《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第11章 曲线积分和曲面积分（5/7）

Gauss公式Stokes公式微分形式的积分Gauss定理和Stokes定理$11.5Gauss 定理11.5.1Green公式给出了平面中的向量场F=（P,Q)沿环路L的环量bPda+QdyJL与函数-在L内部D的二重积分之间的关系，即rauapQQPda + Qdy =1dcdy.aay这个公式描述了函数的局部性质与整体性质之间的联系，说明了在一定的条件下局部形态可以决定整体形态那么有向封闭曲面上的第二型曲面积分与曲面所围成的三维闭区域上的三重积分有没有联系呢？返回全屏关闭退出1141/30

Gauss úª Stokes úª ‡©/ªÈ© §11.5 Gauss ½nÚ Stokes ½n 11.5.1 Gauss ½n Green úª‰Ñ ²¡¥•þ| F~ = (P, Q) ÷‚´ L ‚þ I L P dx + Qdy †¼ê ∂Q ∂x − ∂P ∂y 3 L SÜ D ­È©ƒm'X, = I L P dx + Qdy = ZZ D  ∂Q ∂x − ∂P ∂y  dxdy. ù‡úª£ã ¼êÛÜ5Ÿ†N5ŸƒméX, `² 3½^ ‡eÛÜ/Œ±û½N/. @ok•µ4­¡þ1.­¡È©†­¡¤Œ¤n‘4«þ n­È©kvkéXQ? 1/30 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Gauss公式Stokes公式微分形式的积分nsZnA为便于观察先从简单的封闭曲面考察. 设 V = [0,a] × [0,b] × [0,c] 是R3中的长方体,S=aV是一个封闭nn曲面，它有六个侧面S1，···，S6，法向分别为 πi,·.·,n6.设 F=(P,Q,R)on是V上的光滑向量场.则F.ds:F.nidsP(a, y, z)dydz.S1JSi0<y≤b0≤z≤cF.ds:F.nzdS :P(0, y, z)dydz.S2S20<y<b0≤z≤c将上面两个式子相加，可得返回全屏关闭退出I4-I2/30

Gauss úª Stokes úª ‡©/ªÈ© Bu* kl{üµ4­¡  .  V = [0, a] × [0, b] × [0, c] ´ R3 ¥N, S = ∂V ´‡µ4 ­¡, §k8‡ý¡ S1, · · · , S6, {• ©O ~n1, · · · , ~n6.  F~ = (P, Q, R) ´ V þ1w•þ|, K x y z O n n n n n n 1 2 3 4 5 6 a b c ZZ S1 F~ · dS~ = ZZ S1 F~ · ~n1dS = ZZ 06y6b 06z6c P (a, y, z)dydz. ZZ S2 F~ · dS~ = ZZ S2 F~ · ~n2dS = − ZZ 06y6b 06z6c P (0, y, z)dydz. òþ¡ü‡ªfƒ\, Œ 2/30 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Gauss公式Stokes公式微分形式的积分F.ds(P(a, y, z) - P(0, y, z)dydzJSi+S20<y<b0≤zcaPPdydzdadydz.daaaa0<y≤b0≤z≤c同理有aQF.ds小dcdydzayJS3+S4aRF.ds1dadydz.0zJS5+S6于是aRaPaQ1F.ds =(11.1)drdydz.aaay0zJav返回全屏关闭退出II-3/30

Gauss úª Stokes úª ‡©/ªÈ© ZZ S1+S2 F~ · dS~ = ZZ 06y6b 06z6c ￾ P (a, y, z) − P (0, y, z)
dydz = ZZ 06y6b 06z6c Z a 0 ∂P ∂x dx dydz = ZZZ V ∂P ∂x dxdydz. Ónk ZZ S3+S4 F~ · dS~ = ZZZ V ∂Q ∂y dxdydz ZZ S5+S6 F~ · dS~ = ZZZ V ∂R ∂z dxdydz. u´ ZZ ∂V F~ · dS~ = ZZZ V  ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂R ∂z  dxdydz. (11.1) 3/30 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Gauss公式Stokes公式微分形式的积分以下我们将上面得到的公式推广到较为一般的区域上，为此考虑三种类型的区域A 型区域 : V =((c, y,z) / αi(y,z) ≤ α ≤ a2(y, z), (y, z) E D)B 型区域 : V =[(α,y, z) / yi(z,α) ≤ y <y2(z,α), (z,α) ED)C 型区域 : V =(c, y,z) / zi(c,y) ≤ z≤ z2(α,y), (α, y) E D)ZZZz = z2(α,y)z = zi(c, y)A型区域B型区域C 型区域返回全屏关闭退出?4/30

Gauss úª Stokes úª ‡©/ªÈ© ±e·‚òþ¡úªí2„«þ. dÄn«a .«: A .« : V = {(x, y, z)| x1(y, z) 6 x 6 x2(y, z), (y, z) ∈ D} B .« : V = {(x, y, z)| y1(z, x) 6 y 6 y2(z, x), (z, x) ∈ D} C .« : V = {(x, y, z)| z1(x, y) 6 z 6 z2(x, y), (x, y) ∈ D} x y z A .« x y z B .« x y z D z = z1(x, y) z = z2(x, y) C .« 4/30 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Gauss公式Stokes公式微分形式的积分设 V 是一个C型区域, R(c,,z) E Ci(V). 设 Si 是下底面 z = zi(α,y),S2是上底面z=zi(α,y).因为V侧面的法向π与z轴垂直，所以Rk.ndS =Rda Λ dy =Rda ΛdyRdc ^ dy +JavJavJJSiJS2R(c, y, zi(a, y)dadyR(c, y, z2(c, y))dady -DJD/(R(a, y, z2(a, y) - R(a, y, zi(c, y))dadyTr2(r,) aR,OR-dz) dedy =dadydzJz(a,9) 0za2JJvaz当V是由有限个C型区域拼接而成的区域时，在相邻区域的公共面上两个区域边界的法向正好相反，因此，在衔接面上的积分抵消，于是也有TTOR(Rda ^ dy =ordadydz.vzJav关闭退出返回全屏二A-5/30

Gauss úª Stokes úª ‡©/ªÈ©  V ´‡ C .«, R(x, y, z) ∈ C1 (V ).  S1 ´e.¡ z = z1(x, y), S2 ´þ.¡ z = z1(x, y). Ϗ V ý¡{• ~n † z ¶R†, ¤± ZZ ∂V Rdx ∧ dy = ZZ ∂V R~k · ~ndS = ZZ S2 Rdx ∧ dy + ZZ S1 Rdx ∧ dy = ZZ D R(x, y, z2(x, y))dxdy − ZZ D R(x, y, z1(x, y))dxdy = ZZ D ￾ R(x, y, z2(x, y)) − R(x, y, z1(x, y))
dxdy = ZZ D Z z2(x,y) z1(x,y) ∂R ∂z dz! dxdy = ZZZ V ∂R ∂z dxdydz.  V ´dk‡ C .«© ¤«ž, 3ƒ«ú
¡þ, ü‡«>.{•Ѓ‡, Ïd, 3q¡þÈ©-ž. u´k ZZ ∂V Rdx ∧ dy = ZZZ V ∂R ∂z dxdydz. 5/30 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Gauss公式Stokes公式微分形式的积分同理，当V是由有限个A型区域拼接而成的区域时，有apPdyΛdz=ddydzaaJav当V是由有限个B型区域拼接而成的区域时，有QQ[, Qdz A da = dadydz.dyJy这样我们就证明了当V分别可分成有限个A型，B型.C型区域的拼接时（11.1）仍成立.更一般地，有定理1（Gauss公式）设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成S的方向指向外侧.若函数P,Q,R在V上有连续的一阶偏导数，则有apaRaQPdy ^dz+QdzAda + Rda Ady =ddydz.ayac0zov(11.2)返回全屏关闭退出6/30

Gauss úª Stokes úª ‡©/ªÈ© Ón,  V ´dk‡ A .«© ¤«ž, k ZZ ∂V P dy ∧ dz = ZZZ V ∂P ∂x dxdydz.  V ´dk‡ B .«© ¤«ž, k ZZ ∂V Qdz ∧ dx = ZZZ V ∂Q ∂y dxdydz. ù·‚Òy²  V ©OŒ©¤k‡ A ., B ., C .«© ž, (11.1) E¤á. „/, k ½n 1 (Gauss úª) m« V d©¡1wVýµ4­¡ S Œ¤, S •• ý. e¼ê P, Q, R 3 V þkëY ê, Kk ZZ ∂V P dy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy = ZZZ V  ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂R ∂z  dxdydz. (11.2) 6/30 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Gauss公式Stokes公式微分形式的积分例1计算Iy(α- z)dydz+adzda +(y+ z)dady,其中S是长方体 V=[0,a] ×[0,b] ×[0,c] 的外表侧面解因为y(α一z)，a，y?+az在空间中是Cl的，所以由Gauss公式得T(y + a)drdydzOydy+bcada二ac00bca?acb2X22abc(a + b)2返回全屏关闭退出7/30

Gauss úª Stokes úª ‡©/ªÈ© ~ 1 OŽ I = ZZ S y(x − z)dydz + x 2dzdx + (y 2 + xz)dxdy, Ù¥ S ´N V = [0, a] × [0, b] × [0, c]  Lý¡. ) Ϗ y(x − z), x2 , y2 + xz 3m¥´ C1 , ¤±d Gauss úª I = ZZZ V (y + x)dxdydz = ac Z b 0 ydy + bc Z a 0 xdx = acb2 2 + bca2 2 = abc(a + b) 2 . 7/30 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Gauss公式Stokes公式微分形式的积分例2计算A：a dydz+ydzda +zdcdy,其中S = [(α, ,z) : α,y,z ≥ 0, a +y+z =1), 法向与 (1,1,1) 同向解设V是由S,Si,S2,S3所围成的四N面体，aV取外法向这里S1 = {(α, y, z) : a = 0, y ≥ 0, z ≥ 0, y + z ≤ 1)S2 = [(c, y, z) : ≥ 0, y = 0, z ≥ 0, a + z ≤ 1)S3 = [(c, y, z) : a ≥ 0, y ≥ 0, z = 0, a +y≤ 1)由 Gauss 公式得1a dydz + y dzdc + z dady :3dadyd223Jav1J/+/L1. + dydz + y dzdc + z ddy =2JS1/ = 0, // = 0,=0.A2S3II返回全屏关闭退出-8/30

Gauss úª Stokes úª ‡©/ªÈ© ~ 2 OŽ A = ZZ S x dydz + y dzdx + z dxdy, Ù¥ S = {(x, y, z) : x, y, z > 0, x + y + z = 1}, {•† (1, 1, 1) ӕ. )  V ´d S, S1, S2, S3 ¤Œ¤o ¡N, ∂V  {•, ùp S1 = {(x, y, z) : x = 0, y > 0, z > 0, y + z 6 1} S2 = {(x, y, z) : x > 0, y = 0, z > 0, x + z 6 1} S3 = {(x, y, z) : x > 0, y > 0, z = 0, x + y 6 1} x y z S S S 1 2 3 d Gauss úª ZZ ∂V x dydz + y dzdx + z dxdy = ZZZ V 3dxdydz = 3 · 1 3 · 1 2 = 1 2 . ∴ ZZ S x dydz + y dzdx + z dxdy = 1 2 − ZZ S1 + ZZ S2 + ZZ S3  . ∵ ZZ S1 = 0, ZZ S2 = 0, ZZ S3 = 0, ∴ A = 1 2 . 8/30 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Gauss公式Stokes公式微分形式的积分例3计算A：y?dydz + yz? dzd + z? ddy,其中S 是球体 V ={(c,y,z): α2+y2 ＋z≤ z} 的表面, 方向朝外解V的参数方程是 = r cos sino, y = r sin g sino, z =+ r cos , (r, 0, p) E D.2其中 D: 0≤r ≤,0≤≤元,0 ≤≤ 2元. 由 Gauss 公式,A(y* + z* + r")dadydz1sin?(r2 + r cos + r? cos?0)r? sin drdodp4D1=2元+ r cos )r2 sin drde40<r≤0≤0≤元111元=2元2255231543I返回全屏关闭退出9/30

Gauss úª Stokes úª ‡©/ªÈ© ~ 3 OŽ A = ZZ S xy2 dydz + yz2 dzdx + zx2 dxdy, Ù¥ S ´¥N V = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 6 z} L¡, •Š . ) V ëꐧ´ x = r cos ϕ sin θ, y = r sin ϕ sin θ, z = 1 2 + r cos θ,(r, θ, ϕ) ∈ D, Ù¥ D : 0 6 r 6 1 2 , 0 6 θ 6 π, 0 6 ϕ 6 2π. d Gauss úª, A = ZZZ V (y 2 + z 2 + x 2 )dxdydz = ZZZ D (r 2 sin2 θ + 1 4 + r cos θ + r 2 cos2 θ)r 2 sin θ drdθdϕ = 2π ZZ06r6 1 2 06θ6π (r 2 + 1 4 + r cos θ)r 2 sin θdrdθ = 2π  1 5 · 1 2 5 · 2 + 1 4 · 1 3 · 1 2 3 · 2  = π 15 . 9/30 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Gauss公式Stokes公式微分形式的积分例4计算A(y2+ z) dydz + (z2 + α) dzda + (α2 +y") ddy,S其中S是上半球面(c,y,z)α2+y+z=α2,z≥},方向朝上解令D是S在cy平面上的投影，即，?+y?≤aD的方向朝下，S与D围成半球体V.由Gauss公式(y? + z) dydz + (z? + a) dzda + (r2 + y") dedy =Odadydz=0,S+D(y+z) dydz+ (z"+")dzdac + (α+y")dacdyA-DZ(α2+y")dadyJ2+y?<a2Sr2.rdrdp0<r≤a0≤≤2元Ta412元a24返回退出全屏关闭10/30

Gauss úª Stokes úª ‡©/ªÈ© ~ 4 OŽ A = ZZ S (y 2 + z 2 ) dydz + (z 2 + x 2 ) dzdx + (x 2 + y 2 ) dxdy, Ù¥ S ´þŒ¥¡ {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , z > 0}, •Šþ. ) - D ´ S 3 xy ²¡þÝK, =, x 2 + y 2 6 a 2 , D •Še, S † D Œ¤Œ¥N V. d Gauss úª ZZ S+D (y 2 + z 2 ) dydz + (z 2 + x 2 ) dzdx + (x 2 + y 2 ) dxdy = ZZZ V 0dxdydz = 0, ∴ A = ZZ −D (y 2 + z 2 ) dydz + (z 2 + x 2 ) dzdx + (x 2 + y 2 ) dxdy = ZZ x2+y26a2 (x 2 + y 2 )dxdy = ZZ 06r6a 06ϕ62π r 2 · rdrdϕ = 2π · 1 4 a 4 = πa4 2 . S D x y z 10/30 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ