《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第7章 无穷级数 §7.5 用多项式一致逼近连续函数

Bernstein 多项式 Bernstein 逼近定理 Weierestrass 逼近定理 保形性质 Bezier 曲线 §7.5用多项式一致逼近连续函数 设F是定义在区间I上的一个函数空间.对于定义在I上的一个函数 f,如果对任意正数ε都存在g∈F使得 |f(x)-g(x)|<ε，(x∈I) 则称可以用F中的函数一致逼近f.此时，存在F中的函数列{gn}在I上 一致收敛于 f. 由于多项式具有良好的性质，我们希望可以用多项式来一致逼近函数. 注意到多项式是连续的，可以用多项式来一致逼近的函数一定也是连续的. 我们要讨论下面的问题： 问题对于有限闭区间[a,b]上的连续函数f(x),是否存在多项式函数 列{fn(x)}在[a,b]上一致收敛于f(x)? 11 返回 全屏 关闭 退出 1/13

Bernstein õ‘ª Bernstein %C½n Weierestrass %C½n /5Ÿ Bezier ­‚ §7.5 ^õ‘ª%CëY¼ê  F ´½Â3«m I þ‡¼êm. éu½Â3 I þ‡¼ê f, XJé?¿ê ε Ñ3 g ∈ F ¦ |f(x) − g(x)| < ε, (∀ x ∈ I) K¡Œ±^ F ¥¼ê%C f. dž, 3 F ¥¼ê {gn} 3 I þ Âñu f. duõ‘ªäkûÐ5Ÿ, ·‚F"Œ±^õ‘ª5%C¼ê. 5¿õ‘ª´ëY, Œ±^õ‘ª5%C¼ê½´ëY. ·‚‡?Øe¡¯K: ¯K éuk4«m [a, b] þëY¼ê f(x), ´Ä3õ‘ª¼ê  {fn(x)} 3 [a, b] þÂñu f(x)? 1/13 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

保形性质Bezier曲线Bernstein多项式Bernstein逼近定理Weierestrass逼近定理设 Bn(αc) = (n)ak(1 一 ac)n-k (i = 0, 1,.·,n) 称为 Bernstein 基函数定义1 设f(α)是[0,1] 上的连续函数,称(1)Bn(f;a) = f(=)Br(a),ni=0为f 的n阶Bernstein多项式(1912年提出)显然,Bn(f,α)是次数≤ n 的多项式,且(2)Bn(1; aα) = 1.还可以证明(3)Bn(α; c) = c.返回全屏关闭退出I42/13

Bernstein õ‘ª Bernstein %C½n Weierestrass %C½n /5Ÿ Bezier ­‚  Bn i (x) = ￾ n k
x k (1 − x) n−k (i = 0, 1, · · · , n) ¡ Bernstein ļê. ½Â 1  f(x) ´ [0, 1] þëY¼ê, ¡ Bn(f; x) = X n i=0 f( i n )Bn i (x), (1)  f  n  Bernstein õ‘ª (1912 cJÑ). w, Bn(f, x) ´gê 6 n õ‘ª, … Bn(1; x) = 1. (2) „Œ±y² Bn(x; x) = x. (3) 2/13 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

保形性质Bernstein多项式Bernstein逼近定理Weierestrass逼近定理Bezier曲线(n - 1)!(1 -α)n-ir(1 - a)n-i = Bn(α; α) =(i - 1)!(n - i)!n2i=0n-1(n - 1)!Z,ai+1(1 - a)n-1-ii(n - 1 -i)!i=0n-S) α'(1 - a)n-1-i = a.c用类似的方法可以证明Bn(a2; a) = (1 - 1)a? + =a.(4)n一般可以验证,当 f 是 m次多项式时,Bn(f;α)是次数为 min(n,m)的多项式由(2),(3),(4)可以得到2(k - na)"Br(ac) = ne(1 - a).(5)k=0I返回全屏关闭退出-3/13

Bernstein õ‘ª Bernstein %C½n Weierestrass %C½n /5Ÿ Bezier ­‚ Bn(x; x) = X n i=0 i n  n i  x i (1 − x) n−i = X n i=1 (n − 1)! (i − 1)!(n − i)! x i (1 − x) n−i = X n−1 i=0 (n − 1)! i!(n − 1 − i)! x i+1(1 − x) n−1−i = x X n−1 i=0  n − 1 i  x i (1 − x) n−1−i = x. ^aq{Œ±y² Bn(x 2 ; x) = (1 − 1 n )x 2 + 1 n x. (4) „Œ±y,  f ´ m gõ‘ªž, Bn(f; x) ´gê min(n, m) õ‘ ª. d (2), (3), (4) Œ± X n k=0 (k − nx) 2Bn k (x) = nx(1 − x). (5) 3/13 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

保形性质Bezier曲线Bernstein多项式Bernstein逼近定理Weierestrass逼近定理定理1(Bernstein）设 f(α)是[0,1] 上的连续函数,则Bn(f;ac)在[0,1] 上一致收敛于 f(aα).证明 对于正数 8,设 w()为 f 的连续模,即w(o) =, max _ lf(α) - f(y)l[α-y<sa,ye[0,1][a - yl（整数部分).则有定义非负整数：(α,;)=8If(α) - f(y)/ ≤ (1 + ^(α, y; o))w(8).因为f(ac) = f(c)Br(α),k=0Bn(f;a) = f(=)Br(a),k=0返回全屏关闭退出II-l4/13

Bernstein õ‘ª Bernstein %C½n Weierestrass %C½n /5Ÿ Bezier ­‚ ½n 1 (Bernstein)  f(x) ´ [0, 1] þëY¼ê, K Bn(f; x) 3 [0, 1] þ Âñu f(x). y² éuê δ,  ω(δ)  f ëY, =, ω(δ) = max |x−y|6δ x,y∈[0,1] |f(x) − f(y)|. ½ÂšKê: λ(x, y; δ) =  |x − y| δ  (êÜ©). Kk |f(x) − f(y)| 6 ￾ 1 + λ(x, y; δ)
ω(δ). Ϗ f(x) = X n k=0 f(x)Bn i (x), Bn(f; x) = X n k=0 f( k n )Bn i (x), 4/13 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Bernstein多项式Bernstein逼近定理Weierestrass逼近定理保形性质Bezier曲线所以>Bn(f; α) f(α)I =k=0nf(=) -f(α)/Br(αDnk=0nkVV1 +^(=, α; 0)) w()Bn(cnk=0n1+Z^?. Bn(c)≤w(0)k=0n(c -k)221 +≤w()82k=0a(1 - a)= w(8)1 +nd21 14n2返回关闭退出全屏5/13

Bernstein õ‘ª Bernstein %C½n Weierestrass %C½n /5Ÿ Bezier ­‚ ¤± |Bn(f; x) − f(x)| =      X n k=0  f( k n ) − f(x)  Bn i (x)      6 X n k=0     f( k n ) − f(x)     Bn i (x) 6 X n k=0  1 + λ( k n , x; δ)  ω(δ)Bn i (x) 6 ω(δ) 1 +X n k=0 λ 2 · Bn i (x) ! 6 ω(δ) 1 +X n k=0 (x − k n ) 2 δ 2 Bn i (x) ! = ω(δ)  1 + x(1 − x) nδ2  6 ω(δ)  1 + 1 4nδ2  . 5/13 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Bernstein多项式Bernstein逼近定理Weierestrass逼近定理保形性质Bezier曲线取=,即得,5(6)Bn(f;aα)-f(α)/-wA所以有lim Bn(f;a)=f(α)n→α在[0,1]上一致成立，即，这就说明Bn（f;α在[0,1]上一致收敛于f（α).证毕.注（6)式不仅证明连续函数的Bernstein多项式一致收敛到这个连续函数，也给出了收敛的速度.它表明这个速度一般不超过w（n-1/2）.这个速度是很慢的返回全屏关闭退出6/13

Bernstein õ‘ª Bernstein %C½n Weierestrass %C½n /5Ÿ Bezier ­‚  δ = √ 1 n , =, |Bn(f; x) − f(x)| 6 5 4 ω  1 √ n  . (6) ¤±k lim n→∞ Bn(f; x) = f(x) 3 [0, 1] þ¤á, =, ùÒ`² Bn(f; x) 3 [0, 1] þÂñu f(x). y . 5 (6) ªØ=y²ëY¼ê Bernstein õ‘ªÂñù‡ëY¼ ê, ‰Ñ Âñ„Ý. §L²ù‡„݄؇L ω(n −1/2 ). ù‡„Ý´ éú. 6/13 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

保形性质Bezier曲线Bernstein多项式Bernstein逼近定理Weierestrass逼近定理设f（ac）是有限闭区间[a,b]上的连续函数，令g(α) =f(a+ a(b-a)), a E [0,1]则g(α)在[0,1]连续，因此Bn(gaα）在[0,1]上一致收敛于g(ac)，从而可证明Bn(g;-α)在[a,b] 上一致收敛于f(ac).即,有定理2（Weierestrass）有限闭区间上的连续函数可用多项式一致逼近Bernstein定理是Weierestrass定理的一个构造性证明，但Bernstein多项式收敛于连续函数的速度一般比较慢，用来作为连续函数的近似值不合适，这也是为什么在很长一段时间内，Bernstein多项式没有什么应用的原因不过Bernstein多项式有很好的保形性质返回全屏关闭退出+7/13

Bernstein õ‘ª Bernstein %C½n Weierestrass %C½n /5Ÿ Bezier ­‚  f(x) ´k4«m [a, b] þëY¼ê, - g(x) = f(a + x(b − a)), x ∈ [0, 1]. K g(x) 3 [0, 1] ëY, Ïd Bn(g; x) 3 [0, 1] þÂñu g(x), l Œy² Bn(g; x−a b−a ) 3 [a, b] þÂñu f(x). =, k ½n 2 (Weierestrass) k4«mþëY¼êŒ^õ‘ª%C. Bernstein ½n´ Weierestrass ½n‡E5y², Bernstein õ‘ª ÂñuëY¼ê„Ý„'ú, ^5ŠëY¼êCqŠØÜ·. ù ´Ÿo3éãžmS, Bernstein õ‘ªvkŸoA^Ï. ØL Bernstein õ‘ªkéÐ/5Ÿ. 7/13 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

保形性质Bezier曲线Bernstein多项式Bernstein逼近定理Weierestrass逼近定理定理3(Bernstein多项式的保形性质）设f(a）是定义在[0,1]上的函数则有（端点插值）1° Bn(f;0) = f(0), Bn(f;1) = f(1)（保号）2°若f在[0,1]上非负，则Bn(f;α)也在[0,1]上非负;3°若f在[0,1] 上单调递增,则 Bn(f;α)也在[0,1] 上单调递增;(保单调)(保凸）4°若f是[0,1]上凸函数,则Bn(f;α)也是[0,1]上凸函数区间[0,1]的等分点：，（i=0,1,·.，n）称为Bernstein多项式的节点节点上的值f；=f（）称为节点值.并记2i+1Af(0<i≤n-1)7nni+2-2+12fA"f+f(0≤i≤n-2)mn分别称为节点值的一阶差分和二阶差分返回全屏关闭退出8/13

Bernstein õ‘ª Bernstein %C½n Weierestrass %C½n /5Ÿ Bezier ­‚ ½n 3 (Bernstein õ‘ª/5Ÿ)  f(x) ´½Â3 [0, 1] þ¼ê. Kk 1 ◦ Bn(f; 0) = f(0), Bn(f; 1) = f(1); (à:Š) 2 ◦ e f 3 [0, 1] þšK, K Bn(f; x) 3 [0, 1] þšK; (Ò) 3 ◦ e f 3 [0, 1] þüN4O, K Bn(f; x) 3 [0, 1] þüN4O;(üN) 4 ◦ e f ´ [0, 1] þà¼ê, K Bn(f; x) ´ [0, 1] þà¼ê. (à) «m [0, 1] ©:: i n , (i = 0, 1, · · · , n) ¡ Bernstein õ‘ª!:. !:þŠ fi = f( i n ) ¡!:Š. ¿P ∆f  i n  = f  i + 1 n  − f  i n  , (0 6 i 6 n − 1) ∆2f  i n  = f  i + 2 n  − 2f  i + 1 n  + f  i n  , (0 6 i 6 n − 2). ©O¡!:Š©Ú©. 8/13 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

保形性质Bezier曲线Bernstein多项式Bernstein逼近定理Weierestrass逼近定理我们有-1T2.(Bn(f; a)"= nBnAfani=0n-2^f(Bn(f;a)" = n(n - 1) Bnmni=0由此可以证明如下定理定理 4 若 f E Ci[0,1], 则 (Bn(f;α))在[0,1] 上一致收敛于 f'(α)。若 f EC2[0,1],则(Bn(f;α))"在[0,1] 上一致收敛于f"(α).设f是[0,1]上的函数.记2f*:(i= 0,1, ...,n+ 1),fiti-n+1n+这里 f-1 = fn+1 = 0. 则有定理5（升阶公式）Bn(f; α) = Bn+1(f*; a).I-I返回全屏关闭退出9/13

Bernstein õ‘ª Bernstein %C½n Weierestrass %C½n /5Ÿ Bezier ­‚ ·‚k (Bn(f; x))0 = n X n−1 i=0 ∆f  i n  B n−1 i (x), (Bn(f; x))00 = n(n − 1)X n−2 i=0 ∆2f  i n  B n−2 i (x) ddŒ±y²Xe½n: ½n 4 e f ∈ C1 [0, 1], K (Bn(f; x))0 3 [0, 1] þÂñu f 0 (x). e f ∈ C2 [0, 1], K (Bn(f; x))00 3 [0, 1] þÂñu f 00(x).  f ´ [0, 1] þ¼ê. P f ∗ i = i n + 1 fi−1 +  1 − i n + 1 fi, (i = 0, 1, · · · , n + 1), ùp f−1 = fn+1 = 0. Kk ½n 5 (,úª) Bn(f; x) = Bn+1(f ∗ ; x). 9/13 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

保形性质Bernstein多项式Bernstein逼近定理Weierestrass逼近定理Bezier曲线定理6设f（α）是[0,1]上的凸函数，那么有Bn(f;a) ≥ Bn+1(f;,a), α E [0,1], (n = 1, 2, ·)定理7（Ziegler，1968）设f(α）是[0,1]上的连续函数。若Bn(f;α) ≥ Bn+1(f;,α), α E [0,1], (n = 1, 2, ..),则f(α）是[0,1]上的凸函数定理8（Kelisky-Rivlin定理）设f(α）是[0,1]上的连续函数.对于算子迭代 (Bn)(m) := Bn(B(m-1), 有lim (Bn)(m)(f; a) = f(0) + (f(1) - f(0))a.m-→+8此定理称为Bernstein算子的磨光性质返回全屏关闭退出I-10/13

Bernstein õ‘ª Bernstein %C½n Weierestrass %C½n /5Ÿ Bezier ­‚ ½n 6  f(x) ´ [0, 1] þà¼ê, @ok Bn(f; x) > Bn+1(f; , x), x ∈ [0, 1], (n = 1, 2, · · ·). ½n 7 (Ziegler, 1968)  f(x) ´ [0, 1] þëY¼ê. e Bn(f; x) > Bn+1(f; , x), x ∈ [0, 1], (n = 1, 2, · · ·), K f(x) ´ [0, 1] þà¼ê. ½n 8 (Kelisky-Rivlin ½n)  f(x) ´ [0, 1] þëY¼ê. éuŽfS (Bn) (m) := Bn(B(m−1) n ), k lim m→+∞ (Bn) (m) (f; x) = f(0) + (f(1) − f(0))x. d½n¡ Bernstein Žf15Ÿ. 10/13 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ