《高等数学》课程教学课件（教案讲义）第二章 极限与连续（函数的极限）

第二章 极限与连续一一函数的极限

第二章 极限与连续 ―—函数的极限

海因定理函数极限的定义（1）问题：回顾：数列(a,）的极限回答的是，当自变量n沿x轴正向无限远离原点时，其一般项a，=f(n）是否有统一的趋势而lima,=A 指的是：对于数A 的任何一个邻域U(A,)，n-o0总能找到自变量的一个取值N，当自变量大于这个值时a,=f(n)全都落在A的邻域U(A,)中

函数极限的定义 海因定理 （1）问题： 回顾：数列 的极限回答的是， 而 指的是： 是否有统一的趋势 ？ 其一般项 总能找到自变量的一个取值 ， 全都落在 的邻域 中。 当自变量 沿 轴正向无限远离 原点时， 对于数 的任何一个邻域 ， 当自变量大于这个值时

函数的极限和数列的极限应该具有一致的内涵：当自变量沿x轴正向无限远离原点时，函数值f(x）是否有统一的趋势。而limf(x)=A与lima,=A 也具有相同的含义，X>+→即对于数A的任何一个邻域U(A,ε)，总能找到自变量的一个取值X，当自变量大于这个值时，函数值f(x）全都落在A的邻域U(A,ε）中

函数的极限和数列的极限应该具有一致的内涵： 当自变量 沿 轴正向无限远离原点时， 而 与 也具有相同的含义， 即对于数 的任何一个邻域 ， 当自变量大于这个值时，函数值 全都落在 的邻域 中。 函数值 是否有统一的趋势。 总能找到自变量的一个取值

(1) lim f(x)= A 的数学定义:X>+oVε>0,3XeR,Vx:x>X 时,If(x)-AK8。若考虑自变量沿轴负向无限远离原点时，函数值f（x）的趋势，就有(2) lim f(x)= A 的数学定义：Vε>0,3XeR,Vx:x<X 时,Lf(x)-A<8

（ 1） 的数学定义： ， ， 时， 。 若考虑自变量沿 轴负向无限远离原点时，函数值 的趋势， （2） 的数学定义： ， ， 时， 。 就有

若考虑自变量无限远离原点时，函数值f（x）的趋势，就有(3) limf(x)=A 的数学定义：x>V>0,X>0,Vx:x>X时, Lf(x)-A<。直观上易见，也不难证明：lim f(x)=A lim f(x)= A 且 lim f(x)= A

若考虑 自变量无限远离原点时，函数值 的趋势， （3） 的数学定义： ， ， 时， 。 直观上易见，也不难证明 ： 且 。 就有

Vx2+1例用定义验证lim1x>801解对于>0,XVx: x<X时,V28Vx+111C+分析：x。在x<0时,Ix1 IVx?+1-xlx111111xIx1 1Vx2+1-x]2x2<Sx/x2 +1-x/x2 +1-1所以limx00

例 用定义验证 。 分析： 。 在 时， 解 对于 ， ， ： 时， ， 所以

x?+x例用定义验证limx→0 x2 -2解对于>0,X=maxVx:x>X 时,x?+xtIx+2|/x/+2分析：x2-2 ，[x>2时,2-2x2-2[x2-2]2x2+x41x+2|2.2|x2时,Sx2-2[x2 -2]/x /x2x?+x所以lim>0 x2 - 2

例 用定义验证 。 分析： ， 在 时， 解 对于 ， ， ： 时， ， 所以 。 时，

V2x+Vx -Vx=0例用定义验证lim1+ xx>+00解对于>0,X=maxVx:x>X 时,V2x+Vx-Vx[x+ /x]分析：(1+x)(V2x+x+V~。在x>1时,1+x[x+Vx]2V2x+Vx -Vx2x+00

例 用定义验证 。 分析： 。在 时， 解 对于 ， ， ： 时， ， 所以

(4)limf(x)=A 的数学定义：x-→>xoV8>0,38>0 ,Vx:xeU(x,0)时, Lf(x)-A<8

（ 4 ） 的数学定义： ， ， 时，

两点注释：(a)“3U(xo,S),Vx:xEU(xo,)”通常写作:38>0,Vx:0<x-x.kS。(b）0<x-xS（即排除x=x。）的合理性：x,x±0当x→0时，函数y与=x具有相同的趋势。1, x= 0

两点注释： ， （b） （即排除 ）的合理性 ： ， 。 （a）“ ， ”通常写作： 当 时，函数 与 具有相同的趋势