《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第12章 Fourier分析（6/7）

逼近定理1逼近定理2Parseval定理Fejer定理1Fejer定理1g12.3Fourier级数的均值收敛性8Z定义1设Sn是无穷级数an，的部分和,即Sn=ai+a2+..·+an.令n=1Si+S2+.+Sn(12.1)an=n8>若limn=α是有限的,则称级数an 在均值意义下（或在 Cesaro 意n-n=18义下）收敛到g.记为an=α(C). (α称为级数的均值)n=187显然，若收敛到.则它在均值意义下也收敛到s.反之不一定对an n=18例如,(-1)n-(C).但此级数通常意义下并不收敛2n=1返回全屏关闭退出II1/16

Fej´er ½n1 Fej´er ½n1 %C½n1 %C½n2 Parseval ½n §12.3 Fourier ?êþŠÂñ5 ½Â 1  Sn ´Ã¡?ê X ∞ n=1 an, Ü©Ú, = Sn = a1 + a2 + · · · + an. - σn = S1 + S2 + · · · + Sn n . (12.1) e lim n→∞ σn = σ ´k, K¡?ê X ∞ n=1 an 3þŠ¿Âe (½3 Ces`aro ¿ Âe) Âñ σ. P X ∞ n=1 an = σ (C). (σ ¡?êþŠ). w, e X ∞ n=1 an Âñ s, K§3þŠ¿ÂeÂñ s. ‡ƒØ½é. ~X, X ∞ n=1 (−1)n−1 = 1 2 (C). d?êÏ~¿Âe¿ØÂñ. 1/16 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

逼近定理1逼近定理2Parseval定理Fejer定理1Fejer定理1现设f(α）是「一π，元l上可积或绝对可积函数.an，bn是其Fourier系数即8ao(an cos nc + bn sin nc)f(α)2n=1则将Fourier系数的定义表达式代入Fourier级数的部分和，可得naoZTn(c)1ak cos kc + bk sin kc2k=11sin(n +)t7(f(α + t) + f(a - t)dt2元sin记 To(α) =号,因而n-11ZTk(c)Jn()=nk=0sin(k111(f(α + t) + f(α - t)2dt.sin t2n元2k=0II4-I返回全屏关闭退出2/16

Fej´er ½n1 Fej´er ½n1 %C½n1 %C½n2 Parseval ½n y f(x) ´ [−π, π] þŒÈ½ýéŒÈ¼ê. an, bn ´Ù Fourier Xê, = f(x) ∼ a0 2 + X ∞ n=1 ￾ an cos nx + bn sin nx
. Kò Fourier Xê½ÂLˆª\ Fourier ?êÜ©Ú, Œ Tn(x) = a0 2 + X n k=1 ￾ ak cos kx + bk sin kx
= 1 2π Z π 0  f(x + t) + f(x − t) sin(n + 1 2 )t sin t 2 dt P T0(x) = a0 2 , Ï σn(x) = 1 n X n−1 k=0 Tk(x) = 1 2nπ Z π 0  f(x + t) + f(x − t) X n−1 k=0 sin(k + 1 2 )t sin t 2 dt. 2/16 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Fejer定理1Fejer定理1逼近定理1逼近定理2Parseval定理因为n-1sin? nt12Z(12.2)sin (k +tt2sin2k=0所以2ntsin2f(α+t)+ f(α -t)dt.(12.3)On(α) =t-22m元sin特别,令 f =1,则Tn=1,所以αn(α)=1,由上式,得2sinnt)12dt.(12.4)tsin元02由此，并按照Dirichlet收敛性定理的类似证明方法，可以证明下面的Fejér收敛定理返回全屏关闭退出II3/16

Fej´er ½n1 Fej´er ½n1 %C½n1 %C½n2 Parseval ½n Ϗ X n−1 k=0 sin (k + 1 2 )t = sin2 nt 2 sin t 2 , (12.2) ¤± σn(x) = 1 2nπ Z π 0  f(x + t) + f(x − t)   sin nt 2 sin t 2 2 dt. (12.3) AO, - f = 1, K Tn = 1, ¤± σn(x) = 1, dþª,  1 = 1 nπ Z π 0  sin nt 2 sin t 2 2 dt. (12.4) dd, ¿Uì Dirichlet Âñ5½naqy²{, Œ±y²e¡ Fej´er  ñ½n. 3/16 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

逼近定理1逼近定理2Parseval定理Fejer定理1Fejer定理1定理1（可积函数Fejér定理）设函数f(α）以2元为周期,在「一元，元l上可积或绝对可积.若 f(α)在 αo处有左极限f(co－0)和右极限 f(αo +0),则在 ao 处 f(a) 的 Fourier 级数在均值意义下收敛于 f(co+0)+f(co-0),2证明 记 s = f(co+0)+f(co-0)2p(t) = f(co +t) + f(co - t) - 2s.根据（12.3)，（12.4）得1sindt(co + t) + f(co - t) - 2sn(co) - s+2n元sin1sindt(12.5)(t)+2m元sin0因为 f 在 o 的左极限和右极限都存在,故,对任意正数 ε,存在 E(O, π)使返回全屏关闭退出14/16

Fej´er ½n1 Fej´er ½n1 %C½n1 %C½n2 Parseval ½n ½n 1 (ŒÈ¼ê Fej´er ½n) ¼ê f(x) ± 2𠏱Ï, 3 [−π, π] þŒ ȽýéŒÈ. e f(x) 3 x0 ?k†4 f(x0 − 0) Úm4 f(x0 + 0), K 3 x0 ? f(x)  Fourier ?ê3þŠ¿ÂeÂñu f(x0+0)+f(x0−0) 2 . y² P s = f(x0+0)+f(x0−0) 2 , ϕ(t) = f(x0 + t) + f(x0 − t) − 2s. Šâ (12.3), (12.4)  σn(x0) − s = 1 2nπ Z π 0  f(x0 + t) + f(x0 − t) − 2s   sin nt 2 sin t 2 2 dt = 1 2nπ Z π 0 ϕ(t)  sin nt 2 sin t 2 2 dt (12.5) Ϗ f 3 x0 †4Úm4Ñ3, , é?¿ê ε, 3 δ ∈ (0, π) ¦ 4/16 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Fejer定理1Fejer定理1逼近定理1逼近定理2Parseval定理得-(o<tf(aco + t) - f(co + 0)l <<0)20lf(co - t) - f(co - 0)/ <(0<t<0).2因此Ip(t)l <e, (0 < t <d).现在把（12.5）中的积分分成两部分，有22ro(sinnt)nt1sin122dtp(t)dt +p(t)dn(Co)-s=sin七2nsin2n元Jo12= Ii + I2下面分别对I1,I2估计返回全屏关闭退出145/16

Fej´er ½n1 Fej´er ½n1 %C½n1 %C½n2 Parseval ½n  |f(x0 + t) − f(x0 + 0)| < ε 2 , (0 < t < δ) |f(x0 − t) − f(x0 − 0)| < ε 2 , (0 < t < δ). Ïd |ϕ(t)| < ε, (0 < t < δ). y3r (12.5) ¥È©©¤üÜ©, k σn(x0) − s = 1 2nπ Z δ 0 ϕ(t)  sin nt 2 sin t 2 2 dt + 1 2nπ Z π δ ϕ(t)  sin nt 2 sin t 2 2 dt = I1 + I2 e¡©Oé I1, I2 O. 5/16 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Fejer定理1Fejer定理1逼近定理1逼近定理2Parseval定理2Sntsin2dtIi1p(t)l+-22m元sin2ntnt0sinsinEE22dtdt≤L七12t2元sin2Tsin012E二T222nt元Tsin112dt10(t)ldt1p(t)/I2二ttlsinsin2m元Js2nT221Ip(t)/ dt2nTsin102An其中1Ap(t)/dt2元singJo2返回全屏关闭退出I二6/16

Fej´er ½n1 Fej´er ½n1 %C½n1 %C½n2 Parseval ½n |I1| 6 1 2nπ Z δ 0 |ϕ(t)|  sin nt 2 sin t 2 2 dt 6 ε 2nπ Z δ 0  sin nt 2 sin t 2 2 dt 6 ε 2nπ Z π 0  sin nt 2 sin t 2 2 dt = ε 2 . |I2| 6 1 2nπ Z π δ |ϕ(t)|  sin nt 2 sin t 2 2 dt 6 1 2nπ Z π δ |ϕ(t)|  1 sin t 2 2 dt 6 1 2nπ sin2 δ 2 Z π 0 |ϕ(t)| dt = A n , Ù¥ A = 1 2π sin2 δ 2 Z π 0 |ϕ(t)| dt 6/16 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

逼近定理1逼近定理2Fejer定理1Fejer定理1Parseval定理是一个常数.当n>24时，就有II2l<.因此lon(co)-sl<E.于是lim an(co) = .nα推论1 设函数f(α）以2元为周期,在[一元,元]上可积或绝对可积.若f(α)在 ao 处有左极限 f(αo一0)和右极限 f(ao ＋0),且在 co 处 f(a)的 Fourier级数收敛于 s, 则必有 s = f(zo+0)+f(ro-0),2证明若在o处f(）的Fourier级数收敛于s，则它按均值也收敛于s.但根据Fejer定理，f(a)的Fourier级数按均值应收敛于f(co+0)+f(eo-0).故,2。-f(ao+0) +f(co-0)O2返回全屏关闭退出7/16

Fej´er ½n1 Fej´er ½n1 %C½n1 %C½n2 Parseval ½n ´‡~ê.  n > 2A ε ž, Òk |I2| < ε 2 . Ïd |σn(x0) − s| < ε. u´ lim n→∞ σn(x0) = s. íØ 1 ¼ê f(x) ± 2𠏱Ï, 3 [−π, π] þŒÈ½ýéŒÈ. e f(x) 3 x0 ?k†4 f(x0 − 0) Úm4 f(x0 + 0), …3 x0 ? f(x)  Fourier ?êÂñu s, K7k s = f(x0+0)+f(x0−0) 2 . y² e3 x0 ? f(x)  Fourier ?êÂñu s, K§UþŠÂñu s. Šâ Fej´er ½n, f(x)  Fourier ?êUþŠAÂñu f(x0+0)+f(x0−0) 2 . , s = f(x0 + 0) + f(x0 − 0) 2 . 7/16 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

逼近定理1逼近定理2Fejer定理1Fejer定理1Parseval定理定理2（连续函数Fejér定理）设f(aα）是以2元为周期的连续函数：则f(α)的 Fourier 级数在均值意义下一致收敛于f(α).证明根据(12.5)，有2sinnt)12dt(12.6)Pr(t)gn(c) -f(α)+12sin2n元Jo其中Pr(t) = f(c +t) + f(α -t) - 2f(α).因为 f(αc)是（一α,+o)上的连续函数且以 2元 为周期,所以 f(α)在(一8,+8) 上一致连续. 因此存在 M > 0 使得 If(α)I 0, 存在 8 E (0, 元) 使得[f(α) -f(y)l<=(lα - yl <).故,当 0≤ t< 时,有 lPr(t)<对一切 E R成立,II返回全屏关闭退出8/16

Fej´er ½n1 Fej´er ½n1 %C½n1 %C½n2 Parseval ½n ½n 2 (ëY¼ê Fej´er ½n)  f(x) ´± 2𠏱ÏëY¼ê. K f(x)  Fourier ?ê3þŠ¿ÂeÂñu f(x). y² Šâ (12.5), k σn(x) − f(x) = 1 2nπ Z π 0 ϕx(t)  sin nt 2 sin t 2 2 dt (12.6) Ù¥ ϕx(t) = f(x + t) + f(x − t) − 2f(x). Ϗ f(x) ´ (−∞, +∞) þëY¼ê…± 2𠏱Ï, ¤± f(x) 3 (−∞, +∞) þëY. Ïd3 M > 0 ¦ |f(x)| 0, 3 δ ∈ (0, π) ¦ |f(x) − f(y)| < ε 2 (|x − y| < δ). ,  0 6 t < δ ž, k |ϕx(t)| < ε éƒ x ∈ R ¤á. 8/16 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Fejer定理1Fejer定理1逼近定理1逼近定理2Parseval定理将（12.6)式右端的积分写成两项：22Tntnt?元sin11sin22Pr(t)dt +Pr(t)dt = Ii + I2:tt2n元Josin2n元sin822并分别进行估计22condntnt1sinsinE22dt[I1] dtIPa(t)lItt2n元sinsin2n元1010222nt?元sinEE2dt=2tsin2m元102由 Lf(α)I< M, 可得 Ir(t)I< 4M. 故2sin nt)11124Mdt[I2]dt(t)Dt2m元Jsin2n元sin82222Mnsin?g2-I返回全屏关闭退出II49/16

Fej´er ½n1 Fej´er ½n1 %C½n1 %C½n2 Parseval ½n ò (12.6) ªmàÈ©¤ü‘: 1 2nπ Z δ 0 ϕx(t)  sin nt 2 sin t 2 2 dt + 1 2nπ Z π δ ϕx(t)  sin nt 2 sin t 2 2 dt = I1 + I2. ¿©O?1O, |I1| 6 1 2nπ Z δ 0 |ϕx(t)|  sin nt 2 sin t 2 2 dt 6 ε 2nπ Z δ 0  sin nt 2 sin t 2 2 dt 6 ε 2nπ Z π 0  sin nt 2 sin t 2 2 dt = ε 2 . d |f(x)| < M, Œ |ϕx(t)| < 4M. , |I2| 6 1 2nπ Z π δ |ϕx(t)|  sin nt 2 sin t 2 2 dt 6 1 2nπ Z π δ 4M 1 sin δ 2 !2 dt 6 2M n sin2 δ 2 . 9/16 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

逼近定理1逼近定理2Parseval定理Fejer定理1Fejer定理1故，当n>4M/（esin）时，有EG(CER)ln(α)-f(α)/≤|Ii/+ |I2l=E,+22这就证明了n(aα)在（一8o,+o）上一致收敛于f(a).定理3（Weierstrass三角多项式逼近定理）设fEC[一π，]且满足f(一元）=f(元).则f(α)在[一π,元]上可用三角多项式一致逼近证明因为 f(α)在[一元，元]连续，且 f(一元）=f(元),所以f()可以延拓成（一oo，+oo）上以2元为周期的连续函数.根据Fejér定理，f（aα）的Fourier级数部分和的均值anα）在（一oo,+oo）上一致收敛于f(α).由于αn(α）是一个n一1次三角多项式.因此fα）在（一00，十00上，特别是在一元，元]上可用三角多项式一致逼近.证毕由三角多项式形式的逼近定理，还可以推出代数多项式形式的逼近定理返回退出全屏关闭10/16

Fej´er ½n1 Fej´er ½n1 %C½n1 %C½n2 Parseval ½n ,  n > 4M/ ￾ ε sin2 δ 2
ž, k |σn(x) − f(x)| 6 |I1| + |I2| < ε 2 + ε 2 = ε, (x ∈ R). ùÒy² σn(x) 3 (−∞, +∞) þÂñu f(x). ½n 3 (Weierstrass nõ‘ª%C½n)  f ∈ C[−π, π] …÷v f(−π) = f(π). K f(x) 3 [−π, π] þŒ^nõ‘ª%C. y² Ϗ f(x) 3 [−π, π] ëY, … f(−π) = f(π), ¤± f(x) Œ±ò ÿ¤ (−∞, +∞) þ± 2𠏱ÏëY¼ê. Šâ Fej´er ½n, f(x)  Fourier ?êÜ©ÚþŠ σn(x) 3 (−∞, +∞) þÂñu f(x). du σn(x) ´ ‡ n − 1 gnõ‘ª. Ïd f(x) 3 (−∞, +∞) þ, AO´3 [−π, π] þ Œ^nõ‘ª%C. y. dnõ‘ª/ª%C½n, „Œ±íÑêõ‘ª/ª%C½n. 10/16 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ