《高等数学》课程教学课件（教案讲义）第一章 预备知识（函数）

第一章预备知识一一函数

第一章 预备知识 ―—函数

函数的定义·函数：设D是非空数集，若存在对应规则f，依此规则，对VxED，存在唯一的VER与之对应，则称对应规则f是函数VxED，与之对应的，称为是x的像，记为y=f(x）。数集D称为函数f的定义域，记为D，=D；数集(y:=f(x),xD称为函数f的值域，记为R

函数的定义 • 函数： 设 是非空数集，若存在对应规则 ，依此规则，对 ， 存在唯一的 与之对应，则称对应规则 是函数。 数集 称为函数 的定义域，记为 ； 数集 称为函数 的值域，记为 。 ，与之对应的 称为是 的像，记为

函数与自变量、应变量的记号无关，仅与自变量取值范围以及对应规则有关，所以y=sinx，xE[0,2元]与t=sins，SE[0,2元]是同一函数，即相等

函数与自变量、应变量的记号无关，仅与自变量取值范围以及 对应规则有关，所以 ， 与 ， 是同一函数，即相等

·函数举例：（1）取整函数：当xE[n,n+1）时，[x]=n，其中nZ。-1, x01x是有理数(3）迪利克雷函数：D(x)0x是无理数

• 函数举例： （1）取整函数： （2）符号函数： 当 时， ，其中 。 。 （3）迪利克雷函数：

·单射函数：若Vxi,x,ED,，当x≠x,时,f(x)±f(xz），则称f是单射函数。当f是单射函数时，对每个yERf，有且仅有一个xED，与之对应，所以对应规则D，→R，实际上是双向的，由此可定义f的反函数f-I:R,→Df,yER,→xEDf!VyER,，存在唯一xED,使得y=f(x)

• 单射函数： ： ， 当 是单射函数时 ，对每个 ，有且仅有一个 与之对应， 所以对应规则 实际上是双向的，由此可定义 的反函数 若 ，当 时， ，则称 是单射函数。 ，存在唯一 使得 。

例严格单调函数是单射函数，因此存在反函数f-1函数f(x)=x2在R上严格单调递增，所以存在反函数f-1：R→R，→x=即F-1(y)=/。注：有时候，f(x)=x3的反函数也表示为f-1(x)=/x

例 严格单调函数是单射函数，因此存在反函数 。 函数 在 上严格单调递增， 所以存在反函数 ： ， ， 即 。 注：有时候， 的反函数也表示为

例函数f(x)=sinx在R上非单射函数，故不存在反函数。元元但函数f(x)=sinx (xE）上严格单调递增，故存在反函数。2'2-元元函数 f(x)=sin x (x e）的反函数记为x=arcsiny，2'2元元即 arcsin：[-1,1]→> y→x=arcsiny,2'2b=sina 台 a =arcsinb

例 函数 在 上非单射函数，故不存在反函数。 ， 但函数 （ ）上严格单调递增，故存在反函数。 函数 （ ）的反函数记为 ， 即 ： ，

·本教材中，对于抽象单射函数y=(x），=f(x）的反函数表示为x=f-(y）（eR,，×EDf）。此时, Vx, E Df , yo= f(xo)台 x = f-l(yo) 。又：当自变量用x表示，应变量用表示时，f的反函数记为y=f-(x）（xER,，yEDf）。此时，在同一个yeR,坐标系中J=f(x）与×，的图像关于直线=x对称

• 本教材中，对于抽象单射函数 ， 的反函数记为 的反函数表示为 此时， ， 。 又：当自变量用 表示，应变量用 表示时， （ ， ）。 （ ， ）。 坐标系中 ， 此时，在同一个 与 的图像关于直线 对称

当我们用x=f-(y）表示y=f(x）的反函数时，在同一个xOy坐标系中，两者图像一样

当我们用 表示 的反函数时， 在同一个 坐标系中，两者图像一样

函数的运算·函数的四则运算：设函数f：D,→R，，函数g：D，→Rg。若D,IDの，定义函数f+g:D,ID，→R，VxeD,I Dg, (f +g)(x)= f(x)+g(x) 。函数f+g称为函数与g的加法函数。类似定义函数的减法、乘法和除法

函数的运算 • 函数的四则运算： 类似定义函数的减法、乘法和除法。 函数 称为函数 与 的加法函数。 设函数 ： ，函数 ： 。 若 ，定义函数 ： ， ，