《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第11章 曲线积分和曲面积分（2/7）

曲面面积曲面积分定义曲面积分的性质$11.2第一型曲面积分曲面的面积11.2.1设S是一张光滑的参数曲面r = r(u, v) = c(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k,(u, v) E D,即 α(u,u), y(u,),z(u,u) 具有连续的偏导数, 且X0这里 D 是参变量（u,)所在平面中的一个有面积的区域r(u,)就是一个平面区域 D到R3的正则映射返回全屏关闭退出II-l1/18

­¡¡È ­¡È©½Â ­¡È©5Ÿ §11.2 1.­¡È© 11.2.1 ­¡¡È  S ´Ü1wëê­¡: ~r = ~r(u, v) = x(u, v)~i + y(u, v)~j + z(u, v)~k, (u, v) ∈ D, = x(u, v), y(u, v), z(u, v) äkëY ê, … ~r0 u × ~r0 v 6= 0 ùp D ´ëCþ (u, v) ¤3²¡¥‡k¡È«. ~r(u, v) Ò´‡²¡« D  R3 KN. 1/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

曲面面积曲面积分定义曲面积分的性质用平行于Ou坐标轴的直线u= ui,=vi去分割区域D,其中一个小区域 Dij =[(u,u)：ui ≤u≤ ui+1，Uj ≤ ≤ Uj+i} 对应在 S上就得到一个子曲面 Sii,它由两条 u曲线=Ui,= Ui+1和两条 曲线u= ui,u= ui+i围成。当 △ui= ui+i—u和△uj = j+1一Uj都很小时, Sij可以近似看成由 (ui1, uj)一(ui,ui) 和 r(ui, Uj+1)一(ui,i) 张成的平行四边形1u0返回全屏关闭退出2/18

­¡¡È ­¡È©½Â ­¡È©5Ÿ ^²1u Ouv ‹I¶†‚ u = ui, v = vj ©« D, Ù¥ ‡« Dij = {(u, v) : ui 6 u 6 ui+1, vj 6 v 6 vj+1} éA3 S þ Ò‡f­¡ Sij, §dü^ u ­‚ v = vj, v = vj+1 Úü^ v ­‚ u = ui, u = ui+1 Œ¤.  ∆ui = ui+1 − ui Ú ∆vj = vj+1 − vj Ñéž, Sij Œ±Cqw¤d ~r(ui+1, vj) − ~r(ui, vj) Ú ~r(ui, vj+1) − ~r(ui, vj) ܤ²1 o>/. O u v O x y z 2/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

曲面面积曲面积分定义曲面积分的性质因为r(ui+1, v;) - r(ui, vj) = r,(ui, v,)Aui + o(Aui),r(ui, Vi+1) - r(ui, Vj) = r,(ui, vi)Avi + o(Avi),所以, Sii 的面积ASij ~ [ry(ui, vi) × r,(ui, vi)[AuiAvj.于是曲面 S 的面积Ir(u, v) × r)(u, v)Idudv.5返回全屏关闭退出II3/18

­¡¡È ­¡È©½Â ­¡È©5Ÿ Ϗ ~r(ui+1, vj) − ~r(ui, vj) = ~r0 u (ui, vj)∆ui + o(∆ui), ~r(ui, vj+1) − ~r(ui, vj) = ~r0 v (ui, vj)∆vj + o(∆vj), ¤±, Sij ¡È ∆Sij ≈ |~r0 u (ui, vj) × ~r0 v (ui, vj)|∆ui∆vj. u´­¡ S ¡È S = ZZ D |~r0 u (u, v) × ~r0 v (u, v)| dudv. 3/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

曲面面积曲面积分定义曲面积分的性质由于( × T)2 = T22 - (. )命+y%+z,E = r2=a+G= = a+ y + 2%,F = ru .r, = aha, + yy, + zuz%,就得到曲面S上的面积元素dS = [r,(u,v) × r,(u, v)Idudv = VEG - F2dudv,(11.1)和曲面S的面积的一般计算公式S =VEG - F2dudv.(11.2)返回全屏关闭退出4/18

­¡¡È ­¡È©½Â ­¡È©5Ÿ du (~r0 u × ~r0 v ) 2 = ~r02 u ~r02 v − (~r0 u · ~r0 v ) 2 , · E = ~r02 u = x 02 u + y 02 u + z 02 u , G = ~r02 v = x 02 v + y 02 v + z 02 v , F = ~r0 u · ~r0 v = x 0 ux 0 v + y 0 u y 0 v + z 0 u z 0 v , Ò­¡ S þ¡Èƒ dS = |~r0 u (u, v) × ~r0 v (u, v)| dudv = p EG − F2dudv, (11.1) Ú­¡ S ¡È„OŽúª S = ZZ D p EG − F2dudv. (11.2) 4/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

曲面面积曲面积分定义曲面积分的性质当F=r，=O时，说明u曲线和曲线的切向量相互垂直，所以u曲线和曲线在曲面上编织了一个相互垂直的曲线网当曲面S是平面区域时，若S的参数方程为a = a(u,v), y = y(u,v), z = 0,(u, u) ED.则a(c,y) ×_=],面积元素a(r,y)dud.da =a(u,u)再次得到二重积分中平面区域S和平面区域D之间变换中面积元素之间的关系.返回全屏关闭退出--5/18

­¡¡È ­¡È©½Â ­¡È©5Ÿ  F = ~r0 u · ~r0 v = 0 ž, `² u ­‚Ú v ­‚ƒ•þƒpR†, ¤± u ­‚Ú v ­‚3­¡þ?„ ‡ƒpR†­‚. ­¡ S ´²¡«ž, e S ëꐧ x = x(u, v), y = y(u, v), z = 0, (u, v) ∈ D. K |~r0 u × ~r0 v | =    ∂(x,y) ∂(u,v)    , ¡Èƒ dσ =    ∂(x,y) ∂(u,v)    dudv. 2g­È©¥²¡« S Ú²¡« D ƒmC†¥¡Èƒƒm 'X. 5/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

曲面面积曲面积分定义曲面积分的性质如果曲面S是定义在区域D上的二元函数z=f（α，y）给出，这时可将c，y看作参变量，而曲面S的参数方程就取特别的形式r=r(c,y)=(c,y,f(a,y))(c,y)ED因而r=(1, 0, f), r= (0, 1, f)于是E=1+f,G=1+f,F=f"f由此得ds = 1 + fn + f dady及SnV1+ f2 + fndady.(11.3)如果曲面的方程为=g(y,z）或y=h(z,a）,结果是类似的I返回全屏关闭退出6/18

­¡¡È ­¡È©½Â ­¡È©5Ÿ XJ­¡ S ´½Â3« D þ¼ê z = f(x, y) ‰Ñ, ùžŒò x, y wŠëCþ, ­¡ S ëꐧÒAO/ª ~r = ~r(x, y) = (x, y, f(x, y)) (x, y) ∈ D, Ï ~r0 x = (1, 0, f0 x ), ~r0 y = (0, 1, f0 y ). u´ E = 1 + f 02 x , G = 1 + f 02 y , F = f 0 x f 0 y . dd dS = q 1 + f 02 x + f 02 y dxdy 9 S = ZZ D q 1 + f 02 x + f 02 y dxdy. (11.3) XJ­¡§ x = g(y, z) ½ y = h(z, x), (J´aq. 6/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

曲面面积曲面积分定义曲面积分的性质例1求半径为R的球的表面积解设球面S的参数方程为: =Rsinocos, y= Rsinosin, z=Rcoso,(0≤0≤元,0≤≤2元).计算可得r。=(Rcosocos,Rcossinp,-Rsino)r= (-RsinOsin, Rsin sin, 0)E=R,F=0,G=Rsin?0所以球面面积微元是dS=Rsinododp.故，球面面积为?2元71Rsindp=4元R?Sde1返回全屏关闭退出7/18

­¡¡È ­¡È©½Â ­¡È©5Ÿ ~ 1 ¦Œ» R ¥L¡È. ) ¥¡ S ëꐧ ~r : x = R sin θ cos ϕ, y = R sin θ sin ϕ, z = R cos θ, (0 6 θ 6 π, 0 6 ϕ 6 2π). OŽŒ ~r0 θ = (R cos θ cos ϕ, R cos θ sin ϕ, −R sin θ), ~r0 ϕ = (−R sin θ sin ϕ, R sin θ sin ϕ, 0). E = R2 , F = 0, G = R2 sin2 θ. ¤±¥¡¡È‡´ dS = R2 sin θdθdϕ. , ¥¡¡È S = Z π 0 dθ Z 2π 0 R2 sin θdϕ = 4πR2 . 7/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

曲面面积曲面积分定义曲面积分的性质例2求球面α2+y2+2=R2被柱面α2+y2=Rc所截下的曲面面积解由于对称性，可知所求曲面的面积是它在第一卦限内面积的四倍采用球面坐标时dS=Rsinddp.为确定参数θ,的变化区域D,把球面的参数方程代入柱面方程α2+y2=Ra可知有sin=cos,因为在第一卦限中0≤θ≤，04≤,所以这两张曲面的交线在球面坐标下的方程为=-. 因此 D:0≤≤,0≤≤-4,从而算得R’ sin adodpS=4D号12-0= 4R2sin 0 d0de00S=4R?(1 - sin )dpJo= 2 R(元 - 2).返回全屏关闭退出8/18

­¡¡È ­¡È©½Â ­¡È©5Ÿ ~ 2 ¦¥¡ x 2 + y 2 + z 2 = R2 Ρ x 2 + y 2 = Rx ¤e­¡¡ È. ) dué¡5, Œ¤¦­¡¡È´§31%S¡Èo. æ^¥¡‹Iž dS = R2 sin θdθdϕ. (½ëê θ, ϕ Cz« D, r¥ ¡ëꐧ\ѐ§ x 2 + y 2 = Rx Œk sin θ = cos ϕ, Ϗ31 %¥ 0 6 θ 6 π 2 , 0 6 ϕ 6 π 2 , ¤±ùüÜ­¡‚3¥¡‹Ie§  θ = π 2 − ϕ. Ïd D : 0 6 ϕ 6 π 2 , 0 6 θ 6 π 2 − ϕ, l Ž S = 4 ZZ D R2 sin θdθdϕ = 4R2 Z π 2 0 dϕ Z π 2 −ϕ 0 sin θ dθ = 4R2 Z π 2 0 (1 − sin ϕ)dϕ = 2R2 (π − 2). x y z 8/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

曲面面积曲面积分定义曲面积分的性质11.2.2第一型曲面积分曲面板材质量设曲面S是放在R3中一个非均匀的板材，其质量分布（面密度）为连续函数p(α,y,z).求此板材的质量合理的方法是先将板材S分割成有限个充分小的板材片S1, S2, ..., Sn,每一片上的质量密度近似为一个常数p(Si,Ni，Si)，这里（Si，Ni，Si）为小片Si上的一点,所以小片的质量近似为p(si,ni,Si)△Si,其中△S;是小片 S,的面积将所有这样的近似值相加就是板材总的质量的近似值 p(si, Ni, Si)ASi.i=1当分割越分越细时，这个和式的极限值应该就是板材的质量返回全屏关闭退出9/18

­¡¡È ­¡È©½Â ­¡È©5Ÿ 11.2.2 1.­¡È© ­¡†áŸþ ­¡ S ´3 R3 ¥‡šþ!†á, ٟþ©Ù (¡ Ý) ëY¼ê ρ(x, y, z). ¦d†áŸþ. Ün{´kò†á S ©¤k‡¿©†á¡: S1, S2, · · · , Sn, z¡þŸþÝCq‡~ê ρ(ξi, ηi, ζi), ùp (ξi, ηi, ζi) ¡ Si þ:, ¤±¡ŸþCq ρ(ξi, ηi, ζi)∆Si , Ù¥ ∆Si ´¡ Si ¡ È. ò¤kùCqŠƒ\Ò´†áoŸþCqŠ: X n i=1 ρ(ξi, ηi, ζi)∆Si. ©©[ž, ù‡Úª4ŠATÒ´†áŸþ. 9/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

曲面面积曲面积分定义曲面积分的性质定义1设S是一张有界的光滑曲面，f(a,y,z是定义在S上的函数用任意分法把S分成n块有面积的曲面Si,S2,·，Sn，这些小曲面块的面积记为△Si.在每块小曲面S,上任取一点Pi(Si，ni，Si)，如果下列极限nZlimf(si,Ni,Si)ASi1-0i=1是一个有限数，而且与P（Si，ni，Si）的选择无关，其中入是所有小块曲面的最大直径，则称函数f(ac，y，z）在曲面S上的可积，极限值就是它的积分值，记成nZf(α, y, z)dS = limf(ai,Yi,zi)ASi,1-0Si=1其中dS称为曲面的面积元素显然，常值函数f=c在有面积(S）的曲面S上是可积的，且cdS = co(S).S返回全屏退出关闭-10/18

­¡¡È ­¡È©½Â ­¡È©5Ÿ ½Â 1  S ´Ük.1w­¡, f(x, y, z) ´½Â3 S þ¼ê. ^?¿©{r S ©¤ n ¬k¡È­¡ S1, S2, · · · , Sn, ù ­¡¬¡ ÈP ∆Si . 3z¬­¡ Si þ?: Pi(ξi, ηi, ζi), XJe4 lim λ→0 X n i=1 f(ξi, ηi, ζi)∆Si, ´‡kê, …† Pi(ξi, ηi, ζi) ÀJÃ', Ù¥ λ ´¤k¬­¡ Œ†», K¡¼ê f(x, y, z) 3­¡ S þŒÈ, 4ŠÒ´§È©Š, P ¤ ZZ S f(x, y, z)dS = lim λ→0 X n i=1 f(xi, yi, zi)∆Si, Ù¥ dS ¡­¡¡Èƒ. ZZ w, ~Š¼ê f = c 3k¡È σ(S) ­¡ S þ´ŒÈ, … S c dS = cσ(S). 10/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ