《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第13章 广义积分和含参变量积分（3/5）

Abel判别法连续性交换积分号Cauchy准则Dirichlet判别法积分号下求导913.3含参变量广义积分13.3.1一致收敛性及其判别法这一节我们进一步考虑含参变量的广义积分，为确定起见，只讨论具有无穷上限的积分.其结果可以类推到具有无穷下限及无界函数的积分（即瑕积分）假设函数f(α,u)在 I=[a,+oo)×[α,β] 上连续,若对任意给定的uE[α,β],广义积分+αf(c, u)dac都收敛，称为含参变量u的广义积分.这种积分确定了区间[α,β]上的一个函数f(c, u)da,u E [α, β] → (u) =我们的目的就是要研究这类函数的连续性、可微性和可积性返回全屏关闭退出II1/31

Cauchy OK Dirichlet O{ Abel O{ ëY5 †È©Ò È©Òe¦ §13.3 ¹ëCþ2ÂÈ© 13.3.1 Âñ59ÙO{ ù!·‚?ÚĹëCþ2ÂÈ©. (½å„, ?Øäk áþÈ©. Ù(JŒ±aíäkáe9Ã.¼êÈ©£=× È©¤. b¼ê f(x, u) 3 I = [a, +∞) × [α, β] þëY, eé?¿‰½ u ∈ [α, β], 2ÂÈ© Z +∞ a f(x, u)dx ÑÂñ, ¡¹ëCþ u 2ÂÈ©. ù«È©(½ «m [α, β] þ‡ ¼ê u ∈ [α, β] 7−→ ϕ(u) = Z +∞ a f(x, u)dx, ·‚8Ò´‡ïÄùa¼êëY5!Œ‡5ڌÈ5. 1/31 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

连续性Cauchy准则Dirichlet判别法Abel判别法交换积分号积分号下求导定义 1 如果存在函数 (u)使得对任意给定的正数 ε,总能找到 X(>a)当b>X时，不等式f(c, u)dc - p(u)|α),当 b>X 时,不等式f(α, u)dc < e对任意 u E [α,β] 成立,则称广义积分 f+f(ac,u)dc 在[α,β] 上一致收敛，这里的[α，β]还可以换成开区间或无穷区间返回全屏关闭退出I42/31

Cauchy OK Dirichlet O{ Abel O{ ëY5 †È©Ò È©Òe¦ ½Â 1 XJ3¼ê ϕ(u) ¦é?¿‰½ê ε, oUé X (> a),  b > X ž, ت     Z b a f(x, u)dx − ϕ(u)     a),  b > X ž, ت     Z +∞ b f(x, u)dx     < ε é?¿ u ∈ [α, β] ¤á, K¡2ÂÈ© R +∞ a f(x, u)dx 3 [α, β] þ ñ. ùp [α, β] „Œ±†¤m«m½Ã¡«m. 2/31 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Abel判别法连续性交换积分号Cauchy准则Dirichlet判别法积分号下求导根据前定理不难证明下列结果定理2无穷区间上含参变量的广义积分+f(c,u)dc是一致收敛的充分必要条件是lim β(b) = 0b-→+α其中+B(b) = supAue[a,p] /Jb+81例1无穷积分da 在[0,+)上一致收敛u+2这是因为to→ 0, (b → +8)dadau+222bh返回全屏关闭退出3/31

Cauchy OK Dirichlet O{ Abel O{ ëY5 †È©Ò È©Òe¦ Šâc½nØJy²e(J. ½n 2 á«mþ¹ëCþ2ÂÈ© R +∞ a f(x, u)dx ´Âñ¿ ©7‡^‡´ lim b→+∞ β(b) = 0 Ù¥ β(b) = sup u∈[α,β]     Z +∞ b f(x, u)dx     ~ 1 áȩ Z +∞ 1 1 u + x2 dx 3 [0, +∞) þÂñ. ù´Ï     Z +∞ b 1 u + x2 dx     6 Z +∞ b 1 x2 dx = 1 b → 0, (b → +∞). 3/31 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

连续性Cauchy准则Dirichlet判别法Abel判别法交换积分号积分号下求导定理3（Cauchy 准则）积分f+f(α,u)da 在区间[α,β] 上一致收敛的充分必要条件是：对任意给定的正数ε.总存在一个仅与ε有关的数B.使得当b1,bz>B,就有不等式rbf(α, u)d8Jby对区间 [α,β] 上的一切 u 值成立定理4(Weierstrass判别法）设 f(ac,u)在区域I=[a,+oo)×[α,β] 上连续如果存在一个在[a，十）上广义可积的函数p(α)，使得对于一切充分大的以及[α,β]上的任意u都有If(c, u)I < p(α),则积分f+f(c,u)da在[α,β] 上一致收敛.p(α)称为它的控制函数返回全屏关闭退出4/31

Cauchy OK Dirichlet O{ Abel O{ ëY5 †È©Ò È©Òe¦ ½n 3 (Cauchy OK) È© R +∞ a f(x, u)dx 3«m [α, β] þÂñ ¿©7‡^‡´: é?¿‰½ê ε, o3‡=† ε k'ê B, ¦  b1, b2 > B, Òkت     Z b2 b1 f(x, u)dx     < ε é«m [α, β] þƒ u Š¤á. ½n 4 (WeierstrassO{)  f(x, u) 3« I = [a, +∞) × [α, β] þëY. XJ3‡3 [a, +∞) þ2ŒÈ¼ê p(x), ¦éuƒ¿©Œ x ±9 [α, β] þ?¿ u Ñk |f(x, u)| 6 p(x), KÈ© R +∞ a f(x, u)dx 3 [α, β] þÂñ. p(x) ¡§››¼ê. 4/31 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Cauchy准则Dirichlet判别法Abel判别法连续性交换积分号积分号下求导-8sinuc例2研究积分da在-8<u<+8上的一致收敛性α211解对任意的u,当≥1时,有1sinua22aα2+8da收敛，故由比较判别法知原积分关于u在实轴上一致收敛而积分a2返回全屏关闭退出5/31

Cauchy OK Dirichlet O{ Abel O{ ëY5 †È©Ò È©Òe¦ ~ 2 ïÄÈ© Z +∞ 1 sin ux x2 dx 3 −∞ 1 ž, k     sin ux x2     6 1 x2 , È© Z +∞ 1 dx x2 Âñ, d'O{È©'u u 3¢¶þÂñ. 5/31 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Abel判别法连续性交换积分号Cauchy准则Dirichlet判别法积分号下求导asinBa例3证明当α>0时，积分dr在β≥β>0上一致收Q2+2敛证明由分部积分法，可得+8+αr+oasinBaacosBa1acosBrdda:XQ2+α2βJbQ2+2β(α2 + α2)Jbb+821bcosbQcosBada十βJbβ(α2 + b2)(α2+2)2由1bcosbbBoβ(Q2 + 62)及cosBα2-211Bo2βo(α2+2)β (α2 +α2)2即知J+αda在β≥β>0上一致收敛Q2+2I返回全屏关闭退出6/31

Cauchy OK Dirichlet O{ Abel O{ ëY5 †È©Ò È©Òe¦ ~ 3 y² α > 0 ž, È© Z +∞ 0 x sin βx α2 + x2 dx 3 β > β0 > 0 þ ñ. y² d©ÜÈ©{, Œ Z +∞ b x sin βx α2 + x2 dx = − x cos βx β(α2 + x2)     +∞ b + 1 β Z +∞ b cos βxd x α2 + x2 = b cos bβ β(α2 + b 2) + 1 β Z +∞ b cos βx α2 − x 2 (α2 + x2) 2 dx, d     b cos bβ β(α2 + b 2)     6 1 bβ0 9     cos βx β α2 − x 2 (α2 + x2) 2     6 1 β0(α2 + x2) β0 > 0 þÂñ. 6/31 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Abel判别法连续性交换积分号Cauchy准则Dirichlet判别法积分号下求导+8sinc-uT例4设00,bP，+8-bu-bu+8ucosreeeddrPEpbpap+1ap+1Jbh返回全屏关闭退出-中7/31

Cauchy OK Dirichlet O{ Abel O{ ëY5 †È©Ò È©Òe¦ ~ 4  0 0 Âñ. y² ?‰ 0 6 u 0,     Z +∞ b p e −ux cos x xp+1 dx     6 Z +∞ b p e −bu xp+1 dx 6 e −bu b p . 7/31 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Cauchy准则Dirichlet判别法Abel判别法连续性交换积分号积分号下求导故-bu+α3sin aeuT3dabpbp.cp6所以,任给> 0, 当 b 充分大时,对任意的 0 ≤ u< +o,都有sin ada<e.-p+8sin aur因此，积分dc对u≥o一致收敛eapJo返回全屏关闭退出I8/31

Cauchy OK Dirichlet O{ Abel O{ ëY5 †È©Ò È©Òe¦      Z +∞ b e −ux sin x xp dx     6 3 e −bu b p 6 3 b p . ¤±, ?‰ ε > 0,  b ¿©Œž, é?¿ 0 6 u 0 Âñ. 8/31 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Cauchy准则Dirichlet判别法Abel判别法连续性交换积分号积分号下求导ue-uada 在≤u 0,P所以+αlim β(b) =ue-urdalimsup=1±0.b→+αb-→+oou≥01故所给积分不一致收敛返回全屏关闭退出I49/31

Cauchy OK Dirichlet O{ Abel O{ ëY5 †È©Ò È©Òe¦ ~ 5 y²È© Z +∞ a ue−uxdx 3 0 6 u 0 Âñ. Ϗ     Z +∞ b ue−uxdx     =    0, u = 0; e −ub, u > 0, ¤± lim b→+∞ β(b) = lim b→+∞ sup u>0     Z +∞ b ue−uxdx     = 1 6= 0, ¤‰È©ØÂñ. 9/31 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Dirichlet判别法Abel判别法连续性交换积分号Cauchy准则积分号下求导fαsinau例6证明积分da 在00u>0Jb+sinadasup二cu>0Jbu+8sindc一a0元+ 0 (b →+8),2Xsinru所以d在0< u<+oo上不一致收敛c0返回退出全屏关闭?10/31

Cauchy OK Dirichlet O{ Abel O{ ëY5 †È©Ò È©Òe¦ ~ 6 y²È© Z +∞ 0 sin xu x dx 3 0 0 β(b) = sup u>0     Z +∞ b sin xu x dx     = sup u>0     Z +∞ bu sin x x dx     >     Z +∞ 0 sin x x dx     = π 2 6→ 0 (b → +∞), ¤± Z +∞ 0 sin xu x dx 3 0 < u < +∞ þØÂñ. 10/31 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ