数就是排成一列的无穷多个数a1,a2,·依次相加的一个形式 上的求和表达式 ∞ an=a1+a2+…+an+… (7.1) n=1 其中an叫做级数的通项，表示求和是从第一项一直加到无穷。 n=1 n Sn:=∑ak=a1+a2+..+an k=1 称为级数的前n项的和。 返回全屏关闭退出 1/16

1 7 ٠á?ê §7.1 ê‘?ê 7.1.1 ê‘?êÄVg á?êÒ´ü¤áõ‡ê a1, a2, · · · gƒ\‡/ª þ¦ÚLˆª X ∞ n=1 an = a1 + a2 + · · · + an + · · · (7.1) Ù¥ an ‰?êϑ§ P ∞ n=1 L«¦Ú´l1‘†\á" Sn := X n k=1 ak = a1 + a2 + · · · + an ¡?êc n ‘Ú" 1/16 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

例如1+q+q?+...+q"+...等比级数（几何级数）等差级数a+(a+d) + (a+ 2d) +...+ (a+nd)+..:1-1+1- 1+...+(-1)n-1+..上面三个级数中，第一个级数前n项的和为1-qnSn =1-q当lql<1时，Sn趋于，当q≥1时，Sn发散到+0.第二个级数前n项的和为n(n - 1)Sn = na +2当 a和 d不同时为 0 时,Sn发散到 8oI返回全屏关闭退出2/16

~X 1 + q + q 2 + · · · + q n + · · · '?ê£AÛ?ê¤ a + (a + d) + (a + 2d) + · · · + (a + nd) + · · · ?ê 1 − 1 + 1 − 1 + · · · + (−1)n−1 + · · · þ¡n‡?ꥧ1‡?êc n ‘ڏ Sn = 1 − q n 1 − q .  |q| 1 ž§Sn uÑ +∞. 1‡?êc n ‘ڏ Sn = na + n(n − 1) 2 d  a Ú d ØӞ 0 ž§Sn uÑ ∞. 2/16 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

第三个级数前n项的和为n为奇数没有确定的趋势Snn为偶数0再例如无限循环小数都可以表示无穷级数.如0.1 = 0.111:: = 0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001 + :1212120.12=0.121212. :102104106返回全屏关闭退出3/16

1n‡?êc n ‘ڏ Sn =    1, n Ûê 0, n óê vk(½ª³ 2~XÁ̂êь±L«Ã¡?ê, X 0.1 = 0 ˙ .111 · · · = 0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001 + · · · . 0.12 = 0 ˙ .121212 · · · = 12 102 + 12 104 + 12 106 + · · · 3/16 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

级数是数吗？能不能当成数一样进行运算？考虑下面的推导是否合法。设11H=1+23则11H-+23由此，得(HH[-1]-/11十223111+1.22.33:481>n(n + 1)+n=1返回全屏关闭退出4/16

?ê´êí? UØU¤ê?1$Ž? Äe¡í´ÄÜ{" H = 1 + 1 2 + 1 3 + · · · . K H − 1 = 1 2 + 1 3 + · · · . dd§ 1 = H − (H − 1) =  1 − 1 2  +  1 2 − 1 3  +  1 3 − 1 4  + · · · = 1 1 · 2 + 1 2 · 3 + 1 3 · 4 + · · · = X ∞ n=1 1 n(n + 1) . 4/16 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

若这种推导可行，则令A=1+2+3+...,有A-1=2+3+4+...因而1= A-(A-1)= (1 - 2) + (2 - 3) + (3 - 4) +. . = -1+(-1) +(-1) +.. 这个结论显然不成立可见这种推导不合法，为什么？返回全屏关闭退出5/16

eù«íŒ1§K￾A = 1 + 2 + 3 + · · · , k A − 1 = 2 + 3 + 4 + · · · , Ï 1 = A − (A − 1) = (1 − 2) + (2 − 3) + (3 − 4) + · · · = −1 + (−1) + (−1) + · · · ù‡(Øw,ؤá. Œ„ù«íØÜ{§Ÿo? 5/16 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

再例如，设11A=1+十2222则112A=2+1+222= 2+A,因此A=2.如果上面的推导是可行的，那么下面的推导是否也合理？设A=2+22+23+..·+2"+..则2A=22+23+..+2n+..=A-2因此A=一2.这个结果显然不合理返回全屏关闭退出76/16

2~X,  A = 1 + 1 2 + 1 2 2 + · · · + 1 2 n−1 + · · · K 2A = 2 + 1 + 1 2 + 1 2 2 + · · · + 1 2 n−1 + · · · = 2 + A, Ïd A = 2. XJþ¡í´Œ1, @oe¡í´ÄÜn?  A = 2 + 22 + 23 + · · · + 2n + · · · K 2A = 22 + 23 + · · · + 2n + · · · = A − 2 Ïd A = −2. ù‡(Jw,ØÜn. 6/16 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

(1)收敛性定义1设an是一个级数，Sn=ai＋..·+an称为此级数的前n项部分和。如果数列「Sn】收敛于S,则称此级数收敛，S称为级数的和，记为8an = S.n=1如果数列「Sn1没有极限，就称此级数是发散的。从定义可知，级数是否收敛可用其部分和数列「Sn来讨论。反之，给定一个数列Sn}，令ai=S1,an=Sn-Sn-1,(n>1)D则级数an的部分和就是Sn.因此，也可用级数来研究数列。n=1返回全屏关闭退出7/16

(1) Âñ5 ½Â 1  P ∞ n=1 an ´‡?ê§Sn = a1 + · · · + an ¡d?êc n ‘Ü ©Ú"XJê {Sn} Âñu S, K¡d?êÂñ§S ¡?êÚ§P X ∞ n=1 an = S. XJê {Sn} vk4§Ò¡d?ê´uÑ" l½ÂŒ§?ê´ÄÂñŒ^ÙÜ©Úê {Sn} 5?Ø" ‡ƒ§‰½‡ê {Sn}§- a1 = S1, an = Sn − Sn−1,(n > 1). K?ê P ∞ n=1 an Ü©ÚÒ´ Sn. Ïd§Œ^?ê5ïÄê" 7/16 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

(2)基本性质级数Zan收敛的充分必要条件是：性质1（Cauchy收敛准则）n=1Ve>0,3N E N,使得当 n> N 时,不等式Jan+1 + an+2 +... + an+pl 0,3N E N,使得当 n>N 时,不等式ISn+p - Snl<e对一切 pE N成立. 即Jan+1 + an+2 + :.. + an+pl < ε对一切 pE N成立II返回全屏关闭退出-8/16

(2) Ä5Ÿ 5Ÿ 1 (Cauchy ÂñOK) ?ê P ∞ n=1 an Âñ¿©7‡^‡´µ ∀ε > 0, ∃N ∈ N, ¦ n > N ž§Øª |an+1 + an+2 + · · · + an+p| 0, ∃N ∈ N, ¦ n > N ž§Øª |Sn+p − Sn| < ε éƒ p ∈ N ¤á. =, |an+1 + an+2 + · · · + an+p| < ε éƒ p ∈ N ¤á" 8/16 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

(-1)n-1例1级数是收敛的。nn=1证明：对于任意正数ε,取自然数N>!,则当 n>N时,有n+p(-1)k-1Zkk=n+11111n+2n+3n+1n+4n+p111(n + 2)(n + 3)(n + 4)(n + 5)n+1n+p1n1IniEN返回全屏关闭退出9/16

~ 1 ?ê P ∞ n=1 (−1)n−1 n ´Âñ" y²µéu?¿ê ε, g,ê N > 1 ε , K n > N ž, k      X n+p k=n+1 (−1)k−1 k      =     1 n + 1 − 1 n + 2 + 1 n + 3 − 1 n + 4 + · · · + (−1)p−1 n + p     =     1 n + 1 − 1 (n + 2)(n + 3) − 1 (n + 4)(n + 5) − · · · − (−1)p−1 n + p     6 1 n + 1 < 1 n < 1 N < ε. 9/16 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

8Z1-n例2级数是发散的。n=1证明：该级数发散，这是因为11-21-22-2十7+.+(+1)1..21I十1十→8, (n →8).=81-2因为 Sn有一个子列发散,所以 Sn发散.故，是发散的n=1返回全屏退出关闭10/16

~ 2 ?ê P ∞ n=1 1 n ´uÑ" y²µT?êuÑ, ù´Ï S2 n = 1 + 1 2 + ￾1 3 + 1 4
+ · · · + ￾ 1 2 n−1 + 1 + · · · + 1 2 n
> 1 + 1 2 + ￾1 4 + 1 4
+ · · · + ￾ 1 2 n + · · · + 1 2 n
= 1 + n 2 → ∞, (n → ∞). Ϗ Sn k‡fuÑ, ¤± Sn uÑ. , P ∞ n=1 1 n ´uÑ. 10/16 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ